二阶、三阶行列式及n阶行列式的概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章,行列式和线性方程组的求解,1.1,二阶,三阶行列式,1.2,n,阶行列式的概念,2011.9.19,设二元一次线性方程组为,其中,行列式是一种算式,是根据线性方程组求解的需要引进的,.,二阶和三阶行列式,对方程组用加减消元法求出解,:,此解不易记忆，因此有必要引进新的,符号,“,行列式,”,来表示解,如果定义二阶行列式如下,(,对角线法则,）：,当系数行列式,D,0,时,则方程组有唯一解,其解可表示为,:,解,则方程组的解为,例,1,求解方程组,由于,如果定义三阶行列式如下,(,对角线法则,）,：,那么对三元一次方程组,a,11,a,12,a,13,a,21,a,22,a,23,a,31,a,32,a,33,其中,例2,在系数行列式,D,0,时,方程组有唯一解,其解可表示为,:,问题：,4,阶行列式应如何定义,?,a,11,a,12,a,13,a,14,a,21,a,22,a,23,a,24,a,31,a,32,a,33,a,34,a,41,a,42,a,43,a,44,用,对角线法则,可以吗？,问题：,怎样定义,n,阶行列式,?,定义,由,1,2,n,组成的有序数组称,为一个,n,阶,(,全,),排列,一般记为,:,例如,自然数,1,2,3,的排列共有六种,.,例如,12,n,是一个,n,阶排列,叫自然排列,.,全排列的逆序数、对换,阶,排列,共有,种,n,在一个排列,中,如果一个大,数排在小数的前面,则称这两个数构,成一个,逆序,.,一个排列的逆序总数称,为,逆序数,表示为,如果,为偶数,则称为,偶排列,.,为奇数,则称为,奇排列,.,定义,如果,例3,因为,所以,23541,是一个奇排列,.,例4,对换,:,在一个排列中互换两个数位置,的,变动,(,其它数不动,).,对换改变排列的奇偶性,.,需要进行,2,s,+1,次相邻对换,.,证,(1),相邻对换,(2),不相邻对换,定理,1,所以对换改变排列的奇偶性,.,奇排列,s,个,偶排列,t,个,(1,2),对换,(1,2),对换,证,全部,n,(,2),阶排列中奇偶排列,各占一半,.,定理,2,设,个 阶,排列中,有,s,(,t,),个奇,(,偶,),排列,n,用排列观点总结三阶行列式,:,n,阶行列式的定义,为,3,！,项代数和,;,每项为取自不同行列的,3,个元素之积,;,行按自然顺序取时,每项符号由列标排,列的奇偶性决定,.,定义,此行列式可简记为,或,n,阶行列式定义,:,为,n,!,项代数和,;,每项为取自不同行列的,n,个元素之积,;,行按自然顺序取时,每项符号由列标排,列的奇偶性决定,.,归纳如下：,注,用定义只能计算一些简单的行列式,.,1.,一阶行列式,2.,二、三阶行列式,不是绝对值！,注意,对角线法则,3.,四阶行列式,a,11,a,12,a,13,a,14,a,21,a,22,a,23,a,24,a,31,a,32,a,33,a,34,a,41,a,42,a,43,a,44,计算上三角形行,列式,例5,计算行列式,例6,例,7,在下面的四阶行列式中，求,4,和,3,的系数。,-,a,11,-,a,12,-,a,13,-,a,14,-a,21,-,a,22,-,a,23,-,a,24,-a,31,-,a,32,-,a,33,-,a,34,-a,41,-,a,42,-,a,43,-,a,44,问题,:,如何决定下面一般项的符号,?,根据这个结论,也可以把行列式表示为,:,行列式还有其它的定义方式,一般行列式不用定义来求值,主要利用行列式性质求值,注,