保留非线性潮流算法课件

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,电力系统稳态分析,东南大学电气工程系,四 保留非线性潮流算法,东南大学电气工程系,0.,引言,更加精确的数学模型,考虑泰勒级数高阶项,保留非线性潮流算法,泰勒级数的前三项即取到泰勒级数的二阶项,极坐标形式,直角坐标,东南大学电气工程系,1.,保留非线性快速潮流算法,1.1,数学模型,采用直角坐标形式的潮流方程为,采用直角坐标，潮流问题实际上就是求解一个不含变量一次项的二次代数方程组。,东南大学电气工程系,对模型的几点说明,泰勒展开的二阶项系数已经是常数,取泰勒展开的三项将得到无截断误差的精确展开式,从理论上，取初值后，如能从展开式求解修正量，则一步便可以求得方程的解。,东南大学电气工程系,奇次二次方程表示的潮流方程（,1,）,定义如下：,n,维未知变量向量,x,x,1,x,2,x,n,T,n,维函数向量,y,(,x,),y,1,(,x,) ,y,2,(,x,) , ,y,n,(,x,),T,n,维函数给定值向量,y,s,y,1,s,y,2,s,y,n,s,T,一个具有,n,个变量的齐次二次代数方程式的普遍形式为,y,i,(,x,),(,a,11,),i,x,1,x,1,+(,a,12,),i,x,1,x,2,+(,a,1n,),i,x,1,x,n,+ (,a,21,),i,x,2,x,1,+(,a,22,),i,x,2,x,2,+(,a,2n,),i,x,2,x,n,+ (,a,n,1,),i,x,n,x,1,+(,a,n,2,),i,x,n,x,2,+(,a,nn,),i,x,n,x,n,(4,1),东南大学电气工程系,奇次二次方程表示的潮流方程（,2,）,于是潮流方程组就可以写成如下的矩阵形式,或,(4,2),(4,3),东南大学电气工程系,奇次二次方程表示的潮流方程（,3,）,系数矩阵为：,(4,4),东南大学电气工程系,1.2,泰勒级数展开式,对式,(4-1),在初值,x,(0),附近展开，可得如下,没有截断误差,的精确展开式,:,(4,5),东南大学电气工程系,泰勒级数展开式（,2,）,于是与式（,4,2,）对应的精确的泰勒展开式为：,式中：,x,x-x,(0),x,1, ,x,2, ,x,n,T,为修正量向量。,(4,6),东南大学电气工程系,泰勒级数展开式（,3,）,式中：,(4,7),J,即,雅可比矩阵,东南大学电气工程系,泰勒级数展开式（,4,）,H,是一个常数矩阵，其阶数很高，但高度稀疏。,(4,8),式,(4-6),略去第三项，就成通常的,牛顿法,展开式,东南大学电气工程系,式,(4-6),第三相相当复杂，以下将证明可将（,4,6,）写成：,y,s,y,(,x,(0),),J,x,y,(,x,),泰勒级数展开式（,5,）,(4,9),(4,6),东南大学电气工程系,泰勒级数展开式（,6,）,将,x,i,写成,x,i,x,i,(0),x,i,，于是,x,i,x,j,(,x,i,(0),x,i,)(,x,j,(0),x,j,),x,i,(0),x,j,(0),x,i,(0),x,j,x,j,(0),x,i,x,i,x,j,将上式代入,(4-2),，则在,x,(0),附近,式,(4-2),除了可用泰勒展开式表示外，还可以写成下面的形式,证明,:,(4,10),东南大学电气工程系,泰勒级数展开式（,7,）,(4,11),式,(4-11),和式（,4,6,）应当完全等价，,下面证明：,东南大学电气工程系,泰勒级数展开式（,8,）,(4,11),首先,，看出,(4-11),中第一项，根据（,4,2,），就是式（,4,6,）第一项,(4,6),东南大学电气工程系,泰勒级数展开式（,9,）,(4,11),其次,，,(4-11),中第二、三项，与式（,4,6,）第二项完全对应,(4,6),东南大学电气工程系,泰勒级数展开式第二项,因为式（,4,6,）第二项展开后是,向量函数,y,(,x,),在,x,=,x,(0),处的全微分,。,而（,4,2,）式右端变量列向量中任一元素的全微分,东南大学电气工程系,泰勒级数展开式第二项（续）,于是，根据式（,4,2,），,y,(,x,),在,x,=,x,(0),处的全微分,也可以表示为：,此式即是（,4,11,）第二、三项和。所以，与（,4,6,）式第二项相等。,得证。,东南大学电气工程系,泰勒级数展开式（,10,）,(4,11),所以,，,(4-11),中第四项，必然与式（,4,6,）第三项相等。 根据式（,4,2,），,(4-11),中第四项完全可以写成,y,(,x,),形式,(4,6),东南大学电气工程系,泰勒级数展开式（,11,）,(3,11),(4-11),中第四项完全可以写成,y,(,x,),形式,最终，证明了式（,4-9),，构成了算法的突破,东南大学电气工程系,1.3,数值计算迭代公式（,1,）,式,(4-9),是一个以,x,作为变量的二次代数方程组，求解满足该式的,x,仍要采用迭代的方法。式,(4-9),可改写成,x,J,-1,y,(,x,(0),),y,s,y,(,x,),于是算法具体迭代公式为,x,(k+1),J,-1,y,(,x,(0),),y,s,y,(,x,(k,),),式中：,k,表示迭代次数；,J,为按,x,x,(0),估计而得。,(4,12),东南大学电气工程系,数值计算迭代公式（,2,）,算法的收敛判据为,也可采用相继二次迭代的二阶项之差作为收敛判据,(,更合理,),东南大学电气工程系,保留非线性快速潮流算法框图,东南大学电气工程系,1.4,算法特点及性能估计,牛顿法迭代公式,保留非线性算法,(4,13),东南大学电气工程系,算法特点及性能估计（续,1,）,保留非线性：,恒定雅可比矩阵，只需一次形成，并由三角分解构成因子表,x,(k,),是相对于始终不变,的初始估计值,x,(0),的修正量,达到收敛所需迭代次数多，收敛特性为直线但总计算速度较快,牛顿法：,每次重新形成因子表,x,(k,),是相对于上一次迭代所得到的迭代点,x,(k,),的修正量,东南大学电气工程系,牛顿迭代法与保留非线性迭代法迭代比较,东南大学电气工程系,后面对通用迭代格式的分析将说明：,B-B,1,等于,f,(,x,(1),)=,f,(,x,(0), ,x,(1),),(4-14),也就是,H,(,x,(1),),也是,y,(,x,(1),),C-C1,等于,f,(,x,(2),)=,f,(,x,(0), ,x,(2),),H,(,x,(2),),f,(,x,(0),x,(1),),f,(,x,(0),x,(2),),(4-15),A,1,A,2,+A,2,A,3,A,1,A,3,y,(,x,(2),),东南大学电气工程系,设所要求解的非线性代数方程组为,f,(,x,),0,，对,f,(,x,),的性质无限制，则它的泰勒级数展开式可写成,f,(,x,(0),),f,(,x,(0),),x,H,(,x,)=,0,式中：,H,(,x,),为泰勒展开式,非线性总项,。,迭代公式,：,f,(,x,(0),),x,(k+1),=,f,(,x,(0),),H,(,x,(k,),),求解关键在于求解,H,(,x,),，利用迭代过程进行,1.5,具有更广泛意义的通用迭代公式,(4,17),(4,16),东南大学电气工程系,通用迭代公式推导,第一次迭代：,k,0,，取,x,(0),0,于是,H,(,x,(0),),0,，因此,f,(,x,(0),) ,x,(1),f,(,x,(0),),第二次迭代：,k,1,，由迭代公式得,f,(,x,(0),) ,x,(2),f,(,x,(0),),H,(,x,(1),),根据泰勒公式有,f,(,x,(0),x,(1),),f,(,x,(0),),f,(,x,(0),),x,(1),+,H,(,x,(1),),东南大学电气工程系,通用迭代公式推导,(,续一,),所以，根据泰勒展开式，第二次迭代后，有：,f,(,x,(0),x,(1),),H,(,x,(1),),式中：,H,(,x,),为泰勒展开式,非线性总项,。,第二次迭代公式,f,(,x,(0),) ,x,(2),f,(,x,(0),),f,(,x,(0),x,(1),),东南大学电气工程系,通用迭代公式推导,(,续二,),第三次迭代：,k,2,，由迭代公式得,f,(,x,(0),) ,x,(3),f,(,x,(0),),H,(,x,(2),),根据泰勒公式有,f,(,x,(0),x,(2),),f,(,x,(0),),f,(,x,(0),),x,(2),+,H,(,x,(2),),将第二次迭代公式带入上式，以求得,H,(,x,(2),),：,f,(,x,(0),) ,x,(2,),f,(,x,(0),),f,(,x,(0),x,(1),),得到：,H,(,x,(2),),f,(,x,(0),x,(1),),f,(,x,(0),x,(2),),东南大学电气工程系,通用迭代公式推导,(,续三,),从而，第三次迭代公式,f,(,x,(0),) ,x,(3,),f,(,x,(0),),f,(,x,(0),x,(1),),f,(,x,(0),x,(2),),以此类推,第,k,次迭代公式,f,(,x,(0),) ,x,(k,),f,(,x,(0),),H,(,x,(K-1),),其中非线性总项为：,东南大学电气工程系,推广的,IW-TA,算法,通用迭代格式：,上式不受所求解非线性方程式,f,(,x,),0,的数学性质以及所选用的坐标形式的限制。,(4,18),东南大学电气工程系,1.6,与定雅可比牛顿法的关系,定雅可比牛顿法,:,用,由变量初始值计算得到的,不变的雅可比矩阵进行整个迭代过程计算。,对于推广了的,IW-TA,算法，只要初始值相同，并且第一次迭代时不计非线性项，则随后的每一步迭代中，将得到完全重合的中间迭代点，从而最后结果也相同。,东南大学电气工程系,证明两法迭代过程一致,设定雅可比牛顿法（下称第一法）的变量用,x,表示，而保留非线性快速潮流算法（下称第二法）的变量用,x,表示,第一法所用的迭代公式为,第二法所用的迭代公式为,东南大学电气工程系,两法迭代过程第一步,设从同一个初始值起算：,x,(0),=x,(0),第一步：,k,0,第一法 ,J,x,(0),=,f,(,x,(0),),第二法 ,J,x,(1),=,f,(x,(0),),由于假定,x,(0),=x,(0),，所以,x,(0),x,(1),则,x,(1),x,(0),x,(0),x,(0),x,(1),x,(1),所以由两种方法从同一个起点求得的第一个迭代点是同一点。,(a,1),(a,3),(a,2),东南大学电气工程系,两法迭代过程第二步，类推得证,第二步：,k,1,第一法 ,J,x,(1),=,f,(,x,(1),),第二法 ,J,x,(2),=,f,(x,(0),),f,(x,(0),x,(1),),式,(a-5),与,(a-2),相减得,J,(,x,(2),x,(1),)=,f,(x,(0),x,(1),),f,(x,(1),),f,(,x,(1),),比较上式和,(a-4),得,x,(1),x,(2),x,(1),于是，由上式和式,(a-3),，可得,x,(2),x,(1),x,(1),x,(1),(,x,(2),x,(1),),(x,(0),x,(1),),(,x,(2),x,(1),),x,(0),x,(2),x,(2),(a,4),(a,5),东南大学电气工程系,图示说明等,J,牛顿法,保留非线性法,东南大学电气工程系,2,、直角坐标形式包括二阶项的快速潮流算法,保留非线性快速潮流算法比牛顿法优越,但与快速解耦法相比,从计算速度稍慢,内存相差太大,一种采用直角坐标的包括二阶项的算法,东南大学电气工程系,2.1,数学模型,采用直角坐标的潮流方程作为数学模型,东南大学电气工程系,仅有一个平衡节点的情况,首先讨论当电力系统中除了一个平衡节点外，其余节点均属,PQ,节点的情况。,首先，改造导纳矩阵的对角元,。将各节点的对地并联支路从对角元分离，并作为节点的一个恒定阻抗来处理。对地支路有：,变压器等值电路对地支路,线路充电电容,并联电容器及并联电抗器,东南大学电气工程系,导纳矩阵的对角元变成：,(4,19),东南大学电气工程系,改写功率方程,新的节点功率方程如下，其中,g,i0,、,b,i0,分别表示总对地支路电导及电纳。,G,ii,、,B,ii,分别按,(4-19),计算。,(4,20),(4,21),第一步,第一步,东南大学电气工程系,无截断误差的精确公式,对,(4-20)(4-21),右端项记为,P,i,(,e,，,f,),、,Q,i,(,e,，,f,),并在给定的电压初值附近展开成泰勒级数,(4,22),(4,23),东南大学电气工程系,进一步简化,其次，将所有节点电压的初值都取为平衡节点的电压。,可进一步简化计算。,将这个关系代入式,4-20,、,4-21,的右端项，并考虑到导纳对角元的变化，得：,(4,24),(4,25),东南大学电气工程系,至此，,(4-20)(4-21),可以写成：,(4,26),东南大学电气工程系,根据导纳矩阵对角元及电压初值选取，得上式中有关元素,(4,27),东南大学电气工程系,(4-26),写成：,定义：,有：,(4,28),(4,29),(4,30),第三步,第三步,第二步,提醒：这里的雅可比矩阵已经是一个,常数对称阵,东南大学电气工程系,如何求二阶项,SP,i,SQ,i,继续利用泰勒级数二阶项与一阶项有相似形式的公式,(4,9),。,展开式（,4,30,）有下式：,(4,31),(4,32),东南大学电气工程系,SP,i,SQ,i,迭代格式,带入（,4,31,）中。于是（,4,31,）变成：,(4,33),(4,34),写成迭代格式：,第二步,东南大学电气工程系,一个平衡节点其余为,PQ,节点的计算步骤,所有节点除平衡节点外全部属于,PQ,节点依次用 迭代,参见第一步、第二步、第三步,如果网络中所有节点除平衡节点外全部属于,PQ,节点，则计算过程就是反复的以此应用上述公式进行迭代计算，在进行第一次迭代时，置,sP,(0),sQ,(0),0,。,(4,20),(4,34),(4,21),(4,29),(4,30),东南大学电气工程系,包含,PV,节点的情况,其次，,若电力系统,n,个节点除了,l,个,PQ,节点及一个平衡节点之外，还有,m,个,PV,节点，则对每个,PV,节点，具有以下两个有功注入及电压模值方程式。,对,有功的处理,，和,PQ,节点相同，但在利用,(4-33-1),式求,PV,节点,i,的,sP,i,时，其中的,RQ,i,/,e,s,要利用式,(4-32),进行计算。,东南大学电气工程系,对电压模值的处理,对,电压模值,的处理。在给定电压初值,(,U,i,(0),e,s,j0,),附近展开成泰勒级数,(4,35),式中：,sU,i,为二阶项,定义：,则有：,(4,36),(4,37),(4,38),东南大学电气工程系,修正方程的形式,系统中同时存在,PV,、,PQ,节点，假定,PV,节点的编号在,PQ,节点的后面,(4,39),东南大学电气工程系,修正方程的形式（续）,简化：将系数矩阵除去最后的,m,行及,m,列，则余下的（,2,l,m,）阶矩阵,J,c,为常数对称阵，上式改写,:,(4,40),东南大学电气工程系,修正方程的形式（续）,J,a,是一个零阵，上式分解为两个子式,J,b,是对角为,2,的对角阵，由,4-42,得：,4-43,代入,4-41,得电压修正量,：,(4,41),(4,42),(4,43),(4,44),东南大学电气工程系,2.2,算法的原理框图,收敛判据,东南大学电气工程系,2.3,算法的性能和特点,总结,：,在收敛性方面，属于“等斜率法”的范畴，和牛顿法的平方收敛特性相比，达到收敛的迭代次数较牛顿法多。,计算速度可以接近快速解耦法。,矩阵的存储量也比较少。,较快速解耦法，收敛的可靠性更好。,东南大学电气工程系,结束,待续,下次内容：,最小化潮流算法,东南大学电气工程系,