6-2化二次型为标准型

单击此处编辑母版标题样式,二、无穷大,第六章 二次型,第二节,上页 下页 返回 结束,配方法,正交变化法,化二次型为标准型,初等变换法,设,一、正交变化法,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求,可逆的线性变换，将二次型化为标准形,定义,2,(P166),则称,矩阵,A,与,B,合同,注：,合同矩阵具有反身性、对称性、传递性,.,说明,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,解,1,写出对应的二次型矩阵，并求其特征值,例,1,从而得特征值,2,求特征向量,3,将特征向量正交化,得正交向量组,4,将正交向量组单位化，得正交矩阵,于是所求正交变换为,练习题,解,上页 下页 返回 结束,于是得正交阵,上页 下页 返回 结束,例,3,课本,P170,例,5,小结,1.,实二次型的化简问题，在理论和实际中,经常遇到，通过,在二次型和对称矩阵之间建立一,一对应的关系,，,将二次型的化简转化为将对称矩,阵化为对角矩阵,，而这是已经解决了的问题，请,同学们注意这种研究问题的思想方法,2.,实二次型的化简，并不局限于使用正交,矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运,算更快的可逆变换下面我们将介绍另一种,方法,拉格朗日配方法,二、拉格朗日配方法,用正交变换化二次型为标准形，其特点是,保,持几何形状不变,问题,有没有其它方法，也可以把二次型化,为标准形？,问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有,效的方法,拉格朗日配方法,1.,若二次型含有 的平方项，则先把含有,的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同,样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线,性变换，就得到标准形,;,拉格朗日配方法的步骤,2.,若二次型中不含有平方项，但是,则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按,1,中方,法配方,.,解,例,4,含有平方项,去掉配方后多出来的项,所用变换矩阵为,解,例,5,由于所给二次型中无平方项，所以,再,配方,，得,所用变换矩阵为,小结,将,一个二次型化为标准形，可以用,正交变换,法,，也可以用,拉格朗日配方法,，或者其它方法，,这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩,阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一,个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用,正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就,班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二,次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而,比较简单需要注意的是，,使用不同的方法,，,所,得到的标准形可能不相同,，,但标准形中含有的项,数必定相同,，,项数等于所给二次型的秩,练习题,练习题解答,三、初等变换法,(P174),请大家自学,.,