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,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,中国矿业大学信电学院 常俊林,自动控制原理,*,单击此处编辑母版标题样式,自动控制原理,1,研究内容：,1.,根轨迹的基本概念,2.,根轨迹的绘制方法,3.,运用闭环特征方程根的分布来估算系统的性能,第一节 根轨迹的基本概念,第四章 线性系统的根轨迹法,为了避免直接求解高阶系统,特征根,的麻烦，,1948,年,W.R.Evans,提出了一种图解法,根轨迹法,。,特征方程的根 运动模态 系统动态响应（稳态性能、动态性能）,自动控制原理,2,例,:,绘制二阶系统的根轨迹,开环增益,K,从零变到无穷,，,可以用解析方法求出闭环极点的全部数值。,根轨迹的定义,:,开环传递函数,的某一个参数从零变化,到无穷大时，,闭环特征根,在,S,平面上,的轨迹称为根轨迹。,第一节 根轨迹的基本概念,自动控制原理,3,K,s,1,s,2,0,0,-2,0.25,-0.3,-1.7,0.5,-1,-1,1,-1+j,-1-j,2.5,-1+j2,-1-j2,-1+j,-1-j,第一节 根轨迹的基本概念,自动控制原理,4,动态性能：,由,K,值变化所对应的闭环极点分布来估计。,稳定性：,考察根轨迹是否进入右半,S,平面。,根轨迹与系统性能,稳态性能：,开环传递函数在坐标原点有一个极点，系统为,I,型系统，根轨迹上的,K,值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许位置。,自动控制原理,5,根轨迹法,:,从闭环系统的,开,环传递函数,着手，通过图解法来求闭环系统根轨迹的方法。,设 控制系统如图所示,闭环极点与开环零、极点之间的关系,开环传递函数,第一节 根轨迹的基本概念,自动控制原理,6,第一节 根轨迹的基本概念,自动控制原理,7,第一节 根轨迹的基本概念,开环传递函数,闭环传递函数,开环传递函数分母,+,开环传递函数分子,自动控制原理,8,根轨迹法的任务：,由已知的开环零点、极点和根轨迹增益,Kr,变化（,0,），用图解方法确定闭环极点。,结论：,闭环,极点,(,特征根,),与开环零点、开环极点、根轨迹增益均有关。,第一节 根轨迹的基本概念,自动控制原理,9,由闭环传递函数,当,求出相应的根，就可以在,S,平面上绘制出根轨迹,。,根轨迹方程,根轨迹方程,第一节 根轨迹的基本概念,自动控制原理,10,根轨迹方程可以进一步表示为,幅角条件（相角条件）,幅值条件（模值条件）,：,第一节 根轨迹的基本概念,自动控制原理,11,模值条件,:,如果没有开环零点,:,第一节 根轨迹的基本概念,自动控制原理,12,表示由开环零、极点指向轨迹点的向量的方位角。,第一节 根轨迹的基本概念,自动控制原理,13,第二节 根轨迹绘制的基本法则,常规根轨迹,：,可变参数,为根轨迹增益,相角条件：,180,o,根轨迹,法则,1,：,根轨迹的分支数、对称性和连续性,根轨迹分支数：,等于,m,和,n,的最大值,根轨迹连续：,根轨迹增益是连续变化导致特征根也,连续变化。,关于实轴对称：,特征方程的系数为实数，特征根必为,实 数或共轭复数。,自动控制原理,14,法则,2,：,根轨迹的起点和终点：,根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点,。,简要证明：,又从,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,15,第二节 根轨迹绘制的基本法则,所以可以得出结论：,根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。,若开环极点数,n,大于开环零点数,m,，起始于开环极点的,n,条根轨迹将会有,m,条终止于,m,个开环零点。另外,n-m,条根轨迹终止于哪里呢？（,终止无穷远处,）我们将会在法则,4,里找到答案。,自动控制原理,16,法则,3,：,实轴上的根轨迹,若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：,其右边（开环实数零点数,+,开环实数极点数）为奇数,。,由相角条件,j,4-2,根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,17,法则,4,时，则有（,n-m),条根轨迹分支终止于无穷远处。这些根轨迹分支,趋向无穷远的渐近线,由与实轴的夹角和交点来确定,。,第二节 根轨迹绘制的基本法则,设系统开环极点数,n,大于开环零点数,m,时，可以发现在,S,平面上的无穷远处，存在着满足根轨迹幅角条件的点。,在,处，,可以认为所有开环极点和开环零点引向点,s,的,向量的幅角都相等，并假定等于,根据幅角条件有,自动控制原理,18,与实轴夹角,与实轴交点,第二节 根轨迹绘制的基本法则,幅角为 的射线远端各点都满足幅角条件，如图,4.5,所示。,这些射线的远端也称为系统的无限开环零点,（当 时）。这些射线就是根轨迹的渐近线。,可以认为系统的,(,n-m,),条根轨迹沿着,(n-m),条渐近线趋于无限零点，渐近线与实轴的夹角 为,自动控制原理,19,例,设单位反馈系统的前向传递函数为,（,2,）有,4,条根轨迹的分支，对称于实轴,（,1,）,（,3,）有,n-m=4-1=3,条根轨迹渐近线,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,20,与实轴夹角,与实轴交点,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,21,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,22,法则,5,：,根轨迹分离点,两条或两条以上的根轨迹分支在,s,平面上相遇又立即分开的点称为分离点（或称,会合点,）。,分离点的坐标,d,由下列方程所决定：,分离角为：,如果没有开环零点：,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,23,分离点,会合点,0,j,0,j,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,24,分离点,（舍去）,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,25,分离点的另外一种求法：,由于分离点为特征方程的重根：,联立方程组，消去 得：,为便于记忆，写为：,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,26,解得：,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,27,解（,1,）开环零点,例,4.3,绘制图示系统大致的根轨迹,根轨迹分支数为,3,条，有两条趋向于无穷远处。,（,2,）实轴上的根轨迹：,开环极点,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,28,（,3,）趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点,（,4,）分离点,第二节 根轨迹绘制的基本法则,用试探法获得,自动控制原理,29,法则,6,：,根轨迹与虚轴的交点,交点对应的根轨迹增益 和角频率 可以用,劳斯判据,或闭环特征方程（）确定。,将 代入闭环特征方程，得：,解出：,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,30,例,4.4,设单位负反馈控制系统开环传递函数：,试绘制该控制系统的根轨迹图。,（,1,）根轨迹起始于开环极点,无有限开环零点，三条根轨迹均终止于无穷远处。,（,2,）实轴上的根轨迹线段为,2,，,0,，（，,4,。,（,3,）根轨迹的渐近线：有,3,条渐近线，与实轴交点和夹角分别为：,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,31,（,4,）根轨迹的分离点：,由系统特征方程,得,解得,（不在实轴的根轨迹上，应舍去）,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,32,（,5,）根轨迹与虚轴的交点：,方法,1,：根轨迹与虚轴的交点可以通过将,s=j,代入特征方程,解得：,方法,2,：列劳斯表,解得：,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,33,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,34,法则,7,：,根轨迹的,出射角,和,入射角,出射角,(,起始角,),：,根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴的夹角,。,起始角,180+,各零点指向本极点的方向角,-,其他极点指向本极点的方向角,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,35,终止角,(,入射角,),：,根轨迹进入开环复平面上开环复数零点处的切线与实轴的夹角,。,终止角,180,-,其他零点指向本零点的方向角,+,各极点指向本零点的方向角,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,36,例,3,：,设单位反馈系统的传递函数为,（,1,）一个开环零点，两个开环极点；,两条根轨迹分支；其中一条趋向于无穷远处。,试绘制闭环系统的根轨迹。,解,:,（,2,）渐近线与实轴重合的，实轴上根轨迹（,-,，,-2,。,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,37,（,3,）会合点,解得,或,（舍去）,(4),确定开环共轭复数极点的出射角。,对应开环极点,的出射角,因为根轨迹对称于实轴，所以对应,的出射角,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,38,由两个极点,（实极点或复数极点）和,一个实零点组成的开环系统,，只要实零点没有位于两个实极点之间，当根轨迹增益由零变到无穷时，,闭环根轨迹的复数部分是以实零点为圆心，以实零点到分离点的距离为半径的一个圆或圆的一部分，,这个结论在数学上可以严格证明。,R,自动控制原理,39,例,设系统开环传递函数,试绘制闭环系统的大致根轨迹。,解：,（,1,）,该系统无开环零点，,4,个开环极点分别为,在实轴上的根轨迹：,-3,，,0,。,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,40,（,3,）分离点,首先判断,d,应该位于,-3 -1.25,之间,（,2,）有,4,条分支趋向无穷远处。渐近线的夹角与交点,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,41,（,5,）与虚轴的交点,运用劳斯判据,（,4,）起始角,列劳斯表：,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,42,由劳斯表第一列、第四行元素为零，得：,解辅助方程,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,43,法则,8,：,闭环极点之和,设控制系统的闭环特征方程,n,个根分别为,：,根据特征方程,根与系数的关系,有：,第二节 根轨迹绘制的基本法则,自动控制原理,44,结论,：,若,n-m,2,闭环极点之和,=,开环极点之和,若,n,-,m,2,，对多项式进行降幂排列，有：,将上式展开得：,第二节 根轨迹绘制的基本法则,中国矿业大学信电学院 常俊林,自动控制原理,45,-0.423,例,4.6,计算该根轨迹图中分离点对应的根轨迹增益，并求出在该增益下的所有闭环极点。,解：根据模值条件,闭环极点之和,=,开环极点之和,第二节 根轨迹绘制的基本法则,
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