工程电磁场导论矢量分析课件

第 零 章,矢 量 分 析,标量场和矢量场,标量场的梯度,矢量场的通量与散度,矢量场的环量与旋度,亥姆霍兹定理,电磁场的特殊形式,第,0,章 矢量分析,下 页,返 回,Vector Analysis,标量场和矢量场标量场的梯度矢量场的通量与散度矢量场的环量与旋,正交坐标系,-,直角坐标系,下 页,上 页,返 回,正交坐标系-直角坐标系下 页上 页返 回,工程电磁场导论矢量分析课件,元面积,元面积,元体积,元体积,正交坐标系,-,柱坐标系,下 页,上 页,返 回,正交坐标系-柱坐标系下 页上 页返 回,工程电磁场导论矢量分析课件,元面积,元面积,元体积,元体积,正交坐标系,-,球坐标系,下 页,上 页,返 回,正交坐标系-球坐标系下 页上 页返 回,工程电磁场导论矢量分析课件,元面积,元面积,元体积,元体积,坐标系间单位矢量的换算,投影原则,能理解书中第,322,页表附,1-1,所列公式之间的关系,可参考书籍：,BHag Singh Guru, Huseyin R .Hiziroglu,，周克定等译,.,，电磁场与电磁波,.,北京：机械工业出版社，,2000,第二章 矢量分析（,Page1047,）,坐标系间单位矢量的换算投影原则能理解书中第322页表附1-1,场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量,。,例如，在直角坐标下：,0.1,标量场和矢量场,标量场,矢量场,如温度场、电位场、高度场等；,如流速场、电场、涡流场等。,Scalar Field and Vector Field,下 页,上 页,返 回,场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任,其方程为,:,图,0.1.1,等高线,(1),标量场,-,等值线,(,面,),形象描绘场分布的工具,场线,思考,在某一高度上沿什么方向高度变化最快？,下 页,上 页,返 回,其方程为:图0.1.1 等高线(1) 标量场-等值线(面),三维场,二维场,图,0.1.2,矢量线,矢量场,-,矢量线,线上每一点处的切线方向都与矢量场在该点的方向相同,其方程为：,在直角坐标系下：,下 页,上 页,返 回,三维场二维场图0.1.2 矢量线矢量场-矢量线其方程,0.2,标量场的梯度,Gradient of Scalar Field,设一个标量函数,(,x,，,y,，,z,),，若函数,在点,P,可微，则,在点,P,沿任意方向,的方向导数为,设,式中, ,分别是任一方向 与,x,y,z,轴的夹角,下 页,上 页,返 回,则有：,当 ， 最大,0.2 标量场的梯度 Gradient of Scala,梯度,(,gradient,),哈密顿算子,式中,图,0.1.3,等温线分布,梯度的方向为该点最大方向导数的方向。,梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率（增加的方向），即,最大方向导数,。,标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。,梯度的意义,下 页,上 页,返 回,梯度(gradient)哈密顿算子式中图0.1.3,，,例,0.2.1,试证明在点电荷,q,产生的静电场中，电位函数的负梯度等于电场强度 。,，例 0.2.1 试证明在点电荷q产生的静电场中，电位函,例,0.2.2,电位场的梯度,图,0.2.2,电位场的梯度,电位场的梯度,与过该点的等位线垂直；,数值等于该点的最大方向导数；,指向电位增加的方向。,下 页,上 页,返 回,例 0.2.2 电位场的梯度图0.2.2 电位场的,例,:,设一标量点函数,(1),该点函数,在点,P,(1, 1, 1),处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量；,描述了空间标量场。试求：,(2),求该点函数,沿单位矢量,方向的方向导数，并以点,P,(1, 1, 1),处该方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。,例: 设一标量点函数 (1) 该点函数 在点P(,解,(1),由梯度定义,可解出待求,P,点的梯度为,解(1) 由梯度定义,可解出待求 P 点的梯度为,(2),(2),显然，梯度 描述了,P,点处标量点函数,的最大变化率，即系最大方向导数，故,，,恒成立。,显然，梯度 描述了P点处标量点函数 的最大变化,0.3,矢量场的通量与散度,0.3.1,通量,(,Flux,),矢量,E,沿有向曲面,S,的面积分,若,S,为闭合曲面,根据通量的大小判断闭合面中源的性质：,Flux and Divergence of Vector,0,(,有正源,), 0,(,有负源,),=,0,(,无源,),图,0.3.2,矢量场通量的性质,下 页,上 页,返 回,图,0.3.1,矢量场的通量,0.3 矢量场的通量与散度0.3.1 通量 ( F,0.3.2,散度,(,Divergence,),如果包围点,P,的闭合面,S,所围区域,V,以任意方式缩小到点,P,时：,散度,(,divergence,),下 页,上 页,返 回,0.3.2 散度 ( Divergence ),散度的意义,在矢量场中，若,A,= ,0,，称之为有源场，,称为,(,通量,),源密度；若矢量场中处处,A,=,0,，称之为无源场。,矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；,散度代表矢量场的通量源的分布特性。,(,无源）,(,正源,),(,负,源,),图,0.3.3,通量的物理意义,下 页,上 页,返 回,散度的意义 在矢量场中，若 A= 0，称,0.3.3,散度定理,(,Divergence Theorem,),图,0.3.4,散度定理,通量密度,高斯公式,矢量函数的面积分与体积分的相互转换。,下 页,上 页,返 回,0.3.3 散度定理 ( Divergence Theor,0.4,矢量场的环量与旋度,0.4.1,环量,( Circulation ),矢量,A,沿空间有向闭合曲线,L,的线积分,环量,环量的大小与闭合路径有关，它表示绕环线旋转趋势的大小。,Circulation and Rotation of Vector Field,下 页,上 页,返 回,图,0.4.1,环量的计算,0.4 矢量场的环量与旋度0.4.1 环量 ( Cir,水流沿平行于水管轴线方向流动，,=,0,，无涡旋运动。,例,：流速场,图,0.4.2,流速场,流体做涡旋运动，,0,，有产生涡旋的源。,下 页,上 页,返 回,水流沿平行于水管轴线方向流动，= 0，无涡旋运动。例：流速,工程电磁场导论矢量分析课件,0.4.2,旋度,( Rotation ),1.,环量密度,过点,P,作一微小曲面,S,，它的边界曲线记为,L,，面的法线方向与曲线绕向符合右手定则。当,S,点,P,时，存在极限,环量密度,环量密度是单位面积上的环量。,下 页,上 页,返 回,0.4.2 旋度 ( Rotation )1. 环量密,2,.,旋度,旋度是一个矢量，其大小等于环量密度的最大值；其方向为最大环量密度的方向,旋度,(curl),S,的法线方向,它与环量密度的关系为,在直角坐标下,:,下 页,上 页,返 回,2. 旋度 旋度是一个矢量，其大小等于环量密度的最,3.,旋度的物理意义,矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。,某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其,方向是最大环量密度的方向。,在矢量场中，若,A,=,J,0,称之为,旋度场（或涡旋场），,J,称为,旋度源（或涡旋源）。,若矢量场处处,A,=,0,，称之为无,旋场。,下 页,上 页,返 回,3. 旋度的物理意义矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。,4,、斯托克斯定理,(,Stockes Theorem,),矢量函数的线积分与面积分的相互转化。,图,0.4.3,斯托克斯定理,斯托克斯,定理,下 页,上 页,在电磁场理论中，,高斯,定理,和,斯托克斯,定理,是,两个非常重要的公式。,返 回,4、斯托克斯定理 ( Stockes Theorem ),0.5,亥姆霍兹定理,亥姆霍兹定理：,在有限区域,V,内，矢量场由它的,散度、旋度,及,边界条件,唯一地确定。,已知：,矢量,A,的通量源密度,矢量,A,的旋涡源密度,场域边界条件,（矢量,A,惟一地确定）,电荷密度,电流密度,J,场域边界条件,在电磁场中,Hymherze Theorem,下 页,上 页,返 回,0.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理：已知：矢量A的通量,例,0.5.1,试判断下列各图中矢量场的性质。,0,0,0,0,0,0,下 页,上 页,返 回,例 0.5.1 试判断下列各图中矢量场的性质。0000,(1),无旋场,( irrotational field ),例如 静电场,从而由矢量恒等式,可定义 （,电位函数）,无旋场中，矢量沿场域中任意闭合路径的环量等于零,无旋场可以表示为某一标量函数梯度场,(1) 无旋场( irrotational field )例,(2),无散场,(,无源场、管量场,solenoidal field ),例如 恒定电流的磁场,无源场中穿过场域中任一个矢量管的所有截面的通量都相等,无源场存在着矢势（磁矢位）,(2) 无散场( 无源场、管量场 solenoidal fi,(4),一般的场,例如 时变电磁场,（,3,）调和场：散度和旋度都等于零的矢量场,调和场位函数满足拉普拉斯方程,(4) 一般的场 例如 时变电磁场 （3）调和场：散度和旋度,0.6,特殊形式的电磁场,如果在经过某一轴线,(,设为,z,轴）,的一族平行平面上，场,F,的分布都相同，即,F,=,f,（,x,，,y,），,则称这个场为平行平面场。,1.,平行平面场,Special Forms of Electromagnetic Field,如无限长直导线产生的电场,。,下 页,上 页,返 回,0,0.6 特殊形式的电磁场 如果在经过某一轴线(,如果在经过某一轴线,(,设为,z,轴,),的一族子午面上，场,F,的分布都相同，即,F,=,f,（,r,），则称这个场为轴对称场。,2.,轴对称场,如螺线管线圈产生的磁场；有限长直带电导线产生的电场。,下 页,上 页,返 回,如果在经过某一轴线 ( 设为 z 轴 )的一族子,3.,球面对称场,如果在一族同心球面上（设球心在原点），场,F,的分布都相同 ，即,F,=,f,（,r,），则称这个场为球面对称场。,如点电荷产生的电场；带电球体产生的电场。,上 页,0,返 回,3. 球面对称场 如果在一族同心球面上（设球心在原,矢量分析常用的恒等式（,P332335,）,矢量分析常用的恒等式（P332335）,作 业,式中：,试证明下列各题,:,上 页,返 回,作 业 式中：试证明下列各题:上 页返 回,求,和,求和,