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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,BS,版,八,年级上,阶段核心题型专训,勾股定理解题的十种常见题型,第一章 勾股定理,4,提示,：,点击 进入习题,答案显示,6,1,2,3,5,7,8,9,10,见习题,见习题,见习题,见习题,见习题,见习题,见习题,见习题,见习题,见习题,1,如图，在等腰直角三角形,ABC,中，,ABC,90,，点,D,为,AC,边的中点，过,D,点作,DE,DF,，交,AB,于,E,，交,BC,于,F,.,若,AE,4,，,FC,3,，求,EF,的长,解：如图，连接,BD,.,因为在等腰直角三角形,ABC,中，点,D,为,AC,边的中点，,ABC,90,，所以,BD,AC,，,BD,平分,ABC,.,所以,ABD,CBD,45.,又易知,C,45,，,所以,ABD,CBD,C,.,易知,BD,CD,.,2,如图，在四边形,ABFC,中，,ABC,90,，,CD,AD,，,AD,2,2,AB,2,CD,2,.,试说明：,AB,BC,.,【,点拨,】,当,已知条件中有线段,的,平方,关系时，应选择用,勾股定理,说明,，应用勾股定理说明两条,线,段,相等的一般步骤：找出图中说明结论所要用到的直角三角形；根据勾股定理写出三边长的平方关系；联系已知，等量代换，求之即可,解：因为,CD,AD,，所以,ADC,90,，,即,ADC,是直角三角形,由勾股定理，得,AD,2,CD,2,AC,2,.,又因为,AD,2,2,AB,2,CD,2,，,所以,AD,2,CD,2,2,AB,2,.,所以,AC,2,2,AB,2,.,因为,ABC,90,，所以,ABC,是直角三角形,由,勾股定理，得,AB,2,BC,2,AC,2,，,所以,AB,2,BC,2,2,AB,2,.,所以,BC,2,AB,2,，即,AB,BC,.,3,如图，,C,90,，,AM,CM,，,MP,AB,于点,P,.,试说明：,BP,2,BC,2,AP,2,.,解：如图，连接,BM,.,因为,PM,AB,，,所以,BMP,和,AMP,均为直角三角形,所以,BP,2,PM,2,BM,2,，,AP,2,PM,2,AM,2,.,同理可得,BC,2,CM,2,BM,2,.,所以,BP,2,PM,2,BC,2,CM,2,.,又因为,CM,AM,，,所以,CM,2,AM,2,AP,2,PM,2,.,所以,BP,2,PM,2,BC,2,AP,2,PM,2,.,所以,BP,2,BC,2,AP,2,.,4,如图，在四边形,ABCD,中，,AB,AD,8,，,A,60,，,D,150,，四边形,ABCD,的周长为,32,，求,BC,和,CD,的长度,【,点拨,】,当,已知条件比较分散且无法直接使用时，往往通过作辅助线构造特殊三角形进行计算,5,如图，将长方形,ABCD,沿,EF,折叠，使顶点,C,恰好落在,AB,边的中点,C,处若,AB,6,，,BC,9,，求,BF,的长,【,点拨,】,根据折叠前后，重合的图形全等，得到相等的线段、相等的角在新增的,Rt,C,BF,中，利用折叠的性质，表示出各边长，列方程求解,解：因为折叠前后两个图形的对应线段相等，所以,CF,C,F,.,设,BF,x,，因为,BC,9,，,所以,CF,9,x,.,所以,C,F,9,x,.,由题意得,BC,3.,在,Rt,C,BF,中，根据勾股定理可得,C,F,2,BF,2,C,B,2,，,即,(9,x,),2,x,2,3,2,，解得,x,4.,所以,BF,的长是,4.,6,如图，在,Rt,ABC,中，,ACB,90,，,AB,5 cm,，,AC,3 cm,，动点,P,从点,B,出发沿射线,BC,以,1 cm/s,的速度移动，设运动的时间为,t,s.,(1),求,BC,边的长；,解,：在,Rt,ABC,中，,BC,2,AB,2,AC,2,5,2,3,2,16,，所以,BC,4 cm.,解：由,题意知,BP,t cm,，当,ABP,为,直角,三角形,时，有两种情况：,.,如图，当,APB,为直角时,，,点,P,与点,C,重合，,BP,BC,4 cm,，,即,t,4.,.,如图，当,BAP,为直角时,，,BP,t,cm,，,CP,(,t,4)cm,，,AC,3 cm,，,(2),当,ABP,为直角三角形时，借助图求,t,的值；,解：当,ABP,为等腰三角形时，有三种情况：,.,如图，当,BP,AB,时，,t,5,；,.,如图，当,AB,AP,时,，,BP,2,BC,8 cm,，,t,8,；,.,如图，当,BP,AP,时,，,AP,BP,t,cm,，,CP,|,t,4|cm,，,AC,3 cm,，,(3),当,ABP,为等腰三角形时，借助图求,t,的值,7,如图，某学校,(,A,点,),到公路,(,直线,l,),的距离为,300 m,，到公交站,(,D,点,),的距离为,500 m,现要在公路边上建一个商店,(,C,点,),，使之到学校,A,及公交站,D,的距离相等，求商店,C,与公交站,D,之间的距离,解：设,CD,x,(,x,0)m,，则,AC,x,m,，作,AB,l,于点,B,，则,AB,300 m.,在,Rt,ABD,中，,AD,2,AB,2,BD,2,，,AB,300 m,，,AD,500,m,，所以,BD,400 m,.,所以,BC,(400,x,)m.,在,Rt,ABC,中，,AC,2,AB,2,BC,2,，,所以,x,2,300,2,(400,x,),2,，解得,x,312.5.,所以商店,C,与公交站,D,之间的距离为,312.5 m.,8,如图，小明家位于一条南北走向的河流,MN,的东侧,A,处，某一天小明从家出发沿南偏西,30,方向走,60 m,到达河边,B,处取水，然后沿另一方向走,80 m,到达菜地,C,处,浇水，最后沿第三方向走,100 m,回到家,A,处,问小明在河边,B,处取水后是沿哪个方向行,走的？并说明理由,解：小明在河边,B,处取水后是沿南偏东,60,方向行走的理由如下：,由题易知,AB,60 m,，,BC,80 m,，,AC,100 m,，,所以,AB,2,BC,2,AC,2,.,所以,ABC,90.,又因为,AD,NM,，所以,NBA,BAD,30.,所以,MBC,180,90,30,60.,所以小明在河边,B,处取水后是沿南偏东,60,方向行走的,9,如图，圆柱形玻璃容器高,10 cm,，底面周长为,30 cm,，在外侧距下底,1 cm,的点,S,处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处,1 cm,的点,F,处有食物，求蚂蚁要吃到食物所走最短路线,的,长度,解：如图，将圆柱形玻璃容器侧面展开，,连接,SF,，过点,S,作,SP,MN,于点,P,，,由题意可知,FP,10,2,8(cm),，,SP,15 cm,，,在,Rt,SPF,中，,SF,2,SP,2,FP,2,15,2,8,2,289,，,所以,SF,17 cm.,因此，蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长为,17 cm.,10,如图，已知长方体的长为,4 cm,、宽为,2 cm,、高为,8 cm.,一只蟑螂如果沿长方体的表面从,A,点爬到,B,点，那么最短的路程是多少？,【,点拨,】,本题,运用分类讨论思想，将长方体沿不同展开方式展开，利用两点之间线段最短去确定路线，最后利用勾股定理计算,解：根据题意，有以下三种情况：,(1),如图，连接,AB,，,AB,2,AB,2,BB,2,100,；,(2),如图，连接,AB,，,AB,2,AC,2,B,C,2,116,；,(3),如图，连接,AB,，,AB,2,AD,2,B,D,2,148,；,综上所述，最短的路程应为如图所示的情况，此时,AB,2,100,，即,AB,10 cm,，故最短的路程为,10 cm.,
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