第三章 控制系统的时域稳定性

,*,第三章 控制系统的时域稳定性,（教材第,6,章）,3-1,稳定性的基本概念,3-2,Routh,Hurwitz,稳定性判据,3-3,Routh,Hurwitz,稳定性判据,的应用,第六讲：控制系统时域稳定性,（,3,学时）,3-1,稳定性的基本概念,3-2,Routh,Hurwitz,稳定性判据,3-3,Routh,判据的应用,3-1,基本概念与结论,右图是塔科马峡谷,的首座大桥，开,通于,1940,年,7,月,1,日。只要有风，,这座大桥就会晃,动。,一、基本概念,4,个月之后，一,阵风吹过，引起,桥的晃动，而且,越来越大，直到,.,同理，不要在桥上齐步走！,例,3.1,麦克风和扬声器,麦克风,扬声器,空气媒介,语音信号,回音信号,功放信号,增大功率,减小距离,尖叫,(a)K=5，k=0.1,1,10 1.5 15 2 20,(b)K=5,k=0.2,1,(c)K=10,k=0.1,1,K,k,R(s),Y(s),B(s),G(s,)=K/,（,1-K*k,）,拾音器正反馈,例,3.1,麦克风和扬声器,系统稳定性,(,输入输出稳定性,):,对任何,有界输入,产生,有界输出,的系统成为稳定系统。,这种性质保证了系统的,绝对稳定性,。,对稳定系统而言，在稳定的前提下，还可以讨论系统的,相对稳定性。,民航客机就比战斗机更加稳定。,理解,绝对稳定,不稳定,临界稳定,其中，系统的,非零极点,为：和,2.,系统稳定的充要条件,闭环传递函数的一般形式为：,其中，,是依赖于系统参数的常值系数。,当,和,取正值时，对任何有界输入，,y(t,),都是有界的。此时，所有闭环极点都在,s,平面的,左半平面。,当,N=0,时,系统脉冲响应的一般表达式为：,例如，如果虚轴根,是二重根，对应的部分分式分解应该为：,而对应的系统脉冲响应为,无界输出,：,如果系统在,右半平面,至少有一个极点，,(,某个,或,取,负值,),或在虚轴上有重根，系统对任何输入的响应都会是无界的。,此时，系统对,特定的输入,会出现,无界输出,，而对大部分有界输入产生的是,有界响应,。例如，存在简单虚轴极点时，系统对有界输入的响应是有界持续振荡，但当输入为,有界正弦信号,且,频率,正好为,虚根幅值,时，输出却是,无界,的。,用公式解释，留做练习！,当系统在虚轴上只有简单极点,(,含,N=1,),，而其他极点都在,左半平面,内时，系统将是,临界稳定,的。,闭环系统所有的极点为,负值或有负的实部,，或者说，闭环系统所有的极点都位于,s,平面的左半平面。,归纳而言，,LTIC,系统绝对稳定的充要条件是,注意：由于模型的近似化，且系统的参数又处在不断的微小变化中，所以，临界稳定实际上也应视为不稳定。,3-2,劳思稳定性判据,判据,（,1,）系统稳定的,必要,条件,:,特征方程中所有项的系数均大于,0,（同号）；只要有,1,项等于或小于,0,，则为不稳定系统。,（,2,）系统稳定的,充分,条件：,劳思表,第一,列,元素均大于,0,（同号）。,（,3,）系统,不稳定,的,充分,条件：,劳思表,第一,列,若出现小于,0,的元素，则系统不稳定。且第一列元素符号改变的次数等于系统正实部根的个数。,设特征方程为,则,Routh,表为,例,3.2,则系统不稳定，且有两个正实部根。（即有,2,个根在,S,的右半平面。）,一次方程,:,a,1,a,0,同号，则系统稳定。,二次方程,:,a,1,a,2,a,0,同号，则系统稳定。,三次方程,:,a,0,a,1,a,2,a,3,均大于,0,，且,a,1,a,2,a,3,a,0,，则系统稳定。,情况一、首列均不为,0,；,情况二、首列出现,0,，但该行不全为,0,；,情况三、首列出现,0,，且该行全为,0,；,情况四、虚轴上有重根。,其中，情况一是重点。,劳斯表情况一,例,3.3,、含参变量的例子：设系统特征方程为：,s,3,+s,2,+s+K=0;,K,不等于或,劳 斯 表,1,1,1,K,0,s,0,s,1,s,2,s,3,K,1-K,于是：,小于，系统不稳定；,大于，系统不稳定；,大于且小于时，系统稳定。,参数取值影响稳定性！,例,3.4,设系统特征方程为：,s,6,+2s,5,+3s,4,+4s,3,+5s,2,+6s+7=0,劳 斯 表,s,6,s,5,s,0,s,1,s,2,s,3,s,4,1,2,4,6,3,5,7,(6,4)/2=1,1,(10-6)/2=2,2,7,1,2,4,6,3,5,7,1,0,(6-14)/1=-8,-8,4,1 2,劳斯表情况二,劳斯表特点,2,每两行个数相等，否则补,0,。,1,右移一位降两阶,3,行列式第一列不动,4,次对角线减主对角线,5,分母总是上一行第一个元素,7,第一列出现零元素时，,用正无穷小量,代替。,6,一行可同乘或同除某正数,2+8/,7,1 2 7,-8,-8-7,/(,2+8/,）,7,8,再令正无穷小量,趋近于,0,，得到真正的劳斯表如下,。,系统稳定的,必要,条件,:,有正有负一定不稳定,!,缺项一定不稳定,!,系统稳定的,充分,条件,:,劳斯表第一列元素,不变号,!,若变号，则系统不稳定,!,本例的系统不稳定。,变号的,次数,为,s,右半平面上特征根的,个数,!,特征方程各项系数,均大于零,!,-s,2,-5s-6=0,稳定吗？,s,6,s,5,s,0,s,1,s,2,s,3,s,4,1,4,6,3,5,7,+,7,1 2 7,-8,0,-8,7,同号！,劳斯表情况二,例,3.5,含参变量的例子：设系统特征方程为：,s,4,+s,3,+s,2,+s+,=0,令,趋近于，劳斯表首列出现与负无穷大之积。,非零时，系统总是不稳定的。,劳 斯 表,1,1,1,1,k,0,s,0,s,1,s,2,s,3,s,4,0,k,0,(,-K)/,K,劳斯表情况三（不展开）,例,3.6,设系统特征方程为：,s,4,+5s,3,+7s,2,+5s+6=0,劳 斯 表,s,0,s,1,s,2,s,3,s,4,5,1,7,5,6,1,1,6,6,0,1,劳斯表何时会出现零行,?,2,出现零行怎么办,?,3,如何求对称的根,?,由零行的上一行构成辅助方程，,辅助方程的根也是特征方程的根,存在关于原点对称的特征根时，会出现零行,s,2,+1=0,1,1,1,劳斯表出现零行，系统,一定,不是稳定的。,求解辅助方程得,:,s,1,2,=j,由综合除法，可得另两个根为,s,3,4,=-2,-3,劳斯表情况四（不展开）,例,3.7,、,设系统特征方程为：,s,5,+s,4,+2s,3,+2s,2,+s+1=0,，,即：,令,趋近于，劳斯表首列仍没有变号，但继续出现，此时，劳斯判据失效。,系统在,虚轴上有重根,，响应中含有,tsin(t,),成分，是发散的。,(S+1)(,S+j,)(S-j)(,S+j,)(S-j)=0,劳 斯 表,1,1,2,2,1,0,1,s,0,s,1,s,2,s,3,s,4,S,1,1,1,0,3-3,劳思判据的应用举例,例,3.8,试分析如下系统的稳定性，其中,K0,R(s,),Y(s,),_,系统的特征方程为：,系统稳定否？,不稳定！,例,3.9,焊接控制（,p256,例,6.5),R(s,),C(s,),_,系统的特征方程为：,要求确定参数,K,和,a,的范围，以保证系统稳定。,列劳思表：,若取,k=40,，,则要求,a0.639,例,3.10,已知系统的特征方程为,:,试判断使系统稳定的,k,值范围,如果要求特征值均位于,s=-1,垂线之左。问,k,值应如何调整,?,将特征方程化为,:,列劳思表，可解得：,使系统稳定的,k,值范围是,0k13,。,若要求全部特征根在,s=-1,之左,则虚轴向左平移一个单位，令,s,=,s,1,-1,代入特征方程,得,:,列劳思表,:,第一列元素均大于,0,则得,:,列劳思表,:,例,3.11,已知系统的特征方程为：,若系统以 的频率作等幅振荡，试确定参数,K,和,a,之值。,由于系统处于等幅振荡状态，因此闭环系统必具有共轭纯虚根：,j2,和,-j2,。,可得：,习题,(,时域稳定性的习题一并布置）,E6.1,E6.2,E6.4,E6.9,E6.14,E6.16,E6.17,E6.19,P6.1,P6.11,P6.16,P6.18,DP6.2,MP6.2,MP6.4,