二重积分几何的应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二重积分几何的应用,设,n,是,光滑曲面,(,如图,),：,1),方向余弦,二、曲面面积的积分公式,上过点,处的法向量,.,若,为锐角,则由,立得夹角余弦公式：,1.,复习和预备,2),面积投影定理,在曲面上点 处取切平面,小块,d,A,以代替曲面上相应的面积微,(,称为面积元素,),元,d,S,使其与,d,A,在,D,上有共同投影,d,取切平面,A,与,D,之交线,L,为,x,轴,如,故得,x,y,以以下图(矩形).,当 为锐角时,由于,2.,曲面面积的定义与公式,记 是与 有相同投影,当 充分小时,显然有,:,从而取,那么有:,定义,将,S,任意分为不重叠的小曲面之和,(,如上,),而,将,S,任意分为,:,(,不重叠,),的面积记为,的切平面小块,借用定积分根本思想：,假设曲面方程为：,那么曲面面积为：,假设曲面方程为：,那么曲面面积为：,评注,1),同理可得,存在,那么称其为曲面S的面积.记为：,解,曲面在,xoy,面上投影为,那么,出的面积,A.,3.,公式应用,上述公式的应用步骤如下：,被柱面,所截,例,1,计算双曲抛物面,1),由题设确定曲面方程及其投影区域,D,;,2)给出D的适宜表述,代入公式化为二次积分.,解,解,解方程组,得两曲面的交线为圆周,在 平面上的投影域为,1.,直角坐标下的曲面面积公式及应用,2.,参数方程下的曲面面积公式及应用,3.,课堂练习 书,P130:,习题,2,；,三、小结与练习,书,P130:,习题,1,；,四、作业,一、重积分计算的根本方法,1.选择适宜的坐标系,使积分域多为坐标面,(,线,),围成,;,被积函数用此坐标表示简洁或变量别离.,2.,选择易计算的积分序,积分域分块要少,累次积分易算为妙,.,图示法,解方程组求交点,3.,确定积分限的方法,累次积分法,二重积分计算法习作与练习,例1 求以下积分,解,先,y,后,x,直接求,.,解,作图,取,x-,型为简,.,解法一,用直角坐标直接求；,解法二,用对称性及奇函数直接求；,所围成,.,例,2,计算二重积分,其中,D,为圆周,所围闭区域,.,提示,:,利用极坐标,原式,例,3,计算二重积分,其中,:,(1),D,为圆域,(2),D,由直线,解,:,(1),利用对称性,.,围成,.,(2),积分域如图,:,将,D,分为,添加辅助线,利用对称性,得,例,5,计算二重积分,在第一象限局部.,解,:,(1),两局部,那么,其中,D,为圆域,把与,D,分成,作辅助线,(2),提示,:,两局部,说明:假设不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号.,作辅助线,将,D,分成,例,6,如以下图,交换以下二次积分的顺序:,解,