2-7利用等价无穷小量代换求极限

*,一、无穷小的比较,二、利用等价无穷小替换求极限,三、小结 思考,第七节 利用等价无穷小量代换求极限,第二章 极限与连续,1,一、无穷小的阶,(,order,),的比较,无穷小量趋于零的速度有很大差异，试比,较当,以下各函数趋于零的快慢,:,利用等价无穷小量代换求极限,2,定义,记作,记作,是同一过程中的两个无穷小,高阶的无穷小,;,低阶的无穷小,;,同阶无穷小,;,等价无穷小,利用等价无穷小量代换求极限,3,如,高阶无穷小,同阶无穷小,.,因为,二阶无穷小,.,k,阶无穷小,.,利用等价无穷小量代换求极限,4,例,1,因,故 是比,x,高阶的无穷小,例,2,由于,故说当,x,0,分子和分母是等价无穷小,.,*,但,*,同阶无穷小, (,x,0,).,所以,利用等价无穷小量代换求极限,5,例,3,解,例,4,解,利用等价无穷小量代换求极限,6,练习,利用等价无穷小量代换求极限,7,定理,1,证,因此,设,则,因此,设,则,二、利用等价无穷小替换求极限,利用等价无穷小量代换求极限,8,例,所以,所以,所以,所以,利用等价无穷小量代换求极限,9,常用等价无穷小,利用等价无穷小量代换求极限,10,定理,2,证,(,等价无穷小替换定理,),利用等价无穷小量代换求极限,11,例,5,解,等价无穷小替换定理说明,两个无穷小之,比的极限,可由它们的等价无穷小之比的极限,代替,.,给 型未定式的极限运算带来方便,.,利用等价无穷小量代换求极限,12,例,6,解,加、减项,的无穷小不要用等价无穷小代换,.,注,利用等价无穷小量代换求极限,13,例,7,解,解,错,利用等价无穷小量代换求极限,14,*例,8,解,利用等价无穷小量代换求极限,15,练习,利用等价无穷小量代换求极限,16,练习,解,利用等价无穷小量代换求极限,17,1.,无穷小的比较,2.,等价无穷小的替换,求极限的又一种方法,注意适用条件,.,高,(,低,),阶无穷小,;,同阶,(,等价,),无穷小,;,无穷小的阶,.,三、小结,反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度,但并不是所有的无穷小都可进行比较,.,快慢,利用等价无穷小量代换求极限,18,思考题,任何两个无穷小都可以比较阶的高低吗？,解答,不能,都是无穷小,但,例如,不存在,.,故,不能比较,.,利用等价无穷小量代换求极限,19,练 习 题,利用等价无穷小量代换求极限,20,7.,),0,(,3,-,+,a,a,x,a,对于,x,是,_,阶无穷小,.,8.,无穷小,x,cos,1,-,与,n,mx,等价，则,.,_,_,n,m,=,二、求下列各极限：,1,.,x,x,x,x,3,0,sin,sin,tan,lim,-,；,2,.,b,a,b,a,b,a,-,-,e,e,lim,；,3,.,x,x,x,x,b,a,sin,sin,lim,0,-,；,利用等价无穷小量代换求极限,21,练习题答案,利用等价无穷小量代换求极限,22,