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,单击此处编辑母版文本样式,第九章,直线、平面、简单几何体,平面及其基本性质,第 讲,第二课时,1.,四面体,ABCD,中，,E,、,G,分别为,BC,、,AB,的中点，,F,在,CD,上，,H,在,AD,上，,且有,DFFC=,23,，,DHHA=,23,.,求证：,EF,、,GH,、,BD,交于一点,.,题型,4,共点问题,分析：,只要证明点,E、F、G、H,分别所在的直线,EG,和,HF,平行，由公理的推论3就可知它们共面.在,ABD,和,CBD,中，由,E、G,分别是,BC,和,AB,的中点及,可得，,所以,EGHF,直线,EF,，,GH,是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点,P,.因此，要证三条直线,EF、GH,、,BD,交于一点，只要证点,P,在直线,BD,上即可.事实上，由于,BD,是,EF,和,GH,分别所在平面,BCD,和平面,ABD,的交线，而点,P,是上述两平面的公共点，由公理2知,PBD,.,证法,1,：,(,几何法,),连结,GE,、,HF.,因为,E,、,G,分别为,BC,、,AB,的中点，,所以,GEAC,.,又因为,DFFC=,23,，,DHHA,=23,，,所以,HFAC,所以,GEHF.,故,G,、,E,、,F,、,H,四点共面,.,又因为,EF,与,GH,不能平行，,所以EF与GH相交，设交点为P.,那么P平面ABD，P平面BCD，,而平面ABD平面BCD=BD，,所以EF、GH、BD交于一点.,证法2：(向量法),由,所以 ，从而 .,故G、E、F、H四点共面.又因为EF与,GH不能平行，所以EF与GH相交，,设交点为P.,那么P平面ABD，P平面BCD，,而平面ABD平面BCD=BD，,所以EF、GH、BD交于一点.,点评：证明线共点，常采用证两直线的,交点在第三条直线上的方法，而第三条,直线又往往是两平面的交线.,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是A1A的中点，求证：CE，D1F，DA三线共点.,证明：因为E是AB的,中点，F是A1A的中点，连,结A1B.那么EFA1B，所以,EFD1C且EF= D1C，,故四边形ECD1F是梯形，,两腰CE，D1F相交，设其交点为P.,那么PCE，又CE平面ABCD，,所以P平面ABCD.同理，,P平面ADD1A1.,又平面ABCD平面ADD1 A1=AD，,根据公理3知，PAD，所以CE，,D1F，DA三线共点.,2. 在空间四边形,ABCD,中，,E、F、G、H,分别是,AB、BC、AD、CD,边上的点，且,EF,和,GH,相交于,P,点，求证：,A、C、P,三点共线.,题型,5,共线问题,证明：,依据题意，,A,、,B,、,C,为不共线三点，由这三点确定一个平面,.,因为,E,、,F,分别是,AB,、,BC,上的点，,所以,E,、,F,在平面,ABC,内，,从而直线,EF,在平面,ABC,内,.,因为点,P,在直线,EF,上，,所以点,P,在平面,ABC,内,.,同理，点,P,在平面,ACD,内,.,所以点,P,是平面,ABC,和,平面,ACD,的一个公共点,.,因为平面,ABC,平面,ACD=AC,，,所以点,P,在直线,AC,上，,即,A,、,C,、,P,三点共线,.,点评：,证多点共线问题，一般先取过,两点的直线，然后证其他点在这条直,线上；也可证明这些点均在两个平面,的交线上,.,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,对角线,A,1,C,与平面,BDC,1,相交于,O,点，,直线,AC,和,BD,相交于点,M,.,求证：,C,1,、O、M,三点共线.,证明：,因为,AA,1,CC,1,，,所以,AA,1,和,CC,1,确定一个平面,.,显然，,C,1,、,O,、,M,三点都在平面,AA,1,C,1,C,内,.,又,C,1,、,O,、,M,三点都在平面,BC,1,D,内，,所以,C,1,、,O,、,M,三点在平面,AA,1,C,1,C,和,平面,BC,1,D,的交线上，即三点共线,.,3. 三条直线a、b、c两两互相平行，且分别与直线l相交于A、B、C三点，证明：四条直线l、a、b、c共面.,证明：因为ab，bc，,故设由a、b确定的平面,为，由b、c确定的平面为.,因为la=A，lb=B，而A，B，,所以l.同理，l.,题型,6,共面问题,点评：,证明直线共面通常的方法是：,由其中两条直线确定一个平面，再,证明其余的直线都在此平面内,(,纳入法,),；,过某些直线作多个平面，然后证明这些,平面重合,(,重合法,),；,也可利用共面向量定理来证明,.,求证：两两相交且不通过同一点的四条直,线必在同一平面内.,证明：(1)假设a、b、c三线共点P，但点Pd，,由d和其外一点可确定一个平面.,又ad=A,所以点A,所以直线a.,同理可证：b、c,所以a、b、c、d共面.,(2)假设a、b、c、d两两相交但不过同一点,因为ab=Q,所以a与b可确定一个平面.,又cb=E,所以E,同理ca=F,所以F,所以直线c上有两点E、F在内,所以c.,同理可证：d,故a、b、c、d共面.,由(1)(2)知：两两相交且不通过同一点的四,条直线必共面.,对于空间五个不同的点，假设任意四点都是共面的，求证：这五个点必共面.,证明：设五个点分别为A、B、C、D、E，且A、B、C、D四点在平面内，A、B、C、E四点在平面内.,(1)假设A、B、C三点不共线，那么平面、有三个不共线的公共点，所以与重合，从而五点共面.,(2)假设A、B、C三点共线，设所在直线为l.依据题意，A、B、D、E四点共面，那么直线l在这个平面内，从而C点也在该平面内，故有五点共面.,1. 证明假设干个点共线，常转化为证明这些点都是某两个平面的公共点，再根据公理2，这些点都在这两个平面的交线上，从而共线.,2. 证明假设干条直线共点与证明假设干个点共线是同一类问题，都可以转化为证明“点在直线上(两条直线的交点在第三条直线上).,3.,证明某些点或直线共面，常用两种方法：一是先由其中的某些点或直线确定一个平面，再证其他点或直线都在这个平面内；二是先由其中的某些点或直线确定两个平面,、,，再证,、,重合.,
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