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,单击此处编辑母版文本样式,第九章,直线、平面、简单几何体,线面垂直与面面垂直,第 讲,第一课时,考点,搜索,线面垂直与面面垂直的概念,线面垂直与面面垂直的判定定理,线面垂直与面面垂直的性质定理,三垂线定理及其逆定理高考,高考,猜想,1.,判断或证明线面垂直和面面垂直是考查的重点内容,.,2.,线面垂直与线面平行的相互转化,.,3.,在线面垂直背景下求有关量的值,.,1.,如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的,_,都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直,.,其中直线叫做平面的,_;,平面叫做直线的,_,；交点叫做,_.,2.,如果一条直线和一个平面内的,_,都垂直，那么这条直线垂直于这个平面,.,任意一条直线,垂线,垂面,垂足,两条相交直线,3. 设l，m为直线，为平面，假设l m，且l，那么_；假设l，且m ，那么_ .,4. 设l为直线，、为平面，假设l ，且，那么_;假设l，且l，那么_.,5. 如果两个相交平面所成的二面角为_，那么称这两个平面互相垂直.,m,l,m,l,直二面角,6.,如果一个平面经过另一个平面的,，那么这两个平面互相垂直,.,7.,如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内,_,的直线垂直于另一个平面,.,8.,自平面,外一点,P,向平面,引垂线，垂足,P,叫做点,P,在平面,内的,_.,一条垂线,垂直于交线,正射线,9.,如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条直线叫做这个平面的,_;,直线和平面的交点叫做,_.,10.,在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的,_,，那么它也和这条斜线垂直,;,如果它和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在,_,垂直,.,斜线,斜足,射线垂直,平面内的射线,11. 过一点且垂直于一个平面的直线条数为 _；过一点且垂直于一条直线的平面个数为 _.,12. 从平面外一点向这个平面所引的斜线段中，相等的斜线段其射影长 _;较长的斜线段其射影 _，反之亦然.,有且只有一条,有且只有一个,相等,较长,1.给出以下命题，其中正确的两个命题是( ),假设直线上有两点到平面的距离相等，,那么此直线与平面平行;,夹在两个平行平面间的两条异面线段,的中点连线平行于这两个平面;,直线m平面，直线nm，那么n;,假设a、b是异面直线，那么存在唯一的平面,，使它与a、b都平行且与a、b距离相等.,A. B. C. D. ,解：错误.如果这两点在该平面的异,侧，那么直线与平面相交.,正确.如右图，平面,，A，C，,D，B且E、F分别,为AB、CD的中点，,设H是CG的中点，,那么EHBG，HFGD.,所以EH平面，,HF平面.,所以平面EHF平面平面.,所以EF，EF.,错误.直线n可能在平面内.,正确.如右图，设AB是异面直线a、b的公垂线段，E为AB的中点，过E作aa，bb，那么a、b确定的平面即为与a、b都平行且与a、b距离相等的平面，并且它是唯一确定的.,应选D. ,2.,在正方形,SG,1,G,2,G,3,中，,E,、,F,分别是,G,1,G,2,、,G,2,G,3,的中点，,D,是,EF,的中点，沿,SE,、,SF,及,EF,把这个正方形折成一个四面体，使,G,1,、,G,2,、,G,3,三点重合，重合后的点记为,G,，那么，在四面体,S-EFG,中必有,( ),A.,SG,平面,EFG,B.,SD,平面,EFG,C.,FG,平面,SEF,D.,GD,平面,SEF,A,解：注意折叠过程中，始终有SG1 G1 E ，SG3G3F，即SGGE，SGGF，所以SG平面EFG.应选A.,3.在三棱锥A-BCD中，假设ADBC，BD AD，BCD是锐角三角形，那么必有( ),A. 平面ABD平面ADC,B. 平面ABD平面ABC,C. 平面ADC平面BCD,D. 平面ABC平面BCD,解,:,由,ADBC,BDAD,所以,AD,平面,BCD,，,又,AD,平面,A D C,，,所以平面,ADC,平面,BCD.,C,1.,在直三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中，,ACB=,90,，,BAC=,30,，,BC,=1,，,AA,1,=6,，,M,为,CC,1,的中点，,求证：,AB,1,A1M,.,证法,1,：,分别取,AA,1,、,A,1,B,1,的中点,D,、,E,，,连结,CD,、,DE,，,题型,1,线线垂直的判定与证明,那么,所以CDE为异面直线,AB1和A1M所成的角.,连结CE，由可得,AC= ，AB=2，AD= ，,所以,.,连结C1E，那么C1E= A1B1=1，,所以CE2=CC21+C1E2=7.,于是，有CD2+DE2=CE2，,所以 C D E = 9 0 ，,即AB1A1M.,证法2：由题设知B1C1A1C1，,B1C1CC1 ，所以B1C1平面ACC1A1.,连结AC1，那么AC1是AB1在平面ACC1A1,内的射影.,由可得AC=A1C1= ，C1M= ，,所以tanAC1C= ，,tanMA1C1= ，,所以AC1C=MA1C1.,所以AC1A1+MA1C1=AC1A1+AC1C=90,所以A1MAC1.据三垂线定理，A1MAB1.,点评：,证两异面直线垂直的方法主要有：所成的角是直角；平移后转化到同一平面内的两直线垂直；利用三垂线定理，证一线的射影与直线垂直；利用线面垂直的性质,.,在直三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中，,B,1,C,1,=A,1,C,1,，,A,1,BAC,1,，,求证：,A,1,BB,1,C,.,证明：,取,A,1,B,1,的中点,D,1,，,连结,C,1,D,1,.,因为,B,1,C,1,=A,1,C,1,，所以,C,1,D,1,A,1,B,1,，,所以,C1D,1,平面,ABB,1,A,1,.,连结AD1，那么AD1是AC1在平面,ABB1A1内的射影，,因为A1BAC1，,所以A1BAD1.,取AB的中点D，,连结CD、B1D，,那么B1DAD1，且B1D是B1C在平面,ABB1A1内的射影.,因为B1DA1B，所以A1BB1C.,2.,在三棱锥,P-ABC,中，,PA=PB=PC,，,ABBC,，,D,为,AC,的中点，,求证：,PD,平面,ABC,.,证法,1,：,因为,PA=PC,，,D,为,AC,的中点，,所以,PDAC,.,取,BC,的中点,E,，连结,PE,、,DE,.,题型,2,线面垂直的判定与证明,因为,PB=PC,，,所以,PEBC,，,又,DEAB，ABBC，,所以,DEBC,，,于是,BC,平面,PDE,，,所以,BCPD,.,结合知，,PD,平面,ABC,.,证法2：过点P作PO平面ABC，垂足为O.因为PA=PB=PC，所以AO=OB=OC，即O为ABC的外心.因为ABBC，即ABC为直角三角形，所以O为斜边AC的中点，从而D与O重合，故PD平面ABC.,点评：证线面垂直一般是转化为证直线与平面内两条相交直线垂直，即由“线线垂直得出“线面垂直.,如图，正三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,的所有棱长都为,2,，,D,为,CC,1,的中点,.,求证：,AB,1,平面,A,1,BD,.,证明：,取,BC,的中点,O,，,连结,AO,.,因为,ABC,为,正三角形，所以,AOBC,.,棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中，平面,ABC,平面,BCC,1,B,1,，所以,AO,平面,BCC,1,B,1,.,连结,B,1,O,.,在正方形,BB,1,C,1C,中，,O,、,D,分别为,BC,、,CC,1,的中点，,所以,B,1,OBD,，,所以,AB,1,BD,.,在正方形,ABB,1,A,1,中，,AB,1,A,1,B,，,所以,AB,1,平面,A,1,BD,.,3. 在四棱锥P-ABCD中，PA底面A B CD，底面ABCD为矩形，PA=AD，M为AB的中点.,求证：平面PMC平面PCD.,证明：分别取PC、PD的中点,N、E，连结MN、AE、EN，,那么 .,题型,3,面面垂直的判定与证明,又,，,所以,.,所以四边形,AMNE,为,平行四边形，,所以,MNAE,.,因为,PA=AD,，,所以,AEPD,.,又,CDAD,，,CDPA,，,所以,CD,平面,PAD,，所以,CDAE,.,于是,AE,平面,PCD,，,所以,MN,平面,PCD.,因为,MN,平面,PMC,，,所以平面,PMC,平面,PCD,.,点评：,利用面面垂直的判定定理证两平面垂直，关键是在其中一个平面内找一条直线垂直另一个平面，即将证面面垂直问题转化为证线面垂直问题,.,1.,判断或证明两条直线垂直的主要方法有：,(1),利用两直线垂直的定义，判断两直线所成的角为,90;(2),利用三垂线定理或其逆定理；,(3),利用线面垂直的概念，证明一条直线垂直于经过另一条直线的一个平面,;(4),利用有关两直线垂直的平面几何性质,(,如菱形的对角线互相垂直，等腰三角形底边上的中线垂直于底边等,).,2.,判断或证明直线和平面垂直的主要方法有：,(1),利用直线和平面垂直的定义；,(2),利用直线和平面垂直的判定定理；,(3),转化为另一条平行线和这个平面垂直；,(4),利用同一法，即过直线上一点作平面的垂线，再证两直线重合,.,3.,判定或证明两平面垂直有两种方法：一是根据定义判断；二是由判定定理确定,.,面面垂直与线面垂直、线线垂直是密切相关的，解题时要注意三者的相互转化,.,4.,平行与垂直是对立统一的辩证关系,.,通过平移转化某些垂直关系，是一个重要的解题技巧,.,
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