数学模型第四版课件第七章

第七章 稳定性模型,7,.1,捕鱼业的持续收获,7,.2,军备竞赛,7,.3,种群的相互竞争,7,.4,种群的相互依存,7,.5,食饵,-,捕食者模型,7.6,差分形式的阻滞增长模型,稳定性模型,对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间,充分长以后过程的变化趋势,平衡状态是,否稳定,.,不求解微分方程，而是用微分方程稳定性,理论研究平衡状态的稳定性,.,差分方程的稳定性与微分方程稳定性理论相似,.,7.1,捕鱼业的持续收获,再生资源渔业、林业等与,非再生资源矿业等.,再生资源应适度开发在持续稳产,前提下实现最大产量或最正确效益.,问题及 分析,在捕捞量稳定的条件下，如何控制,捕捞使产量最大或效益最正确,如果使捕捞量等于自然增长量，渔场,鱼量将保持不变，那么捕捞量稳定.,背景,产量模型,假设,无捕捞时鱼的自然增长服从,Logistic,规律,.,单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比,.,建模,捕捞情况下渔场鱼量满足,不需要求解,x,(,t,),只需知道,x,(,t,),稳定的条件,.,r,固有增长率,N,最大鱼量,h,(,x,)=,Ex, E,捕捞强度,x,(,t,) ,渔场鱼量,一阶微分方程的平衡点及其稳定性,一阶非线性,自治,(,右端不含,t,),方程,F,(,x,)=0,的根,x,0,微分方程的,平衡点,设,x,(,t,),是方程的解，若从,x,0,某邻域的任一初值出发，都有,称,x,0,是方程,(1),的,稳定平衡点,.,不求,x,(,t,),判断,x,0,稳定性的方法,直接法,(1),的近似线性方程,产量模型,平衡点,稳定性判断,x,0,稳定, 可得到稳定产量,x1 稳定, 渔场枯槁,E,捕捞强度,r,固有增长率,产量模型,在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使,产量,最大,.,图解法,P,的横坐标,x,0,平衡点,y=rx,h,P,x,0,y,0,y=h,(,x,),=Ex,x,N,y=f,(,x,),P,的纵坐标,h,产量,产量最大,f,与,h,交点,P,h,m,x,0,*,=,N,/2,P,*,y=E,*,x,控制渔场鱼量为最大鱼量的一半,效益模型,假设,鱼销售价格,p,单位捕捞强度费用,c,单位时间利润,在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使,效益,最大,.,稳定平衡点,求,E,使,R,(,E,),最大,渔场鱼量,收入,T,=,ph,(,x,) =,pEx,支出,S,=,cE,E,s,S,(,E,),T,(,E,),0,r,E,捕捞过度,封闭式捕捞,追求利润,R,(,E,),最大,开放式捕捞,只求利润,R,(,E,) 0,R,(,E,)=0,时的捕捞强度,E,s,=2,E,R,临界强度下的渔场鱼量,E,R,E,*,令,=0,xs由本钱价格比决定,捕捞过度,临界强度,捕捞过度,T,(,E,),0,r,E,S,(,E,),E,s,2,E,s,1,S,(,E,),pNE,E,*,pNE,/2,收入,支出,利润,临界强度,E,s,=0,经济学捕捞过度,生态学捕捞过度,捕鱼业的持续收获,在自然增长和捕捞情况的合理假设下建模,.,用平衡点稳定性分析确定渔场鱼量稳定条件,讨论产量、效益和捕捞过度,3,个模型,.,7.2,军备竞赛,描述双方,(,国家或国家集团,),军备竞赛过程,.,解释,(,预测,),双方军备竞赛的结局,.,假设,1由于相互不信任，一方军备越大，另一,方军备增加越快；,2由于经济实力限制，一方军备越大，对,自己军备增长的制约越大；,3由于相互敌视或领土争端，每一方都存,在增加军备的潜力.,进一步假设,12的作用为线性；3的作用为常数.,目的,建模,军备竞赛的结局,微分方程的平衡点及其稳定性,x,(,t,),甲方军备数量，,y,(,t,),乙方军备数量, ,本方经济实力的制约；,k, l,对方,军备数量的刺激；,g, h,本方,军备竞赛的潜力,.,t, ,时的,x,(,t,),，,y,(,t,),线性常系数微分方程组,的平衡点及其稳定性,平衡点,P,0,(,x,0,y,0,)=(0,0) ,代数方程,的根,若从,P,0,某邻域的任一初值出发，都有,称,P,0,是微分方程的,稳定平衡点,记系数矩阵,特征方程,特征根,线性常系数微分方程组,的平衡点及其稳定性,特征根,平衡点,P,0,(0,0),微分方程一般解形式,平衡点,P,0,(0,0),稳定,平衡点,P,0,(0,0),不稳定,1,2,为负数或有负实部,p, 0,且,q, 0,p, 0,或,q, kl 下 x(t), y(t)0,即友好邻国通过裁军可到达永久和平.,模型, ,本方经济实力的制约；,k, l,对方,军备数量的刺激；,g, h,本方,军备竞赛的潜力,.,3,）若,g,h,不为零，即便双方一时和解，使某时,x,(,t,), y,(,t,),很小，但因 ，也会重整军备,.,4,）即使某时一方,(,由于战败或协议,),军备大减,如,x,(,t,),=,0,，,也会因 使该方重整军备，,即存在互不信任,( ),或固有争端,( ),的单方面,裁军不会持久,.,模型的定性解释, ,本方经济实力的制约；,k, l,对方,军备数量的刺激；,g, h,本方,军备竞赛的潜力,.,模型,7.3,种群的相互竞争,一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的,关系：,相互竞争；相互依存；弱肉强食,.,当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相,互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，,竞争力强的到达环境容许的最大容量.,建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，,分析产生这种结局的条件,.,经过自然界的长期演变，,今天看到的只是结局,.,模型假设,有甲乙两个种群，它们单独生存时,数量变化均服从Logistic规律;,两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用,与乙的数量成正比,;,甲对乙有同样的作用,.,对于消耗甲的资源而言，乙,(,相对于,N,2,),是甲,(,相对于,N,1,),的,1,倍,.,对甲增长的阻滞作用，乙大于甲,.,乙的竞争力强,模型,模型分析,(,平衡点及其稳定性,),二阶非线性,自治,方程,的平衡点及其稳定性,平衡点,P,0,(,x,1,0,x,2,0,) ,代数方程,的根,.,若从,P,0,某邻域的任一初值出发，都有,称,P,0,是微分方程的,稳定平衡点,.,模型,判断,P,0,(,x,1,0,x,2,0,),稳定性的方法,直接法,(1),的近似线性方程,平衡点,P,0,稳定,(,对,(2),(1),p, 0,且,q, 0,平衡点,P,0,不稳定,(,对,(2),(1),p, 0,或,q, 0,仅当,1,2, 1,时，,P,3,才有意义,.,模型,平衡点稳定性分析,平衡点,P,i,稳定条件：,p, 0,且,q, 0,种群竞争模型的平衡点及稳定性,不稳定,平 衡点,2,1,1,1,P,1,P,2,是一个种群存活而另一灭绝的平衡点,P,3,是两种群共存的平衡点,1,1,2,1,P1稳定的条件 11,1,1,2,1,1,1,P,1,局部稳定,0,(3),1,1,2,1,2,1,2,1,加上与,(4),相区别的,1,1,P,2,稳定,P,3,稳定,P,1,全局稳定,P,2,局部稳定,结果解释,对于消耗甲的资源而言，乙,(,相对于,N,2,),是甲,(,相对于,N,1,),的,1,倍,.,对甲增长的阻滞作用，乙小于甲,乙的竞争力弱,.,P,1,稳定的条件：,1,1,2,1 ,甲的竞争力强,甲到达最大容量，乙灭绝,P,2,稳定的条件：,1,1,2,1,P,3,稳定的条件：,1,1,2,1,通常,1, 1/,2,，,P,3,稳定条件不满足,.,7.4,种群的相互依存,种群甲可以单独生存，种群乙不能单独生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长.,自然界中处于同一环境中的两个种群相互依存而共生,.,受粉的植物与授粉的昆虫,.,以植物花粉为食物的昆虫不能离开植物独立生存，而昆虫的授粉又可以提高植物的增长率,.,人类与人工饲养的牲畜,.,模型假设,甲可以单独生存，数量变化服从Logistic规律;,甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长.,乙不能单独生存；甲乙一起生存时甲为乙提,供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的,阻滞作用 (服从Logistic规律).,模型,乙为甲提供食物是甲消耗的,1,倍,甲为乙提供食物是乙消耗的,2,倍,种群依存模型的平衡点及稳定性,P,2,是甲乙相互依存而共生的平衡点,不稳定,稳定条件,平衡点,平衡点,P,2,稳定性的相轨线,0,1,1,1,2,1,P,2,稳定,1,2,1,前提下,P,2,存在的必要条件,.,结果解释,2,1,甲必须为乙提供足够的食物,.,1,1,条件下,1,2,1,成立,1,必须足够小,限制,乙向甲提供食物，防止甲过分增长,.,P,2,稳定,(,甲乙相互依存,),条件：,甲可以独自生存,乙不能独立生存,乙为甲提供食物是甲消耗的,1,倍,.,甲为乙提供食物是乙消耗的,2,倍,.,1,1,1,2, 0,P,:,临界状态,q, 0,P,不稳定,t,x,(,t,),y,(,t,),0,20.0000,4.0000,0.1000,21.2406,3.9651,0.2000,22.5649,3.9405,0.3000,23.9763,3.9269,5.1000,9.6162,16.7235,5.2000,9.0173,16.2064,9.5000,18.4750,4.0447,9.6000,19.6136,3.9968,9.7000,20.8311,3.9587,用数学软件,MATLAB,求,微分方程数值解,xy,平面上的相轨线,计算结果数值，图形,x,(,t,),y,(,t,),是周期函数，相图(,x,y,),是封闭曲线,观察，猜测,x,(,t,),y,(,t,),的周期约为9.6,x,max,65.5,x,min,6,y,max,20.5,y,min,3.9,用数值积分可算出,x,(,t,),y,(,t,),一周期的平均值：,x,(,t,),的平均值约为25,y,(,t,),的平均值约为10,.,食饵,-,捕食者模型,(Volterra),消去,dt,用相轨线分析 点稳定性,c,由初始条件确定,取指数,x,0,f,m,f,(,x,),x,0,g,(,y,),g,m,y,0,y,0,在相平面上讨论相轨线的图形,用相轨线分析 点稳定性,相轨线,时无相轨线,以下设,y,2,y,1,x,Q,3,Q,4,q,y,1,y,2,x,1,x,2,p,y,y,0,x,x,0,P,0,x,1,x,2,Q,1,Q,2,Q,1,(,x,1,y,0,),Q,2,(,x,2,y,0,),Q,3,(,x,y,1,),Q,4,(,x,y,2,),相轨线,退化为,P,点,存在,x,1,x,0,x,2,使,f,(,x,1,)=,f,(,x,2,)=,p,存在,y,1,y,0,y,2,使,g,(,y,1,)=,g,(,y,2,)=,q,相轨线是封闭曲线族,x,Q,3,Q,4,f,(,x,),x,x,0,f,m,0,g,(,y,),g,m,y,0,y,0,相轨线,P,中心,x,是,x,1, x,2,内任意点,相轨线,是封闭曲线,x,(,t,),y,(,t,),是周期函数,(,周期记,T,),求,x,(,t,),y,(,t,),在一周期的平均值,轨线中心,用相轨线分析 点稳定性,T,2,T,3,T,4,T,1,P,T,1,T,2,T,3,T,4,x(t) 的“相位领先 y(t),模型解释,初值,相轨线的方向,模型解释,r,食饵增长率,d,捕食者死亡率,b,食饵供养捕食者能力,捕食者 数量,食饵数量,P,r/a,d/b,a,捕食者掠取食饵能力,捕食者数量与,r,成正比,与,a,成反比,食饵,数量与,d,成正比,与,b,成反比,模型解释,一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中,鲨鱼的比例却在增加，为什么？,r,r-,1,d,d+,1,捕捞,战时捕捞,r,r-,2,d,d+,2, ,2, ,1,x,y,食饵,(,鱼,),减少，,捕食者,(,鲨鱼,),增加,自然环境,还表明：对,害虫,(,食饵,),益虫,(,捕食者,),系统，使用灭两种,虫的,杀虫剂,会使害虫增加，益虫减少,.,食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进,Volterra,模型,改写,多数,食饵,捕食者系统观察不到周期震荡,而是趋向某个平衡状态,即存在稳定平衡点,.,加,Logistic,项,有,稳定平衡点,相轨线是封闭曲线，构造不稳定一旦离开某一条闭轨线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状.,自然界存在的周期性平衡生态系统是构造稳定的，即偏离周期轨道后，内部制约使系统恢复原状.,食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进,r,1,=1,N,1,=20,1,=0.1,w,=0.2,r,2,=0.5,2,=0.18,相轨线趋向极限环,结构稳定,两种群模型的几种形式,相互竞争,相互依存,弱肉强食,连续形式,的阻滞增长模型,(Logistic,模型,),t,x,N,x=N,是,稳定平衡点,(,与,r,大小无关,),离散形式,x,(,t,) ,某种群,t,时刻的数量,(,人口,),y,k,某种群第,k,代的数量,(,人口,),假设yk=N, 那么yk+1,yk+2,=N,讨论平衡点的稳定性，即,k,y,k,N,？,y,*,=N,是平衡点,7.6,差分形式的阻滞增长模型,离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性,一阶,(,非线性,),差分方程,(1),的平衡点,y,*,=N,讨论,x,*,的稳定性,变量代换,(2),的平衡点,(1),的平衡点,x,*,代数方程,x=f,(,x,),的根,稳定性判断,(1),的近似线性方程,x,*,也是,(2),的平衡点,x,*,是,(2),和,(1),的稳定平衡点,x,*,是,(2),和,(1),的不稳定平衡点,补充知识,一阶非线性差分方程,的平衡点及稳定性,0,1,的平衡点及其稳定性,平衡点,稳定性,x,*,稳定,x,*,不,稳定,另一平衡点为,x=,0,不稳定,0,1/2,1,0,1,的平衡点及其稳定性,初值,x,0,=0.2,数值计算结果,b,3.57,不存在,2,n,倍周期收敛子序列,混沌现象,4,倍周期收敛,混 沌 现 象,“差之毫厘，失之千里,混沌现象的一个典型特征,对初始条件的敏感性,k,x,k,x,k,0,0.1000,0.1001,1,0.3430,0.3433,2,0.9514,0.9520,3,1.0762,1.0753,21,1.1370,0.8442,22,0.7165,1.1993,23,1.2649,0.5540,31,0.5524,1.0058,32,1.2200,0.9901,33,0.4953,1.0165,设x0=0.1000, x0=0.1001, 比较xk,b,=3.7,著名的“蝴蝶效应,的收敛、分岔及混沌现象,b,差分形式的阻滞增长模型,阻滞增长模型(微分方程形式、差分方程形式,有广泛的应用.,基本模型 是很简单的,非线性,差分,方程,.,方程解的收敛性研究可以导出相当复杂和有趣的,结果,分岔,理论和,混沌,现象,.,在混沌区域可以出现周期为3,5,收敛的“窗口.,