资源描述
单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第八章,第五节,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,一、一个方程所确定的隐函数,及其导数,二、方程组所确定的隐函数组,及其导数,隐函数的求导方法,本节讨论 :,1) 方程在,什么条件,下才能确定隐函数 .,例如,方程,当,C, 0 时, 不能确定隐函数;,2) 在方程能确定隐函数时,研究其,连续性、可微性,及,求导方法,问题 .,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,一、一个方程所确定的隐函数及其导数,定理1.,设函数,那么方程,单值连续函数,y = f,(,x,) ,并有连续,(,隐函数求导公式,),定理证明从略，,仅就求导公式推导如下：,具有连续的偏导数;,的,某邻域内,可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,满足条件,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,导数,两边对,x,求导,在,的某邻域内,那么,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,假设F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,二阶导数 :,那么还有,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,例1,.,验证方程,在点(0,0),某邻域,可,确定一个,单值可导隐函数,解:,令,连续 ,由 定理1 可知,导的隐函数,那么,在,x =,0,的某邻域内方程存在单值可,且,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,并求,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,两边对,x,求导,两边再对,x,求导,令,x,= 0, 注意此时,导数的另一求法, 利用隐函数求导,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,定理2 .,假设函数,的某邻域内具有,连续偏导数,那么方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数,z = f,(,x , y,) ,定理证明从略,仅就求导公式推导如下:,满足,在点,满足:,某一邻域内可唯一确,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,两边对,x,求偏导,同样可得,那么,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,例2,.,设,解法1,利用隐函数求导,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,再对,x,求导,解法2,利用公式,设,那么,两边对,x,求偏导,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,例3.,设,F,(,x,y,)具有连续偏导数,解法1,利用偏导数公式.,确定的隐函数,那么,方程,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,故,对方程两边求微分,:,解法,2,微分法.,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,二、方程组所确定的隐函数组及其导数,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.,由,F、G,的偏导数组成的行列式,称为,F、G,的,雅可比( Jacobi ),行列式.,以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,即,雅可比 目录 上页 下页 返回 完毕,定理3.,的某一邻域内具有连续偏,设函数,那么方程组,的,单值连续函数,且有偏导数公式 :,在点,的某一邻域内可,唯一,确定一组满足条件,满足:,导数；,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,定理证明略.,仅推导偏导数公式如下：,(P34-P35),机动 目录 上页 下页 返回 完毕,有隐函数组,那么,两边对,x,求导得,设方程组,在点,P,的某邻域内,公式 目录 上页 下页 返回 完毕,故得,系数行列式,同样可得,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,例4.,设,解:,方程组两边对,x,求导，并移项得,求,练习:,求,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,答案:,由题设,故有,例5.,设函数,在点,(,u,v,),的某一,1) 证明函数组,(,x, y,),的某一邻域内,2) 求,解:,1) 令,对,x , y,的偏导数.,在与点,(,u, v,),对应的点,邻域内有连续的偏导数,且,唯一确定一组单值、连续且具有,连续偏导数的反函数,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,式两边对,x,求导, 得,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,那么有,由,定理 3,可知结论 1) 成立.,2) 求反函数的偏导数.,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,从方程组,解得,同理,式两边对,y,求导, 可得,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,从方程组,解得,同理,式两边对,y,求导, 可得,例5的应用:,计算极坐标变换,的反变换的导数 .,同样有,所以,由于,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,内容小结,1. 隐函数( 组) 存在定理,2. 隐函数 ( 组) 求导方法,方法1. 利用复合函数求导法那么直接计算 ;,方法2. 利用微分形式不变性 ;,方法3. 代公式,思考与练习,设,求,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,解法,2.,利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.,作业,P37 3 , 6， 7 , 9 , 10,(1); (3),，11,第六节 目录 上页 下页 返回 完毕,由d,y, d,z,的系数即可得,备用题,分别由以下两式确定 :,又函数,有连续的一阶偏导数 ,1.,设,解:,两个隐函数方程两边对,x,求导, 得,(2001考研),机动 目录 上页 下页 返回 完毕,解得,因此,2.,设,是由方程,和,所确定的函数 , 求,解法1,分别在各方程两端对,x,求导, 得,(99考研),机动 目录 上页 下页 返回 完毕,解法2,微分法.,对各方程两边分别求微分:,化简得,消去,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,可得,解:,二元线性代数方程组解的公式,雅可比,(1804 1851),德国数学家.,他在数学方面最主要,的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独,地奠定了椭圆函数论的根底.,他对行列,式理论也作了奠基性的工作.,在偏微分,方程的研究中引进了“雅可比行列式,并应用在微积分,中.,他的工作还包括代数学, 变分法, 复变函数和微分方,程,在分析力学, 动力学及数学物理方面也有奉献 .,他,在柯尼斯堡大学任教18年, 形成了以他为首的学派.,
展开阅读全文