中级宏观经济学(第5章)-拉姆齐模型

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 无限期界与代际交叠模型,第一节 拉姆齐问题,第二节 拉姆齐模型的动态分析,第三节 代际交叠中的两期寿命,第四节 戴蒙德模型的动态分析,引 言,索洛模型将储蓄看成是一种外生变量，并且模型对技术进步不予解释。拉姆齐,-,卡斯,-,库普曼模型（,Ramsey,Cass,Koopmans,）与索洛模型的最大区别在于将经济总量的动态分析建立在微观层次上。在模型中，资本存量的变动是从竞争性市场中的家庭效用最大化和厂商利润最大化之间的相互作用中推导出来，这样，储蓄就不是外生的了。,附录拉姆齐模型概述,第一节 拉姆齐问题,模型假设条件,拉姆齐提出的问题是一个国家应当储蓄多少，并用模型去求解，此模型就是现在研究资源的跨期最优配置的原型。模型假设条件如下：,(1),存在着大量相同的厂商，每个厂商的生产函数为,Y=F(K,AL),。厂商在竞争件要素市场上雇佣工人、租借资本，并在竞争性产出市场出售产品。与索洛模型相同，厂商将,A,取做给定的，,A,以,g,速率外生地增长。厂商以利润最大化为目标。由于企业由家庭所有，因此企业利润归于家庭。,(2),同样存在着大量相同的家庭。家庭的规模以,n,速率增长。家庭的每个成员在每个时点供给一单位的劳动。家庭将其拥有的资本租借给厂商。家庭拥有数量为,K(0),H,的初始资本,其中,K(0),是经济中的资本初始量，,H,为家庭数量,。假设没有折旧。在每个时点上，家庭将其收入在消费与储蓄之间进行分配，以服从其终生效用最大化的目标。,上式中，,C(t,),是在,t,时刻家庭每个成员的消费。,U(),是瞬时效用函数。,L(t,),是经济的总人口，,L(t,),H,是每个家庭的成员人员。 是,t,时刻家庭的总瞬时效用。,是贴现率，,越大，则家庭对未来消费的估价就越小。,第一节 拉姆齐问题,家庭效用函数,设家庭具有以下效用函数：,第一节 拉姆齐问题,家庭效用函数（续）,瞬时效用函数可以采取如下的形式：,这个函数形式表现了使经济收敛于平衡的增长路径。它就是著名的相对风险厌恶不的效用函数，这是因为该函数的相对风险厌恶系数,(,它被定义为,),是,，它独立于,C,。,第一节 拉姆齐问题,家庭效用函数（续）,由于在这个模型中不存在不确定性，因此与家庭的风险态度并不直接相关，其实,也决定了家庭将消费在不同时期的转移意愿：,越小，随着消费的上升，边际效用的下降速度越慢，导致家庭越愿意允许其消费随时间变动而变动。如果,接近于零，这样，效用对于,C,来说几乎是线性的，这样家庭就更愿意接受大的消费变动，这样就可以充分利用贴现率与从储蓄中获得的报酬率之间的差额。,第一节 拉姆齐问题,厂商行为,厂商行为相对简单。在每个时点上，他们租用劳动与资本进行生产，并按这些要素各自的边际产品支付报酬，并出售所生产的产出。由于生产函数具有不变的规模报酬，经济是竞争性的，厂商因此获得正常利润。我们知道，资本的边际产品为 。由于市场是竞争性的，资本只能获得其边际产品。由于不存在折旧，资本的真实报酬率等于其每单位时间的收入，因此，在,t,时刻，真实利率为：,第一节 拉姆齐问题,厂商行为（续）,劳动的边际产品为 ，它也等于 。根据上述生产函数的紧凑形式，它可写成 。因此在,c,时刻，真实工资是：,这样，每单位有效劳动的工资是：,第一节 拉姆齐问题,家庭行为预算约束,假设家庭对于,r,和,w,的路径给定，家庭的预算约束是其终生消费的贴现值不能超过其初始的财富与其终生劳动收入的现值之和。设每个家庭有,L(t,),H,个成员，在,t,时刻其劳动总收人为,W(t)L(t,),H,，其消费支出为,C(t)L(t,),H,。在初姑时刻，家庭的初始财富是经济总初始财富的,1,H,，或等于,K(0),H,。因此，家庭预算为：,第一节 拉姆齐问题,在许多情况下，对式,(5-6),进行求解是困难的。因此，我们可以用家庭的资本持有量的极限行为来表示其预算约束。为此，我们对式,(5-6),整理如下：,我们可以写出从,t,0,到,t=,的积分形式作为一种极限。这样，式,(5-7),就等价于：,家庭行为预算约束（续）,第一节 拉姆齐问题,在,s,时刻，家庭资本持有量为：,上式中， 表示在,s,时刻家庭初始财富对其总财富的贡献。在,t,时刻，家庭的储蓄是,(,可以是负值,),；,则表明从,t,时刻到,s,时刻该储蓄值的变动状况。,式,(5-9),表达式是 与式,(5-8),的大括号中的表达式的乘积，预算约束写成下式：,家庭行为预算约束（续）,第一节 拉姆齐问题,式,(5,10),就是著名的非蓬齐博弈条件,(,No-,Ponzi,-game,),。蓬齐博弈是指这样一种计划：一些人发行债券并永久性地滚动这些债务。也就是说，当发行人通过新债券获得借款时，他总能够用所获得的借款去支付旧债务。这样，这种计划就允许发行人拥有的终生消费现值超过其终生资源现值。从式,(5-6),或式,(5-10),中可以看出，这里的预算是排除这样一种计划的。,家庭行为预算约束（续）,附录非蓬齐条件,第一节 拉姆齐问题,理性家庭总是想在上述预算约束条件下将其终生效用最大化。定义,c(t,),为每单位有效劳动的消费，因此每个劳动力的消费,C(t,),等于,A(t)c(t,),。这样，家庭的瞬时效用等于：,把式,(5-11),以及在前面已提到的 代入目标函数式,(5-1),和式,(5-2),，得到：,家庭行为目标函数,第一节 拉姆齐问题,再来讨论式,(5-6),的预算约束。在,t,时刻，家庭总消费,C(t)L(t,),H,等于每单位有效劳动的消费乘以家庭的有效劳动数量,A(t)L(t,),H,。同理，在,t,时刻家庭的总劳动收入等于每单位有效劳动的工资,w(t,),乘以,A(t)L(t,),H,，其初始资本持有量等于,0,时刻每单位有效劳动的资本量,k(0),乘以,A(t)L(t,),H,。因此，可以把式,(5-6),家庭预算约束改写成下式：,由于,A(t)L(t,),等于 ，将这一结果代入上式，同时两边除以 ，可以得到下式：,家庭行为目标函数（续）,第一节 拉姆齐问题,最后，由于,K(s,),与,k(s)e,(n+g)s,成比例，就可以把式,(5-10),预算约束的非蓬齐博弈条件表达式改写成：,研究家庭的基本问题就是在式,(5-14),的预算约束条件下，如何选择,c(t,),的路径去实现如式,(5-12),所表示的终生效用最大化。由于消费的边际效用总是为正，家庭将以等式满足其预算约束。可以利用目标函数式,(5-12),和预算约束式,(5-14),来构造拉格朗日函数：,家庭行为目标函数（续）,第一节 拉姆齐问题,家庭行为效用最大化,在每个时点家庭选择,c,，这样就会形成无限多个,c(t,),。对每一单个,c(t,),，其一阶条件是对于任意的,t,：,家庭行为的特征实际上就是由式,(5-17),和预算约束式,(5-14),来刻画的。,第一节 拉姆齐问题,为了理解式,(5-17),对消费行为的含义，可以对这一公式展开进一步的分析。首先给公式两边取对数：,式,(5-18),中利用了 的定义。注意到，对于每个,t,，式,(5-18),两边相等，因此给两边求关于,t,的导数后也相等。这个条件就是：,这里利用了一个变量的对数关于时间的导数等于其增长率的概念。由式,(5-19),可以求解出 ，从而得到：,式,(5-20),利用了 的定义。,家庭行为效用最大化（续）,第一节 拉姆齐问题,由于,C(t,)(,指每个工人的消费，而不是每单位有效劳动的消费,),等于,c(t)A(t,),，因此,C,的增长率等于,c,的增长率加上,A,的增长率。从式,(5-20),中可以看出，式中隐含着每个工人的消费以,r(t,)-,的速率增长。因此，式,(5-20),表明：如果实际报酬超过了家庭用于贴现未来消费的速率，每个工人的消费将上升。如果相反的情况出现，则每个工人的消费将下降。,越小，随着消费的变化，其边际效用的变化就越少，从而为对实际利率与贴现率之间的差异作出反应，消费变动就越大。,家庭行为效用最大化（续）,第一节 拉姆齐问题,方程,(5-20),是求解这类最大化问题的著名的欧拉方程,(,Euler equation,),，也就是连续时间的随机形式,(,continuous-stochastic version,),。这一方程描述了在任何最优路径上都必须被满足的必要条件，因此这一条件也叫作凯思斯一拉姆齐规则,(,Keynes Ramsey rule or condition,),。直觉上，欧拉方程描述了结定,c(0),时，,c,必须随时间变化而变化。如果,c,不按照式,(5-20),演化，那么家庭就会在不改变终生费用现值的条件下，用提高终生效用的方式重新安排其消费。这样，,c(0),的选择就由如下条件决定：在所形成的路径上，终生消费的现值等于初始财富与未来收入的现值之和。当,c(0),被选择得太低，沿满足式,(5-20),路径上的消费支出并不会用尽其终生财富，因此，较高的路径是可能的。当,c(0),确定得太高，消费支出大于其可用尽的终生财富，这种路径反而成为不可行。,家庭行为效用最大化（续）,第一节 拉姆齐问题,家庭行为效用最大化（续）,第二节 拉姆齐模型的动态分析,C,的动态变化,假定全部家庭相同，因此式,(5-20),中所描述的,c,的演化不仅适合单个家庭，也适合扩整个经济。,由于 ，可以把式,(5,20),改写成：,第二节 拉姆齐模型的动态分析,图,5-1 c,的动态变化,C,的动态变化（图示）,第二节 拉姆齐模型的动态分析,k,的动态变化,与索洛模型一样， 等于实际投资减去持平投资。由于假设不存在折旧，持平投资就是,(n,十,g)k,。实际投资是产出减去消费，即,f(k)-c,。因此就有：,对于既定的,k,， 的,c,的水平是由,f(k)-(n,十,g)k,给出的。当消费等于实际产出与持平投资线的差额时， 等于零。,c,这个值关于,k,是递增的，一直可以增至,(,即,A,的黄金律水平,),，接着,c,关于,k,则会下降。当,c,超过或获得 的水平时，,k,开始下降；当,c,小于该水平时，,k,则上升。对于充分大的,k,，持平投资超过总产出，在此条件下，对于一切,c,的正值， 是负的。这些信息归纳在图,5-2,中，箭头表明了,k,的运动方向。,第二节 拉姆齐模型的动态分析,图,5-2 k,的动态变化,k,的动态变化（图示）,可以把图,5-1,和图,5-2,的信息结合在图,5-3,中，箭头表明了,c,与,k,的运动方向。在 轨迹的左边与 轨迹的上方， 为正， 为负。因为如果,c,在上升，,k,则下降，因而箭头指向上方与左边。图的其他部分的箭头依据同样的推理推出。在 与 曲线上,c,与,k,中只有其中一个正在变化。例如，在处在 的轨迹上，同时又处在 轨迹上方,c,不变，而,k,下降，这样，箭头就指向左方。最后，在,E,点处,与 等于零，在这里不存在由这点开始的变动。,第二节 拉姆齐模型的动态分析,图,5-3 c,和,k,同时运行的动态变化,C,和,k,的动态变化,第二节 拉姆齐模型的动态分析,考虑到索洛模型，自然要提出的重要的问题是，这种经济的均衡是否代表着一个可期望的结果。微观经济学和第一福利定理告诉我们，如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，那么分散化的均衡是帕累托最优的，也就是说，在不使其他人不恶化的条件下，使任何人得到改善是不可能的。由于第一福利定理在上述模型中成立，均衡就可视为是帕累托有效的。并且，由于所有家庭拥有相同的效用，意味着分散化均衡在对所有家庭采用相同方式的配置中会产生最高的可能效用。,均衡的实现,第二节 拉姆齐模型的动态分析,为了更清楚地理解这点，假设存在下面这种情况：一个社会计划者可对每个时点的产出在消费和投资之间进行分配，并且其目标也想使代表性家庭的终生效用最大化。除了不把,w,与,r,的路径取为固定外，计划者考虑的问题都由,k,的路径决定，反过来后者则由式,(5-22),决定。这个问题等同于单个家庭所面临的问题。,式,(5-20),和式,(5-21),的连续时刻消费同样适用于社会计划者。在,t,时减少数量为,c,的,c,，并把该收入进行投资，这便可允许计划者在,t+,t,时刻将,c,增加 。因此，沿着由计划者选择的路径，,c(k,),必须满足式,(5-21),。最后，像家庭的最优化问题一样，那些要求资本存量为负的路径必定会以它们不可行的理由被排除，并且那些引致消费倾向于零的路径也会以它们无法使家庭效用最大化而被排除在外。,均衡的实现（续）,第二节 拉姆齐模型的动态分析,资本积累的黄金律水平,索洛模型与拉姆齐,-,卡斯,-,库普曼模型的平衡增长路径之间的唯一显著的差异是，拥有资本存量大于黄金律资本水平的平衡路径在拉姆齐模型中是不可能的。我们知道，资本积累的黄金律可由以下条件描述：,这是可最大化稳定状态每单位资本消费量的条件。它首先由费尔普斯,(Phelps,，,1961,）引入。黄金律的主要福利含义是，它是界定资本劳动比率的一个值，超过该值，则资本积累并不是帕累托最优的值。这样，从通过减少资本存量从而最大化稳定状态消费的角度考察，每个人都可获得福利改善。这是由于资本存量已变得如此之大，以致其边际生产力小于那个为日益增长的人口提供现存资本劳动比率所必需的产出量的边际生产力。这样一个经济具有过度积累的资本，并且被认为是动态无效率的。,鞍点路径,第二节 拉姆齐模型的动态分析,第二节 拉姆齐模型的动态分析,修正的黄金律资本存量,这个关系表明，长期资本劳动比率，由此而形成的资本边际物质产品与真实利率，由时间偏好率与人门增长率之和决定。很显然，这时的,k,收敛于一个低于黄金律水平的资本量。,引入修正的黄金律资本存量概念。修正的黄金律被定义为：,拉姆齐模型概述,在如今的多数的前沿宏观经济分析的专著之中,，,都会出现,拉姆齐,的名字和拉姆齐模型这一术语。拉姆齐模型已成为,现代宏观经济分析,最有力的工具之一。,弗兰克,拉姆齐,是,英国剑桥大学,的数学家和逻辑学家,，,1928,年,12,月，他在,经济学杂志,上发表了,储蓄的数学原理,一文，建立了拉姆齐模型。该模型在确定性的条件下，分析最优经济增长，推导满足,最优路径的跨时条件,，阐述了,动态非货币均衡模型,中的消费和资本积累原理,。,拉姆齐模型在其出现后的相当一段长的时间内，由于其研究的思路,和,方法与,当时的,主流经济学,不一致，而没有得到应有的,重视,。在,二十世纪,七十年代，当宏观经济分析出现,“理性预期革命”,之后，拉姆齐模型似乎又被重新发现。,附录,拉姆齐模型概述,弗兰克,拉姆齐提出的问提是一个国家应该,储蓄,多少，并用模型去求解，用模型去解出资源的跨时,最优配置,，最优消费和,投资决策,。中央计划人员,可以做出,选择，,参照,模型,的结论,使具有典型性的,个人效用,实现,最大化,。,可以证明这种,中央计划,分配等价,于,竞争性经济,（,在竞争性经济中，个人根据相关联的当前与预期的,市场出清,的,工资,和,利率,，作出最优的消费和投资决策,）,。,拉姆齐是要去解决一个,宏观经济,问题,在一个,动态,的时间序列内，应该选择怎样的消费和资本积累路径。然而，这个宏观问题的求解却是从,微观,的角度出发，通过,效用函数,和生产函数的约束，在满足最优化的条件下,从微观角度求解出宏观的最优消费和资本积累路径。,附录,拉姆齐模型概述,拉姆齐,模型体现了宏观和微观的紧密结合，,以及,从静态到动态的演变,。,因而，对后来重新发现它的经济学家们产生了虽然是迟的但却是,深远,的影响。纵观拉姆齐以前和拉姆齐之后几十年的经济思想，,微观经济分析,和,宏观经济分析,似乎,各自独立,的向前发展着。微观经济分析忽视了宏观方面，而宏观经济分析则超脱了微观基础。,然而，整个经济就如一个有机生命体一样，也许我们从外观上根本就看不到有机体内部的细胞的活动,但这个有机体的一切外部表现无不受到其内部细胞的特性和活动规律的制约,。,宏观经济学,的研究正如宏观物理学的研究不能脱离微观粒子世界的运动规律去讨论宇宙的发展、黑洞的演变一样，宏观经济学也不能脱离微观,经济主体,的特性去讨论投资，利率，资本积累等宏观经济现象和宏观经济运动。,附录,拉姆齐模型概述,当前,世界经济的复杂联系，,市场经济,的日益发达，使得我们不能脱离微观经济基础去研究宏观经济。,经济,首先是人的活动，任何一个宏观经济活动都是,微观经济主体,集体活动的汇总。我们可以对微观经济主体进行,抽象和简化,去研究宏观经济，但不能不谈微观基础而超脱的去求解宏观经济的答案。从西方经济思想史的角度来看，,“,边际革命,”,开创了,微观经济学,的基础，“,凯恩斯革命,”则奠定了宏观经济学的基础。然而，两者的发展却是基本上各自较为独立的在各自的领域内完善。虽然,“,新古典综合”在理论体系上实现了宏观经济学和微观经济学的结合，但这种结合是不完善的和不严谨的。,正是由于该模型提供了现代宏观经济分析的,思路,，给后来的,经济学家,在理论和方法上都提供了宝贵的,借鉴,，摈弃了宏观和微观相互脱离的状态，在微观中分析宏观，在宏观中把握微观，从而开创了在微观基础上分析宏观问题的较早,先例,。,附录,拉姆齐模型概述,在数学方法上，拉姆齐模型采用了当时前沿的数学分析方法,-,变分法,，来处理,连续时间路径,上的经济问题。在跨时效用函数的处理上，以,积分,的形式完成了对跨时效用函数的描述，从而较为精辟的概括了经济主体在连续时间路径上对效用的评价。这一方法被以后的经济研究人员在处理连续时间上的,效用函数,的评价时所广为采用，并在此基础上加以发展。,在对连续时间路径上的,效用函数,的设定上，拉姆齐模型做了开创性的贡献。拉姆齐模型的效用函数采用了加法可分的处理方法，从而对连续时间上的动态分析产生了很强的理论效果。但该模型没有采用指数贴现的处理方法，因为拉姆齐认为当代人对未来的人的,效用函数,进行,贴现,是不道义的。但后来的经济学家还是广泛的采用了,指数贴现,的处理方法，因为指数贴现和加法可分一样都可以产生很强的理论效果。后来的经济学研究人员对这两种假设加以拓宽，使得,模型中的,抽象经济更多,地,符合实际经济的状况。,附录,拉姆齐模型概述,在变分法被拉姆齐引入经济分析之后，后来的,经济学家,在分析动态最优化问题时，广泛的采用了变分法来分析,动态最优化,问题。在拉姆齐模型当中，微观经济主体的,决策,是跨时的，消费者选择消费水平和储蓄水平的行为不仅依赖于当前的经济状况，而且还会依赖于消费者过去的消费储蓄行为。而变分法在处理这一类问题时，首先将连续时间路径上的问题化为离散时间上的问题，并采用,非线性规划,的最优方法，得出连续时间路径上的最优条件。,目前,，变分法,更为广泛,地,被,最优控制论,所代替。最优控制问题和变分问题是等价的，一般的能用,最优控制,方法求解的问题都能用变分法来求解，但最优控制方法显得更为直观,。,虽然，在现代的宏观经济分析中，最优控制方法逐渐地代替了变分方法的分析，但变分法在动态经济最优问题分析中的基础地位还是没有动摇。,附录,拉姆齐模型概述,此外，,拉姆齐为了更直观的将经济最优路径的动态过程表现出来，采用了相位图来进行图形上的分析。相位图就是用坐标图形演示动态微分方程的解及其稳定性，可以将复杂的经济动态过程直观的在坐标图形上演示出来。从而有助于人们加深对复杂经济变量之间关系的理解，更直观的讨论动态经济变量的稳定性问题。,拉姆齐综合的运用上述方法于宏观动态经济的最优分析之中，为后来者提供了宝贵的经验借鉴，并被后来者广泛的运用于宏微观经济问题的分析之中，取得了很多有价值的研究成果,。,在许多宏观经济学的高级教科书里，拉姆齐模型,总是,处于前两章就要介绍的重要内容,。,附录,返回引言,通常，非蓬齐对策条件限制那种债务相对于家庭的规模而言扩大得极端严重的情况，比如说：债务的增长速度超过指数函数的速度的情况。,蓬齐对策的实质其实就是主张以新债抵旧债，靠高额负债的方法而致富。例如，一个消费者如果每年需要￥,10000,元人民币,(c),用于消费，而且还计划每年都以一个不变的速率,20%(g),提高消费水平。假设允许消费者任意地借贷，利率为,10,(r),的话，那么，他可以选择第一年借入￥,10000,元人民币用于消费；第二年借入￥,23000,元，将其中的￥,12000,元用于第二年的消费，其中的￥,11000,元用于还本付息；第三年他必须借入￥,39700,，将其中的￥,14400,元用于第三年的消费，其小的￥,25300,元用于还本付息,，第,t,年他需要借入 元。,附录,非蓬齐条件,连锁信的游戏与这种借贷消费的增长方式，在本质是一致的。波士顿的儿子查尔斯,蓬齐在本世纪的,20,年代发明了连锁信这种游戏，并靠玩这个游残发了财。但是，连锁信的缺陷是显而易见的，因为在有限的人群中这套戏法无法永远继续下去。因为当你在某一个吞光明媚的早上一觉醒来，真的以为前些时候所发出的,20,封信而一下子收到,320,万美元的话，很难想像你会再将这个游戏继续下去。,玩家的数日是有限的，如果你真的有诚意，你就要做好这样的思想堆备：在接到从天而降的飞来横财后的某一天，你可能会一下子接到,6400,万封信。例霉的还不只是它们都在谆谆教诲你为名单上的每一个人都寄上,1,美元，并隐晦地警告你说不这样做的后果。更糟糕的是你为了继续这个游戏，就不得不给,12.8,亿个你认识的或者不认识的人写同一封信。在高科技飞速发展的今天，复印机可能会帮上你这个忙，但是你的钱袋很有可能会帮不上你这个忙,从,60,年代以后，在跨时经济增长模型中开始出现以与上述对策相反的原则作为增长路径收数、有稳定解存在的条件，即非蓬齐对策条件，经济学家们试图避免使具有投机色彩的家庭甚至是政府走入这条靠借贷来发展的歧途。,非蓬齐条件（续）,附录,返回家庭行为（预算约束）,