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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数量关系,第七章,第一局部 向量代数,第二局部 空间解析几何,在三维空间中:,空间形式,点,线,面,根本方法 坐标法; 向量法,坐标,方程组,空间解析几何与向量代数,四、利用坐标作向量的线性运算,第一节,一、向量的概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,五、向量的模、方向角、投影,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,向量及其线性运算,第,七,章,表示法:,向量的模 :,向量的大小,一、向量的概念,向量:,(又称,矢量,).,既有,大小, 又有,方向,的量称为向量,向径 (矢径):,自由向量:,与起点无关的向量.,起点为原点的向量.,单位向量:,模为 1 的向量,零向量:,模为 0 的向量,有向线段,M,1,M,2,或,a ,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,规定:,零向量与任何向量平行,;,若向量,a,与,b,大小相等, 方向相同,则称,a,与,b,相等,记作,a,b,;,若向量,a,与,b,方向相同或相反,则称,a,与,b,平行,a,b,;,与,a,的模相同, 但方向相反的向量称为,a,的,负向量,记作,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称,两向量,共线,.,假设 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 ,那么称此 k,个向量,共面,.,记作,a,;,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,二、向量的线性运算,1. 向量的加法,三角形法那么:,平行四边形法那么:,运算规律 :,交换律,结合律,三角形法那么可推广到多个向量相加 .,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,2. 向量的减法,三角不等式,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,3. 向量与数的乘法,是一个数 ,规定 :,可见, 与,a,的乘积是一个新向量, 记作,总之:,运算律 :,结合律,分配律,因此,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,定理1.,设 a 为非零向量 , 那么,(,为唯一实数),证:,“ ”., 取,且,再证数,的唯一性 .,那么,a,b,设,a,b,取正号, 反向时取负号,a,b,同向时,则,b,与,a,同向,设又有,b,a,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,“ ”,那么,例1.,设,M,为,解:,ABCD,对角线的交点,已知,b,a,b,0,a,b,同向,a,b,反向,a,b,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,三、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规那么,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x,轴(横轴),y,轴(纵轴),z,轴(竖轴),过空间一定点,o ,坐标面,卦限(,八个,),zox,面,1. 空间直角坐标系的根本概念,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点,P,Q,R,;,坐标面上的点,A,B,C,点,M,特殊点的坐标 :,有序数组,(称为点,M,的,坐标),原点,O,(0,0,0) ;,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,坐标轴 :,坐标面 :,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,2. 向量的坐标表示,在空间直角坐标系下,设点,M,那么,沿三个坐标轴方向的,分向量,.,的坐标为,此式称为向量,r,的,坐标分解式,任意向量,r,可用向径,OM,表示.,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,四、利用坐标作向量的线性运算,设,那么,平行向量对应坐标成比例:,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,例2.,求解以向量为未知元的线性方程组,解:,2 3 , 得,代入得,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,例3. 两点,在,AB,直线上求一点,M, 使,解:,设,M,的坐标为,如下图,及实数,得,即,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,说明:,由,得,定比分点公式:,点,M,为,AB,的中点 ,于是得,中点公式,:,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,五、向量的模、方向角、投影,1. 向量的模与两点间的距离公式,那么有,由勾股定理得,因,得两点间的距离公式:,对两点,与,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,例4.,求证以,证:,即,为等腰三角形 .,的三角形是等腰三角形 .,为顶点,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,例5.,在,z,轴上求与两点,等距,解:,设该点为,解得,故所求点为,及,思考:,(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程,(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程,离的点 .,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,提示:,(1) 设动点为,利用,得,(2) 设动点为,利用,得,且,例6. 两点,和,解:,求,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,2. 方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点,O,称, =AOB,(,0,),为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .,与三坐标轴的夹角,为其,方向角,.,方向角的余弦称为其,方向余弦.,记作,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,方向余弦的性质:,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,例7. 两点,和,的模 、方向余弦和方向角 .,解:,计算向量,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,例8,.,设点,A,位于第一卦限,解:,作业,P300 3 , 5, 13, 14,15, 18, 19,角依次为,求点,A,的坐标 .,那么,因点,A,在第一卦限 ,故,于是,故点,A,的坐标为,向径,OA,与,x,轴,y,轴的夹,第二节 目录 上页 下页 返回 完毕,备用题,解:,因,1.,设,求向量,在,x,轴上的投影及在,y,轴上的分向量.,在,y,轴上的分向量为,故在,x,轴上的投影为,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,2.,设,求以向量,行四边形的对角线的长度 .,该平行四边形的对角线的长度各为,对角线的长为,解：,为边的平,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,
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