2.6克莱姆法则

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,高等代数,2.6,克莱姆,法则,授课题目,2.6,克莱姆法则,授课时数,2,课时,教学目标,掌握克莱姆法则，并能应用克莱,姆法则来求方程组的解,教学重点,:,1,法则的含意,;,2,法则的应用,教学难点,:,对法则局限性的理解与应用,现在来讨论一般线性方程组,.,所谓一般线性,方程组是指形式为,一、线性方程组的概念,的方程组，其中,x,1,x,2, ,x,n,代表,n,个未知量，,s,是方程的个数，,a,ij,(,i,= 1, 2, ,s,j,= 1, 2, ,n,),称,为方程组的,系数,，,b,i,(,i,= 1, 2, ,s,),称为,常数项,.,方程中未知量的个数,n,与方程的个数,s,不一定相等,.,系数,a,ij,的第一个指标,i,表示它在第,i,个方程，第二,个指标,j,表示它是,x,j,系数,.,因为,(1),含有,n,个未知量，所以称为,n,元线性方程组。,所谓方程组,c,1,c,2, ,c,n,组成的有序数组 (,c,1,c,2, ,c,n,),，,当,x,1,x,2, ,x,n,分别用,c,1,c,2, ,c,n,代入后，,(1),中每,个等式都变成恒等式,.,方程组,(1),的解的全体称为,的一个,解,就是指由,n,个数,它的解集合,.,解方程组实际上就是找出它全部的,解，或者说，求出它的解集合,.,如果两个方程组有,相同的解集合，它们就称为,同解的,.,关于线性方程组需要解决的问题有,:,线性方程组,是否有解,?,如果有解,它,有多少个解,?,如何求,出这些,解,?,本节只讨论方程的个数与未知量的个数相等（即,s=n,）的情形,如果线性方程组,(1),的系数行列式,二、克莱姆法则,那么这个方程组有解，并且解是唯一，的可表示为,的元素用方程组,（,1,）的常数项代换,所得的一个,n,阶行列式，即,其中,是把行列式,中第,列,用,常数项列替换,D,的第,i,列，其余列不变。,证明思路：,1,验证,满足各方程（存在性）；,2,（,1,）的,解定能表成形式,（,唯一性）。,所用结果：,证,1,将,D,i,按,第,i,列展开,代入第,1,个方程的左端,将,4,左,（,证,b,1,),( ),D,按第,1,行展开,0,0,满足第,1,个方程,类似验证第,2,，,，,n,个方程也满足。,是,方程组（,1,）的解。,2,由,1,知，（,1,）有解，,a,11,x,1,+a,12,x,2,a,1n,x,n,+,+,=b,1,a,21,x,1,+a,22,x,2,a,2n,x,n,+,+,=b,2,a,n1,x,1,+a,n2,x,2,a,nn,x,n,+,+,=,b,n,用,D,的第,i,列元素的代数余子式乘两边,A,ni,A,2i,A,1i,A,1i,这证明了（,1,）有解,。,A,1i,A,1i,A,2i,A,2i,A,2i,A,ni,A,ni,A,ni,对应相加整理,由,定理,4,和定理,5,证毕,说明：,2.,克莱姆法则的三条结论,1.,克莱姆法则的三个条件,（,1,）待解的方程组是线性方程组；,（,2,）待解方程组未知数的个数与方程组的个数相等；,（,3,）待解的方程组的系数行列式不等于零,.,1,有解,2,唯一解,3,解的公式,不足之处：,方程个数与未知数个数不等，或,D=0,，不能用。,如果线性方程组（,1,）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式一定为零,.,克莱姆法则的等价命题是：,思考：,若,D=0,呢？,第三章给出答案：,可能无解，可能有无穷多个解！,例,2,：解线性方程组,点评：,(1),一共要计算,n,+1,个,n,阶行列式，计算量大；,不如用初等变换简单（第三章介绍）。,(2),理论价值高于计算价值。,常数项全为零的线性方程组称为,齐次线性方,程组,.,显然，齐次线性方程组总是有解的，因为,(0, 0, , 0),就是一个解，它称为,零解,.,对于齐次,线性方程组，我们关心的问题是，它除去零解以外,还有没有其他解，或者说，它有没有,非零解,.,对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方,程组，应用克拉默法则就有,二、齐次线性方程组克拉默法则,定理,7,如果齐次线性方程组,的系数行列式,D, 0,，,那么它只有零解,.,换句话说，如果它有非零解，则必有,D = 0.,现在只能得出,有,无,非零解,这种定性结果，,求非零解的方法在第三章介绍。,点评：,补例 若下列齐次线性方程组有非零解，,k,为何值？,解,思路：,由定理知，方程组有非零解，则,D=0,。,计算,D,令其为零,解k,由方程组有非零解，则,即k=1.,练习：,解,故,方程组只有零解。,例,3,：证明下列方程组,p,95,第,13,题,只有零解其中,不全为,0,证：,系数行列式,由,不全为,0,，有,即,，故方程组只有零解,1.,用克拉默法则解方程组的三个条件,(2),方程个数等于未知量个数,;,(3),系数行列式不等于零,.,2.,克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系,数与常数项之间的关系,.,它主要适用于理论推导,.,三、小结,作业：习题,2.6 P,64,1(2),、,2,（,1,）待解的方程组是线性方程组；,评论,：,cramer,法则给出一类线性方程组的公式解，明确了解与系数的关系，这在以后的许多问题的讨论中是重要的，同时便于编成程序上计算机进行计算,.,但作为一种计算方法而言要解一个,n,个未知量、,n,个方程的线性方程组，要计算,n+1,个阶行列式，计算量较大,.,另一方面该公式解对,n,个未知量，,m,个方程的一般线性方程组的求解无能为力,.,促使人们对线性方程组解法作更深入的研究。,Cramer,法则的应用,资料： 克莱姆是瑞士数学家，,1704,年,7,月,31,日生于日内瓦，,1752,年,1,月,4,日去世于法国塞兹河畔的巴尼奥勒,.,早年在日内瓦读书，,1724,年起在日内瓦加尔文学院任教，,1734,年成为几何学教授，,1750,年任哲学教授,.,1750,年，他在专著,线性代数分析导论,中首次提出了由线性方程组的系数确定方程组解的表达式，即著名的,“,克莱姆法则,”,.(,其实莱布尼兹（,1693,年）和马克劳林（,1748,年）也给出了该法则，但他们的记法不如克莱姆，故流传下来,),。他一生未婚，专心治学，平易近人，德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会成员,.,他为数学宝库留下大量的有价值的文献，其严谨的科学态度值得我们学习。,二、,齐次,线性方程组,齐次线性方程组,一定有解,（零解,x,j,=0),，,现在讨论在什么条件下,有非零解,（感兴趣的）。,定理,7,证,2,由,1,可得。,以后可证是充要的,4,