随机数的生成方法

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,随机数的产生,对随机系统进行模拟，需要产生服从某种分,布的一系列,随机数,.,?,定义,设随机变量,X,（,总体）服从某种随机分布，对其进行了,n,次独立观察,得到一组,简单随机样本,X,1,，,X,2,，,，,X,n,满足,1,）,X,1,，,X,2,，,，,X,n,相互独立；,2,）,每一个,X,1,，,X,2,，,，,X,n,都与总体,X,同分布,.,利用某种方法得到一串,数列,r,1,r,2, ,r,n,一随机数的概念,在一定的统计意义下可作为随机样本,X,1,，,X,2,，,，,X,n,的,一组样本值，称,r,1,r,2, ,r,n,一组具有与,X,相同分布的,随机数,.,例,1,设随机变量,X,B(1, 0.5),模拟该随机变,量,X,的一组样本值,.,一种简单的方法是,抛一枚均匀硬币，观察出现正反面的情况，,出现正面记为数值“,1,”,否则记为“,0”,得：,0,，,0,，,1,，,0,，,1,，,1,，,1,，,0,，,1,，,0,，,0,，,0,，,0,，,1,，,1,，,0,，,1,，,0, ,可看成,总体,X,的一系列样本值,或称产生了,一系列,具有两点分布的随机数,.,需要寻求一种,简便、经济、可靠,并能在计算机上实现的产生随机数的方法,.,数学软件有产生常用分布随机数的功能,对特殊分布,需要数据量很大时,不太有效,二,.,均匀分布随机数的产生,最常用、最基础,的随,机数是在（,0,1,）区间,内均匀分布的随机数,(,简记为,RND,),理解为：随机变量,X,U(0,1),的,一组样本值的模拟值,一般采用某种数值计算方法产生随机数序列，在计算机上运算来得到,.,通常是利用递推公式：,给定,k,个初始值,1,2,k,利用递推公式递推出一系列随机数,1,2,，,n,乘同余法,混合同余法,常用方法,具有较好的,统计性质,1,乘同余法,递推公式为,用,M,除,x,n,后得到的余数记为,x,n+,1,其中,是乘因子, M,为模数,(,modulus),第一式是以,M,为模数,的,同余式,.,给定初值,x,0,(,称为,种子,),递推计算出,r,1,，,r,2,，,，,即在,(0, 1),上均匀分布的随机数序列,.,例,2,取,x,0,=1,，,=7,，,M=10,3,，,有,x,0,=71=7 ，,x,1,=7 ，,r,1,=7/1000=0.007,x,1,=77=49 ，,x,2,=49 ，,r,2,=49/1000=0.049,x,2,=749=343 ，,x,3,=343 ，,r,3,=343/1000=0.343,x,3,=7343=2401 ,x,4,=401 ,r,4,=401/1000=0.401,x,4,=7401=2807,x,5,=807 ,r,5,=807/1000=0.807,其余类推,.,2,混合同,余法,递推公式为,用,模,M,去除,x,n,+C,的余数,其中，,C,是非负整数,.,例,3,：,选,=97,，,C=3,，,M=1000,，,得递推公式,取定种子,x,0,=71,，,得,97,x,0,3=6890，,x,1,=890，,r,1,=0.890,97,x,1,3=86333，,x,2,=333，,r,2,=0.333,97,x,2,3=32304，,x,3,=304，,r,3,=0.304,97,x,3,3=29491，,x,4,=491，,r,4,=0.491,97,x,4,3=47830，,x,5,=630，,r,5,=0.630,余类推，接下来的随机数是：,0.113,，,0.964,，,0.511,，,0.570,，,0.293,，,0.424,，,0.131,，,0.710,，,0.873,，,0.684,，,0.351,，,0.050,，,0.853,有下述问题：,1.,数列,r,n,是有周期的，,周期,LM,（,模数）,；,因,0,x,n,M,，,数列,x,n,最多有,M,个相异值,从而,r,n,也同样如此,.,2.,数列,r,n,本质上是实数列,给定初始值由递推,公式计算出的一串确定的数列,.,不能简单等同于真正意义的随机数,.,解决方法与思路：,1.,选择模拟参数,2.,对数列进行统计检验,从计算机中直接调用,某种分布的随机数同样存在类似问题,.,x,。=1，=5,13,，,M,=2,36,（L=2,34,210,10,）,1,）,周期的长度取决于参数,x,0,入, M,的选择,；,2,）,通过适当选取参数可以改善随机数的统计,性质,.,几组供参考的参数值：,x,。=1，=7，,M,=10,10,（,L,=510,7,）,1.,选择模拟参数,在计算机上编程产生随机数还应注意,浮点运算对周期的影响,x,。=1，=5,17,，,M,=2,12,（,L,=2,40,10,12,）,2.,对数列进行统计检验,无论用哪一种方法产生的随机数序列,(,实数列,) RND,都存在问题：,能否,将其,看着是在,(0,1),上均匀分布的连续型随机变量,X,的独立样本值？,对应的样本是否可以看成,X,的简单随机样本：,1,）,X,1,，,X,2,，,，,X,n,相互独立,；,2,）,X,i,U(0, 1) , (,i,=1, 2,，,，,n,),需判断是否具有较好的统计性质：,独立性,均匀性,进行统计检验,三,.,任意分布随机数的模拟,l,离散型随机数的模拟,设随机变量,X,的分布律为,将,P,( n),作为区间,(0, 1),的分点,:,P,(0),P,(1),P,(2),P,(3),0,1,若随机变量,R,U,(0,1),有,产生,X,的随机数的,算法步骤,：,(1),产生一个,(0, 1),区间上均匀分布随机数,r,(,RND),;,(2),若,P,(,n,1),r,P,(,n,),，,则令,X,取值为,x,n,.,例,3,离散型随机变量,X,的分布律如下,X,=,x,P,(,x,),0 1 2,0.3,0.3,0.4,设,r,1,，,r,2,，,，,r,N,是,RND,随机数,，,令,x,1,，,x,2,，,，,x,N,即具有,X,的分布律的随机数,.,从理论上讲,已解决了,产生具有任何离散型分布的随机数,的问题,.,具体执行仍有困难,如,X,的取值是无穷多个的,情况,.,可利用分布的自身特点,采用其他的模拟方法,.,例,4,随机变量,X,B(,n,p,),，,其分布律为,随机变量,X,是,n,次独立贝努里试验中,事件,A,发生的总次数,其中,p,=,P,(,A,).,在计算机上模拟,n,重贝,努里试验来产生二项分布,的随机数,.,当,p,较大而计算精度要求较高时,2,）,统计,r,i,（,i,=1,，,2,，,，,n,）,中使得,重复循环得到,:,n,1,，,n,2,，,，,n,k,即所求随机数列,.,0,1,p,练习题：,(1),生成,100,个服从,B,(20,0.3),的随机数,(2),如何模拟参数为,的泊松分布随机数？,r,i,p,的个数,n,i,.,.,算法步骤：,1,）,产生,n,个,RND,r,1,，,r,2,，,，,r,n,；,2,连续型随机数的模拟,利用在,(0 , 1),区间上均匀分布的随机数来模拟,具有给定分布的连续型随机数,.,两种方法,反函数法,舍选法,1),反函数法,设连续型随机变量,Y,的概率函数为,f,(,x,),需产生给定分布的随机数,.,算法,:1,）,产生,n,个,RND,随机数,r,1,，,r,2,，,，,r,n,；,所得,y,i,i,=1,2, ,n,即所求,.,基本原理：,设随机变量,Y,的分布函数,F,(,y,),是连续函数，而且随机变量,X,U,(0,1),，令,Z,=,F,1(,X,),。,则,Z,与,Y,有相同分布,.,例,5,模拟服从参数为,的指数分布的随机数,，,其概率密度函数为,若随机变量,),X,U(0, 1),1,X,U,(0, 1,),(1,r,i,),与,r,i,均为,RND,随机数,模拟公式可改写为,问题：请考虑如何利用此公式模拟泊松流？,优点：,一种普通而适用的方法；,缺点,:,当反函数不存在或难以求出时,不宜于使 用,.,练习：,生成,100,服从参数为,10,的指数分布的随机数。,2,）舍选法,基本思想：,实质上是从许多,RND,随机数中选,出一部分,使之成为具有给定分布的随机数,.,算法步骤：,(1),选取常数,，,使,f,(,x,),1,，,x,(a, b),；,(2),产生两个,RND,随机数,r,1,、,r,2,，,令,y,=,a,(,b,a,),r,i,；,(3),若,r,2,f,(,y,),，,则令,x=y,设随机变量,X,的概率密度函数为,f,(,x,),，,存在,实数,a,b,，,使,P,a,X,b,=1,，,否则剔除,r,1,和,r,2,重返步骤,(,2).,重复循环,产生的随机数,x,1,，,x,2,，,，,x,N,的,分布由概率函数,f,(,x,),确定,.,舍选法算法原理分析：,设,P,a,Z,b,=1,，,Z,的概率密度为,f,(,z,),选常数,，使,f,(,z,)1,，,z,(,a,，,b,),；,随机变量,X,1,，,X,2,相互独立,X,i,U,(0, 1),令,Y,1,=,a,+(,b,a,),X,1,U(,a, b,);,若,X,2,f,(,Y,1,),，则令,X,=,Y,1,，否则剔除,X,1,，,X,2,重复到,(2),。,则随机变量,X,的分布与,Z,相同。,注,可选取有限区间,(,a,1,b,1,),，,使得,是很小的正数,.,例如取,a,1,=,3,b,1,=,3,，,有,在区间,(,a,1,b,1,),上应用舍选法,不会出现较大,的系统误差,.,3,正态随机数的模拟,产生正态分布,随机数的方法,反函数法,舍选法,坐标变换法,中心极限定理,1,）,坐标变换法,设,r,1,，,r,2,是,RND,随机数,，,令,则,x,1,x,2,是相互独立的标准正态分布的随机数,.,练习：用舍选取法生成,100,个服从以期望,=20,，标准差,=10,的正态分布的随机数。,2,）,利用中心极限定理,产生服从,N(,2,),的算法步骤：,产生,n,个,RND,随机数：,r,1,，,r,2,，,，,r,n,，,一般,n10,若取,n,=12,，,简化为计算,x,是服从标准正态分布的随机数,(3),计算,y,=,x,+.,y,是服从,N(,2,),分布的随机数,.,原理分析,设,1,，,2,，,，,n,是,n,个相互独立的随机变量,且,i,U(0,1),i,= 1,2, ,n,由中心极限定理知,渐近服从正态分布,N(0, l ).,