测量平差基础第1章误差传播定律

单击此处编辑母版标题样式,*,第一章 观测误差及其传播,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,误差理论与测量平差基础,The theory of errors and,adjustment of observations,foundation,学时： 64学时,主讲： 魏峰远,河南理工大学测量工程系,2011年2月,9/30/2024,1,第一章 观测误差及其传播,本课程的主要任务是讲授测量平差的基本理,论和基本方法，为进一步学习和研究测量数据处,理奠定基础。,授课周数：,1-14周,周学时 ：,6学时,总学时 ：,84学时,最后进行闭卷考试。,本课程的任务,9/30/2024,2,第一章 观测误差及其传播,本课程的主要内容,1. 误差及误差传播理论（第一章）,2. 平差模型的建立、最小二乘原理（第二章）,3. 测量平差基本方法（第三、四、五章）包括条件平差、间接平差、附有参数的条件平差、附有条件的间接平差、附有条件的条件平差。介绍平差计算的基本原理和相应的精度评定方法。,4、误差椭圆（第六章）,5、测量平差的统计假设检验方法（第七章）,6、近代平差理论简介,。,9/30/2024,3,第一章 观测误差及其传播,学习本课程必须具备的基本理论知识,高等数学、线性代数、,概率论与数理统计、 现代测量学等。,9/30/2024,4,第一章 观测误差及其传播,参 考 文 献,1. 测量平差， 中国矿业大学出版社 ，2005年,2. 误差理论与测量平差基础，武汉大学出版社，2003年,3. 测量平差基础，测绘出版社，1996年,4. 测量平差基础，测绘出版社，1981年,5. 测量平差通用习题集，武汉测绘科技大学出版社，1999。,6. 观测与最小二乘法，测绘出版社，1984。,7. Observations and Least Squares, E.M.MIKHAIL, New York, 1976.,8. 近代平差理论及其应用，解放军出版社，1992年,9/30/2024,5,第一章 观测误差及其传播,学 习 方 法,课程特点：,公式多、计算量大，所需数学知识多，比较枯燥,学习方法：,复习测量学、线性代数、高等数学、概率论及数理统计等课程知识，,对本课程的知识要通过,预习-听课-复习-完成作业-编写计算机程序,等步骤来掌握所学知识。,9/30/2024,6,第一章 观测误差及其传播,1-1,概述,测量平差的基本任务,1. 处理一系列带有偶然误差的观测值，求出未知量的最可靠值（也称为平差值、最佳估值、估值、最或是值、最或然值等）。,2. 评定测量成果的精度。,本章主要介绍：偶然误差的规律性、衡量精度的指标、协方差传播律、权的定义以及测量中常用的定权方法、协因数传播律等内容。,9/30/2024,7,第一章 观测误差及其传播,1-2 观测误差及其分类,在同一量的各观测值之间，或在各观测值与其理论上的应有值之间存在差异的现象，在测量工作中是普遍存在的，这是由于观测值中包含有观测误差的缘故。,一、,观测误差产生的原因,1测量仪器,2观测者,3外界条件：,测量仪器、观测者、外界条件三方面的因素是引起误差的主要来源。通常把这三方面的因素合起来称为,观测条件,。,观测条件好-误差小-观测成果质量高。反之亦然。,如果观测条件相同，观测成果的质量也就可以说是相同的。,不管观测条件如何，测量中产生,误差是不可避免的,。,9/30/2024,8,第一章 观测误差及其传播,1-2 观测误差及其分类,二、,观测误差的分类,根据观测误差对观测结果的影响性质，可将观测误差分为系统误差和偶然误差两种。,1.,系统误差,：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差称为系统误差。简言之，符合函数规律的误差称为系统误差。,2.,偶然误差,：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。,简言之，符合统计规律的误差称为,偶然误差,。,除了系统误差和偶然误差外，还可能发生错误，又叫,粗差,。一般来说，错误不算作观测误差。,9/30/2024,9,第一章 观测误差及其传播,1-2 观测误差及其分类,三、误差处理措施,错误的存在不仅大大影响测量成果的可靠性，而且往往造成返工浪费，给工作带来难以估量的损失，必须采取适当的方法和措施，保证观测结果中不存在错误。,系统误差对于观测结果的影响一般有累积的作用，它对观测成果的质量影响也特别显著。在实际工作中，应该采用各种方法来消除或减弱系统误差对观测成果的影响，达到实际上可以忽略不计的程度。,当观测序列中已经排除了系统误差的影响，或者说系统误差与偶然误差相比已处于次要地位，即该观测序列中主要是存在着偶然误差。对于这样的观测序列，就称为,带有偶然误差的观测序列,。这样的观测结果和偶然误差便都是一些随机变量，如何处理这些随机变量，是测量平差这一学科所要研究的内容。,9/30/2024,10,第一章 观测误差及其传播,1-2 观测误差及其分类,四、测量平差的任务,由于观测结果不可避免地存在着偶然误差的影响，在实际工作中，为了提高成果的质量防止错误发生，通常要使观测值的个数多于未知量的个数，也就是要进行,多余观测,。,由于偶然误差的存在，通过多余观测必然会发现在观测结果之间不相一致，或不符合应有关系而产生的不符值。因此，必须对这些带有偶然误差的观测值进行处理，消除不符值，得到观测量的最可靠的结果。由于这些带有偶然误差的观测值是一些随机变量，因此，可以根据概率统计的方法来,求出观测量的最可靠结果,，这就是测量平差的一个主要任务。测量平差的另一个主要任务是,评定测量成果的精度。,9/30/2024,11,第一章 观测误差及其传播,1-3偶然误差的规律性,一、真值与真误差,1.真值,任何一个被观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数值。这一数值就称为该观测量的真值。通常用 表示真值。,2.真误差,设进行了,n,次观测，各观测值为,L,1,、,L,2,、,、,L,n,，,真值为 ，每一个观测值的真值,与,观测值,之间必存在一个差数，称为真误差，即：,(1-3-1）,，,用向量表示：,（1-3-2）,9/30/2024,12,第一章 观测误差及其传播,1-3偶然误差的规律性,二、偶然误差的规律特性,前面已经指出，就单个偶然误差而言，其大小或符号没有规律性，即呈现出一种偶然性（或随机性）。但就其总体而言，却呈现出一定的统计规律性。并且指出它是服从正态分布的随机变量。人们从无数的测量实践中发现，在相同的观测条件下，大量偶然误差的分布也确实表现出了一定的统计规律性。下面用一个实例来说明。,在相同的条件下，独立地观测了358个三角形的全部内角，由于观测值带有偶然误差，故三内角观测值之和不等于其真值180。各个三角形内角和的真误差：,将计算的真误差按大小和符号列于下表：,9/30/2024,13,第一章 观测误差及其传播,1-3偶然误差的规律性,，,误差的区间,为,负,值,为,正,值,备注,个数,v,i,频率,v,i,/n,个数,频率,0.00-0.20,0.20-0.40,0.40-0.60,0.60-0.80,0.80-1.00,1.00-1.20,1.20-1.40,1.40-1.60,1.60以上,45,40,33,23,17,13,6,4,0,0.126,0.112,0.092,0.064,0.047,0.036,0.017,0.011,0.000,0.063,0.560,0.460,0.320,0.235,0.180,0.085,0.055,0.000,46,41,33,21,16,13,5,2,0,0.128,0.115,0.092,0.059,0.045,0.036,0.014,0.006,0.000,0.064,0.575,0.460,0.295,0.225,0.180,0.070,0.030,0.000,=0.02,等于区间左端值的误差算入该区间内。,和,181,0.505,177,0.495,1.在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零。,2.绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大。,3.绝对值相等的正负误差出现的概率相同。,4.偶然误差的数学期望为零，即：,9/30/2024,14,第一章 观测误差及其传播,1-3偶然误差的规律性,二、偶然误差的表示方法,表格法,：见上页,直方图,：以横坐标表示误差的大小，纵坐标代表各区间内误差出现的频率除以区间的间隔值，,每一误差区间上的长方条面积就代表误差出现在该区间内的频率。,误差分布曲线,：在,n,无限大时，,如果把误差区间间隔无限缩小，,左,图中各长方条顶边所形成的折线将变成,右,图所示的光滑曲线。这种曲线也就是误差的概率分布曲线，或称为误差分布曲线。,9/30/2024,15,第一章 观测误差及其传播,1-3偶然误差的规律性,三、偶然误差的概率分布密度函数,式中 为中误差。当上式中的参数确定后，即可画出它所对应的误差分布曲线。由于 ，所以该曲线是以横坐标为0处的纵轴为对称轴。当 不同时，曲线的位置不变，但分布曲线的形状将发生变化。偶然误差是服从 分布的随机变量。,9/30/2024,16,第一章 观测误差及其传播,小 结,观测值都是含有误差的，测量误差分为系统误差和偶然误差，除此之外还有粗差；,测量平差所处理的观测值是仅含有偶然误差的观测值；,偶然误差服从正态分布，且具有四个规律特性；,测量平差的两大任务：,求出观测量的最可靠结果,，,评定测量成果的精度。,偶然误差的数学期望（真值）为零。,9/30/2024,17,第一章 观测误差及其传播,预 习,1-4,精度和衡量精度的指标,1-5,协方差传播律及其应用,9/30/2024,18,第一章 观测误差及其传播,作 业,无,9/30/2024,19,第一章 观测误差及其传播,上节内容回顾,观测值都是含有误差的，测量误差分为系统误差和偶然误差，除此之外还有粗差；,测量平差所处理的观测值是仅含有偶然误差的观测值；,偶然误差服从正态分布，且具有四个规律特性；,测量平差的两大任务：,求出观测量的最可靠结果,，,评定测量成果的精度。,偶然误差的数学期望（真值）为零。,9/30/2024,20,第一章 观测误差及其传播,一、概述,精度的定义,：精度就是指误差分布的密集或离散的程度。,误差分布相同，观测成果的精度相同；,反之，若误差分布不同，则精度也就不同。,从直方图来看，精度高，则误差分布较为密集，图形在纵轴附近的顶峰则较高，且由长方形所构成的阶梯比较陡峭；精度低，则误差分布较为分散，在纵轴附近顶峰则较低，且其阶梯较为平缓。这个性质同样反映在误差分布曲线的形态上。,为了衡量观测值的精度高低，可以按上节的方法，把在一组相同条件下得到的误差，用组成误差分布表、绘制直方图或画出误差分布曲线的方法来比较。在实用上，是,用一些数字特征来说明误差分布的密集或离散的程度，称它们为衡量精度的指标。,衡量精度的指标有很多种，下面介绍几种常用的精度指标。,1-4精度和衡量精度的指标,9/30/2024,21,第一章 观测误差及其传播,二、衡量精度的指标,1. 方差和中误差,误差,的概率密度函数为：,方差定义：,就是,中误差,：正态分布曲线具有两个拐点，它们在横轴上的坐标为， ，对于偶然误差，拐点在横轴上 ，其大小可以反映精度的高低，所以常用中误差作为衡量精度的指标。,对于离散型：,方差和中误差的估值：,1-4精度和衡量精度的指标,9/30/2024,22,第一章 观测误差及其传播,二、衡量精度的指标,2.,平均误差,在一定的观测条件下，一组独立偶然误差绝对值的数学期望称为,平均误差,。,以 表示,。,平均误差与中误差的关系：,所以 也可以作为衡量精度的指标。,1-4精度和衡量精度的指标,9/30/2024,23,第一章 观测误差及其传播,二、衡量精度的指标,或然误差,随机变量,X,落入区间（,a,b),内的概率为：,对于偶然误差，误差,落入区间,(,a,b),的概率为：,或然误差的定义是：,误差出现在 之间的概率等于 ，即,称为或然误差,与中误差的关系：,实用上,只能得到的,估值：,将相同观测条件下得到的一组误差，按绝对值的大小排列，当为奇数时，取位于中间的一个误差值作为，当为偶数时，则取中间两个误差值的平均值作为。在实用上，通常都是先求出中误差的估值，然后,关系,式求出或然误差。,1-4精度和衡量精度的指标,9/30/2024,24,第一章 观测误差及其传播,二、衡量精度的指标,4. 极限误差,误差落在 、 和 的概率分别为：,一般以三倍中误差作为偶然误差的极限值 ，并称为,极限误差,。,1-4精度和衡量精度的指标,9/30/2024,25,第一章 观测误差及其传播,二、衡量精度的指标,5. 相对误差,对于某些长度元素的观测结果，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的好坏,。,相对中误差,，它是中误差与观测值之比,。,在测量中一般将分子化为1，用 表示。,例1-1 观测了两段距离，分别为1000m2cm和500m2cm。问：这两段距离的真误差是否相等？中误差是否相等？它们的相对精度是否相同？,解：这两段距离的真误差不相等。这两段距离中误差是相等，均为2cm。它们的相对精度不相同，前一段距离的相对中误差为2/100000=1/50000，后一段距离的相对中误差为2/50000=1/25000。第一条边精度高。,角度元素没有相对精度。,1-4精度和衡量精度的指标,9/30/2024,26,第一章 观测误差及其传播,协方差传播律是研究函数与自变量之间的协方差运算规律。,描述,观测值方差,与,观测值函数方差,之间的关系式。,例如，图中A和B为已知点，为了确定P的平面坐标，观测了边长s和角度。,P点坐标为：,式中：,现在的问题是在已知观测边长s和角度的方差和协方差条件下，如何计算P点坐标的方差和协方差。,1-5,协方差传播律及其应用,9/30/2024,27,第一章 观测误差及其传播,一、协方差与相关,1协方差,协方差是用数学期望来定义的。设有观测值向量X和Y，它们的协方差定义是：,2. 相关,如果协方差为零，表示这两个（或两组）观测值的误差之间是不相关的，并称这些观测值为不相关观测值；如果协方差不为零，则表示它们的误差之间是相关的，称这些观测值是相关观测值。由于在测量上所涉及的观测值和观测误差都是服从正态分布的随机变量， “不相关”与“独立”是等价的，所以把不相关观测值也称为独立观测值，同样把相关观测值也称为不独立观测值。,1-5,协方差传播律及其应用,9/30/2024,28,第一章 观测误差及其传播,一、协方差与相关,3. 方差-协方差阵,假定有 个不同精度的相关观测值 ，数学期望和方差分别为 和 ，它们两两之间的协方差为 ,用矩阵表示为:,为观测值向量的方差-协方差阵，简称为,协方差阵,。,1-5,协方差传播律及其应用,，,9/30/2024,29,第一章 观测误差及其传播,一、协方差与相关,3. 方差-协方差阵,设有观测值向量 和 ，它们的数学期望分别为 和 。,令： ；则 的方差阵为：,是X关于Y的,互协方差阵,。,1-5,协方差传播律及其应用,和,9/30/2024,30,第一章 观测误差及其传播,二、观测值线性函数的方差,设有观测值向量 ，其数学期望为 ，协方差阵为 ,即,又设有的线性函数为：,如何求Z的方差？,1-5,协方差传播律及其应用,9/30/2024,31,第一章 观测误差及其传播,二、观测值线性函数的方差,令： 则,对上式两边取数学期望：,Z的方差为,协方差传播律,1-5,协方差传播律及其应用,9/30/2024,32,第一章 观测误差及其传播,二、观测值线性函数的方差,的纯量形式：,当向量中的各分量 两两独立时,（中误差传播律）,线性函数的协方差传播律叙述为：,设有函数： 则：,1-5,协方差传播律及其应用,9/30/2024,33,第一章 观测误差及其传播,二、观测值线性函数的方差,例1-2 在1：500的图上，量得某两点间的距离 =23.4mm,d的量测中的误差 =0.2mm，求该两点实地距离 及中误差 。,解：,最后写成:,1-5,协方差传播律及其应用,9/30/2024,34,第一章 观测误差及其传播,三、多个观测值线性函数的协方差阵,设有观测值向量 和,1-5,协方差传播律及其应用,9/30/2024,35,第一章 观测误差及其传播,三、多个观测值线性函数的协方差阵,若有的X个线性t函数：,令：,1-5,协方差传播律及其应用,则,现求Z的协方差阵？,9/30/2024,36,第一章 观测误差及其传播,三、多个观测值线性函数的协方差阵,推导过程：,Z的协方差阵：,协方差传播律,1-5,协方差传播律及其应用,函数：,函数的协方差阵：,9/30/2024,37,第一章 观测误差及其传播,三、多个观测值线性函数的协方差阵,设另有Y的S个线性函数：,如果W也是X的函数，同学们考虑公式该是什么样？ 协方差传播律,1-5,协方差传播律及其应用,9/30/2024,38,第一章 观测误差及其传播,三、多个观测值线性函数的协方差阵,例1-3 设有函数：,的方差阵 ， 的方差阵 ，关于的互协方差阵为 ， 其中 为常系数阵。且,求： 、 、 、 、 、 、,（1）计算 、 、,1-5,协方差传播律及其应用,9/30/2024,39,第一章 观测误差及其传播,三、多个观测值线性函数的协方差阵,（2）计算,（3）计算,（4）计算 ，（ 表示单位阵）,1-5,协方差传播律及其应用,9/30/2024,40,第一章 观测误差及其传播,三、多个观测值线性函数的协方差阵,（5）计算,或:,1-5,协方差传播律及其应用,9/30/2024,41,第一章 观测误差及其传播,小 结,精度的概念,衡量精度的指标：方差和中误差、平均误差、或然误差、极限误差、相对中误差。,协方差传播律：,9/30/2024,42,第一章 观测误差及其传播,预 习,1-5,协方差传播律及其应用,(,非线性函数情况,),看有关例题,9/30/2024,43,第一章 观测误差及其传播,作 业,1.3,9/30/2024,44,第一章 观测误差及其传播,小 结,协方差传播律：,9/30/2024,45,第一章 观测误差及其传播,五、非线性函数的情况,1单个非线性函数,设有观测值 的非线性函数,已知的协方差阵 ，求的方差 。,为了求非线性函数的方差，只要对它求全微分就可以了。,1-5,协方差传播律及其应用,9/30/2024,46,第一章 观测误差及其传播,五、非线性函数的情况,2,多,个非线性函数,设有观测值 的,多个,非线性函数,将函数求全微分得,两组非线性函数时怎么做？,1-5,协方差传播律及其应用,9/30/2024,47,第一章 观测误差及其传播,例1-4 量得某矩形的长和宽为 和 ，且 ，计算,该矩形面积的方差。,解：面积：,线性化:,用协方差传播律得：,先取对数然后再全微分能简化计算。,对函数式取自然对数：,再微分：,1-5,协方差传播律及其应用,9/30/2024,48,第一章 观测误差及其传播,例1-5,设：,，,和 的方差为零， 的方差为 ， 的方差为 ，且,计算,？,解：,为什么要除 ?,1-5,协方差传播律及其应用,9/30/2024,49,第一章 观测误差及其传播,是用于角度与弧度的换算。,如果 以弧度为单位，则该项不需要。 通常以秒为单位，则 。,在测量工作中，常用,点位方差,来衡量点的精度，点位方差等于该点在两个互相垂直方向上的方差之和，即：,通常 称为,纵向方差,，它是由边长BP方差引起的。在BP边的垂直方向的方差 称为,横向方差,，它是由边的坐标方位角,的方差引起的。,点位方差也可由和来计算。即：,1-5,协方差传播律及其应用,9/30/2024,50,第一章 观测误差及其传播,应用协方差传播律的具体步骤为：,1.按要求写出函数式，如：,或：,2.如果为非线性函数，则对函数式求全微分，得：,3.写成矩阵形式：,4.应用协方差传播律求方差或协方差阵。,1-5,协方差传播律及其应用,9/30/2024,51,第一章 观测误差及其传播,例1-6,经个N测站测定两水准点A、B间的高差，其中第i(i=1,2N)站的观测高差为,解：A、B两水准点间的高差为：,设：各测站观测高差是精度相同的独立观测值，其中误差均为 ，。应用协方差传播律，得,设：若水准路线敷设在平坦的地区，前后量测站间的距离s大致相等，设A、B间的距离为S，则测站数N=S/s，代入上式得：,如果S=1km，s以km为单位，则一公里的测站数为：,而一公里观测高差的中误差即为：,所以，距离为S公里的A、B两点的观测高差的中误差为：,可见，当各测站高差的观测精度相同时，水准测量高差的中误差与测站数的平方根成正比；当各测站的距离大致相等时，水准测量高差的中误差与距离的平方根成正比。,1-5,协方差传播律及其应用,9/30/2024,52,第一章 观测误差及其传播,例1-7,设对某量以同精度独立观测了N次，得观测值 ，它们的中误差均等于 。求N个观测值的算术平均值的中误差。,解：,应用协方差传播律得：,即：,N,个,同精度独立观测值的算术平均值的中误差，等于各观测值的中误差除以 。,1-5,协方差传播律及其应用,9/30/2024,53,第一章 观测误差及其传播,例1-8,一个观测结果同时受到许多独立误差的联合影响。在这种情况下，观测结果的真误差是各个独立误差的代数和，即,由于这里的真误差是相互独立的，各种误差的出现都是随机的，因而也可由（1-5-12）并顾及 得出它们之间的方差关系式,即观测结果的方差 ，等于各独立误差所对应的方差之和。,1-5,协方差传播律及其应用,9/30/2024,54,第一章 观测误差及其传播,协方差传播律小 结,线性函数,：,2.,非线性函数,只需对函数全微分，然后按协方差传播律计算即可。,9/30/2024,55,第一章 观测误差及其传播,预 习,1-5,权与定权的常用方法,9/30/2024,56,第一章 观测误差及其传播,作 业,1.2 1.3 1.4 1.5 1.6,9/30/2024,57,第一章 观测误差及其传播,一、权的定义,1,.权的定义式,表示各观测值方差之间比例关系的数字特征称之为权,。,设有观测值 ，它们的方差为 ，选定任一常 数 ，定义观测值 的权为：,由权的定义知，观测值的权与其方差成反比。即方差愈小，其权愈大，或者说，精度愈高，其权愈大。因此，权同样可以作为比较观测值之间的精度高低的一种指标。,1-6 权与定权的常用方法,9/30/2024,58,第一章 观测误差及其传播,一、权的定义,2.,权的,性质,1,选定了一个 值，即有一组对应的权。或者说，有一组权，必有一个对应,的 值。,2,一组观测值的权，其大小是随 的不同而异，但不论 选用何值，权之间的比例关系始终不变。,3,为了使权能起到比较精度高低的作用，在同一问题中只能选定一个 值，否则就破坏了权之间的比例关系。,4,事先给出一定的条件，就可以确定出观测值的权的数值。,5,权是用来比较各观测值相互之间精度高低的，权的意义不在于它们本身数值的大小，重要的是它们之间所存在的比例关系。,下面通过一个例子来了解这些性质：,1-6 权与定权的常用方法,9/30/2024,59,第一章 观测误差及其传播,观测高差：,水准路线长度：,设每公里观测值高差的方差为,各水准路线的方差为：,取： 权：,取： 权：,权之间的比例关系：,1-6 权与定权的常用方法,平差计算之前，精度的绝对数字特征（方差）往往是不知道的，而精度的相对的数字特征（权）却可以根据事先给定的条件予以确定，然后根据平差的结果估算出表示精度的绝对的数字特征（方差）。,9/30/2024,60,第一章 观测误差及其传播,二,、,单位权中误差,1.定义,权等于,1,的观测值称为单位权观测值。,权等于,1,的观测值的方差称为单位权方差。即： 是单位权方差，也称为方差因子。,权等于1的观测值的中误差称为单位权中误差。即： 是,单位权中误差,。,2.权的单位,同类观测值： 权是无量纲，无单位；,不同类观测值：权是有单位的。例如：,边角网中：设测角中误差单位为“秒”；测边中误差单位为“mm”,若 单位取秒，则角度的权无单位，边长的权的单位为：,若 单位取mm，则边长的权无单位，角度的权的单位：,1-6 权与定权的常用方法,9/30/2024,61,第一章 观测误差及其传播,三,、,常用定,权的,方法,1.距,离观测值的权,（,1,）设单位长度（例如一公里）的距离观测值的方差为 ，则全长为,S,公里的距离观测值的方差为,取长度为,C,公里的距离观测值方差为单位权方差，即：,则距离观测值的权为：,（,2,）设长度为,S,公里的距离观测值的方差为 ， 和 分别为测距固定误差和比例误差。,取单位权方差,则距离观测值的权为：,1-6 权与定权的常用方法,9/30/2024,62,第一章 观测误差及其传播,三,、,常用定,权的,方法,2. 水准测量的权,（,1,）设每公里的观测高差的方差均相等，均为 ；第i条水准线路的观测高差为 ，长度为 公里,则第i条水准线路（观测高差）的方差为：,取线路长度为,C,公里的观测高差的方差为单位权方差：,则线路长度为 公里的观测高差的权为：,（,2,）设每一测站观测高差的精度相同，其方差均为 ；第i条水准线路的观测高差为 ，测站数为 ,则第i条水准线路（观测高差）的方差为：,取测站数为,C,的高差观测值为单位权方差：,则第i条水准线路（观测高差）的权为：,1-6 权与定权的常用方法,9/30/2024,63,第一章 观测误差及其传播,三,、,常用定,权的,方法,3.同精度观测值的算术平均值的权,设有,它们分别是 次同精度观测值的平均值，,若每次观测的方差均为 ，,则 的方差为：,取：,则算术平均值 的权 为：,1-6 权与定权的常用方法,9/30/2024,64,第一章 观测误差及其传播,三,、,常用定,权的,方法,4,边角网中方向观测值和边长观测值的权,边角网中有两类不同量纲的观测值：方向（或角度）和边长。,设方向观测值 的方差为 （ ），,边长观测值 的方差为 （ 、 或 ）,取：,则方向观测值 的权 ： （无单位）。,边长观测值 的权,1-6 权与定权的常用方法,9/30/2024,65,第一章 观测误差及其传播,特别强调：,在测量工作中，一般是先根据事先给定的条件，按上述方法确定观测值权，然后进行平差，再根据权的定义式的变形公式，来求观测值或其他函数的中误差。,权的变形公式：,该公式不仅适合于观测值，同时也适合于观测值的函数。,1-6 权与定权的常用方法,9/30/2024,66,第一章 观测误差及其传播,一、,协因数与协因数阵,1.协因数,设有观测值 和 ，,称 为的 协因数或权倒数，,它们的权分别为 和 ，,为的 协因数或权倒数，,它们的方差分别为 和 ，,为 关于 的协因数或相关权倒数,它们之间的协方差为 ，,单位权方差为 。,令：,1-7 协因数与协因数传播律,协因数与权成反比，因此，也可作为衡量精度的相对指标。 当 =0，说明两观测值独立（不相关）。,9/30/2024,67,第一章 观测误差及其传播,一、,协因数与协因数阵,2.协因数阵,设有观测值,向量,X,和,Y,，,它们的方差阵分别为 和 ，,关于 的互协方差阵为,单位权方差为,令：,称 为,X,的协因数阵，,为Y的协因数阵，,为X关于Y的互协因数阵。,1-7 协因数与协因数传播律,协因数阵 中的主对角线元素就是各个 的权倒数，它的非主对角线元素是 关于 的相关权倒数；,中的元素就是 关于,Y,j,的相关权倒数。,也称为X的权逆阵， 为 的Y权逆阵， 为X关于Y的相关权逆阵。,当 说明X与Y相互独立（不相关）,9/30/2024,68,第一章 观测误差及其传播,一、,协因数与协因数阵,3.权阵,设有,独立,观测值 ，其方差为 ，权为 ，单位权方差为 。,X的协因数阵为：,=,则有：,1-7 协因数与协因数传播律,称为 的权阵。,当 是对角阵时，权阵,的主对角线元素就是,的权；,当 是非对角阵时，权阵的主对角线元素不再是 的权了，权阵的各个元素也不再有权的意义了。但是，相关观测值向量的权阵 在平差计算中，也能同样起到同独立观测值向量的权阵一样的作用。,9/30/2024,69,第一章 观测误差及其传播,二,、,协因数传播律,设有观测值向量 和 的线性函数,根据协方差传播律：,顾及协方差阵与协因数阵的关系,1-7 协因数与协因数传播律,化简得：,上式称为,协因数传播律,。协方差传播律与协因数传播律联合称为广义传播律。,9/30/2024,70,第一章 观测误差及其传播,二,、,协因数传播律,如果Z和W的各个分量是X和Y的非线性函数,非线性情况,线性化：,1-7 协因数与协因数传播律,9/30/2024,71,第一章 观测误差及其传播,二,、,协因数传播律（,观测值独立）,对于独立观测值 ，,假定各 的权为 ，,则 的权阵、协因数阵均为对角阵,1-7 协因数与协因数传播律,有函数：,线性化：,权倒数传播律,9/30/2024,72,第一章 观测误差及其传播,例1-9 设有函数：,X,的,协因数,，Y的,协因数,，X关于Y的互,协因数,阵为 （ ）， 又 为常系数阵。,求：,解：,1-7 协因数与协因数传播律,续前：,，,9/30/2024,73,第一章 观测误差及其传播,例,1-10 设,独立观测值,的权均为 ，试求算术平均值,的权,解：,1-7 协因数与协因数传播律,续前：,由此知：,算术平均值之权等于观测值之权的倍,9/30/2024,74,第一章 观测误差及其传播,一、用不同精度的真误差计算单位权方差的计算公式,一组同精度独立观测值,它们的数学期望为,真误差为,有,观测值 的方差为,上式是根据,一组同精度独立的真误差计算方差的基本公式。,1-8,由真误差计算方差及其实际应用,现在设是一组不同精度的独立观测值,数学期望、方差和权分别为 和,为求单位权中误差，需要得到一组精度相同且其权均为1的独立的真误差，为此做如下变换：,设 是一组同精度独立的真误差,并令： 则：,9/30/2024,75,第一章 观测误差及其传播,二、由真误差计算中误差的应用,1由三角形闭合差求测角方差,设在一个三角网中，以同精度独立观测了各三角形之内角，由各观测角值计算而得的,三角形闭合差,分别为,它们是一组真误差，则三角形,闭合差的方差,为,设,测角方差,均为 ，根据协方差传播律得：,1-8,由真误差计算方差及其实际应用,上式称为,菲列罗公式,，在传统的三角形测量中经常用它来初步评定测角的精度。,9/30/2024,76,第一章 观测误差及其传播,二、由真误差计算中误差的应用,2,由双观测值之差求中误差,设对量 ，分别观测两次，得独立观测值和权 ：,第一次：,第二次：,权：,观测值 和 是对同一量 的两次观测的结果，称为一个,观测对,，这种成对的观测，称为,双观测,。对内精度相同，对间不同。,两次观测值的差数：,1-8,由真误差计算方差及其实际应用,由于差数的真值为0，所以差数的真误差就是差数本身。,这样我们就得到了一组真误差。,差数（真误差）的权：,观测值 和 的方差,第i对平均值的方差：,，,单位权方差,9/30/2024,77,第一章 观测误差及其传播,