高等数学课件 导数与微分

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一节 导数的概念,第二节 求导法则,第三节 微分及其在近似计算中的作用,导数与微分,第一节 导数的概念,一 两个实例,四 求导举例,二 导数的概念,三 可导与连续,一、 两个实例,1. 变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,自由落体运动,2.,曲线的切线斜率,曲线,在,M,点处的切线,割线,M N,的极限位置,M T,(当 时),割线,M N,的斜率,切线,MT,的斜率,两个问题的,共性,:,瞬时速度,切线斜率,所求量为,函数增量,与,自变量增量,之比的极限 .,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是,速度增量,与,时间增量,之比的极限,是,转角增量,与,时间增量,之比的极限,是,质量增量,与,长度增量,之比的极限,是,电量增量,与,时间增量,之比的极限,变化率问题,二、导数的概念,定义1,.,设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义 ,在点,处,可导,在点,的,导数,.,运动质点的位置函数,在 时刻的瞬时速度,曲线,在,M,点处的切线斜率,说明:,在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.,若上述极限不存在 ,在点 不可导.,若,也称,在,若函数在开区间,I,内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为,导函数,.,记作:,注意,:,就说函数,就称函数在,I,内可导,.,的导数为,无穷大,.,在点,的某个,右,邻域内,2. 左 右导数,若极限,则称此极限值为,在 处的,右 导数,记作,即,(左),(,左,),定义2,.,设函数,有定义,存在,定理,函数,在点,且,存在,简写为,在点,处,右,导数存在,定理3.,函数,在点,必,右,连续.,(,左,),(,左,),若函数,与,都存在 ,则称,在开区间,内可导,在闭区间,上可导.,可导的,充分必要条件,是,且,3.,导数的几何意义,曲线,在点,的切线斜率为,若,曲线过,上升;,若,曲线过,下降;,若,切线与,x,轴平行,称为,驻点,;,若,切线与,x,轴垂直 .,曲线在点,处的,切线方程:,法线方程:,三、 可导与连续,定理1.,证:,设,在点,x,处可导,存在 ,因此必有,其中,故,所以函数,在点,x,连续 .,注意:,函数在点,x,连续未必可导,.,反例,:,在,x,= 0,处连续 , 但不可导,.,即,*,例,3,求函数,y,=,c(c,为常数),的导数.,解,因为,y,=,c,为常数,所以,y,=,0,这就是说:常数的导数等于零.,即,例如:若,y,=,8,则,四、求导举例,解,(sin,x,),= cos,x,.,(cos,x,),=,-,sin,x,.,*,例,4,求函数,y,= sin,x,的导,数,.,即,同理可得,1,2,3步合并,解,即,(e,x,),= e,x,.,特别地,当,a=e,时,有,(,a,x,),=,a,x,ln,a,.,例,5,求函数,y,=,a,x,(,a,0 ,a,1) 的导,数,.,(当,x,0 时,与 ,x,ln,a,是等价无穷小),1,2,3合并,*,例,6,求函数,y,= ln,x,(,x,(,0, ,) ),的导,数.,解,即,同理可得,1,2,3合并,y,=,(,x,+,x,),3,-,x,3,=,3,x,2,x +,3,x,(,x,),2,+,(,x,),3,解,3,x,2,+,3,x,x,+,(,x,),2,即,例,8,求函数,y,=,x,3,的导数.,同理可得幂函数求导公式:,(,a,为任意实数 ),例,9,求下列函数在指定点处,的导,数:,(1),(2),解,(1),因为,所以,(,2,),因为,所以,思考题,：,3.,函数 在某点 处的导数,区别:,是函数 ,是数值;,联系:,注意:,有什么区别与联系 ?,？,与导函数,4.,设,存在 , 则,小结,1.导数的概念:,2.可导与连续:,3.求导举例:,可导必定连续,连续不一定可导,4.已学过的导数公式,(sin,x,),= cos,x,.,(cos,x,),=,-,sin,x,.,(e,x,),= e,x,.,(,a,x,),=,a,x,ln,a,.,作业 P60 2. 3. 6. 7,谢谢同学们,一、,函数的和、差、积、商的求导法则,二、,复合函数的求导法则,四、,初等函数的求导公式,三、,反函数的求导法则,五、,三个求导方法,六、,高阶导数,第二节 求导法则,第二节 求导法则,一、函数的和、差、积、商的求导法则,例2.,求证,证:,类似可证:,二、复合函数求导法则,证:,在点,u,可导,故,（当 时 ),故有,例如,关键,:,搞清,复合函数结构, 由外向内逐层求导.,推广,：,此法则可推广到多个中间变量的情形.,解,对于复合函数的分解比较熟悉后,就不必再写出中间变量,而可以采用下列例题的方式来计算,例5.,求下列导数:,解:,(1),(2),(3),说明:,类似可得,例6.,设,求,解:,思考:,若,存在 , 如何求,的导数?,这两个记号含义不同,练习:,设,例,7,.,设,解:,记,则,(反双曲正弦),的反函数,三、反函数的求导法则,三、反函数的求导法则,定理2.,y,的某邻域内单调可导,证:,在,x,处给增量,由反函数的单调性知,且由反函数的连续性知,因此,例9.,求反三角函数及指数函数的导数.,解:,1) 设,则,类似可求得,利用, 则,2) 设,则,特别当,时,小结:,解:,1.基本初等函数的导数公式,四、初等函数的求导公式,3复合函数的求导法则,2函数的和、差、积、商的求导法则,小结,.和，差，积，商求导法则,.复合函数求导法则,.反函数求导法则,.初等函数的求导公式,、进一步练习,练习1 ,电流,电路中某点处的电流,i,是通过该点处的,求其电流函数,i,(,t,),？,(2),t,=3,时的电流是多少？,(3) 什么时候电流为28？,电量,q,关于时间的瞬时变化率，如果一电路中的电量为,。,解,(1),(2),(3) 解方程,得,即当,练习2 ,速度,已知某物体做直线运动，路程(单位:,m,),与时间,t,(单位:s)的关系为,，求物体在,解,物体运动的速度为,乘积的求导法则,时的速度？,R,为的电路中的电压由下式给出：,解,电压,V,关于可变电阻,R,的变化率为：,商的求导法则,在,时电压关于可变电阻,R,的变化率为：,练习3 ,电压的变化率,一个电阻为,，可变电阻,时电压关于可变电阻,R,的变化率,求在,练习4,制冷效果,某电器厂在对冰箱制冷后断电,问冰箱温度,T,关于时间,t,的变化率是多少？,解,冰箱温度,T,关于时间,t,的变化率为,测试其制冷效果，,t,小时后冰箱的温度为,练习5 ,并联电阻,当电流通过两个并联电阻,r,1,r,2,时，总电阻由下式给出：,求,R,关于,r,1,的变化率，假定,r,2,是常量.,解,由 知 ，因为,r,2,是常数，所以,练习6 ,放射物的衰减,放射性元素碳-14（1,g,） 的衰减由下式给出：,其中,Q,是,t,年后碳-14存余的数量(单位：,g,),问碳-14的衰减速度（单位：,g,/,年,）是多少？,解,碳-14的衰减速度,v,为,(g/,年,),复合函数的求导法则,案例7 ,电阻中电流与电压的关系,解,因为,其中,是电流的峰值（最大值），称振幅，相位,由,复合函数的求导法则,求电流,i.,在电容器两端加正弦电流电压,从而可知，电容器上电流与电压有下列关系：,（1）电流,i,与电压,U,是同频率的正弦波；,（2）电流,i,比电压,U,c,相位提前,（3）电压峰值与电流峰值之比为,电工中称,为容抗（容性电抗）.,作业,P,6.(2)(3)(5)(6)(9) 10. 15.(2)(7)(11),谢谢同学们,五、三个求导方法,若由方程,可确定,y,是,x,的函数 ,由,表示的函数 , 称为,显函数,.,例如,可确定显函数,可确定,y,是,x,的函数 ,但此隐函数不能显化 .,函数为,隐函数,.,则称此,.隐函数求导方法:,两边对,x,求导,(含导数 的方程),例12.,求由方程,在,x,= 0,处的导数,解:,方程两边对,x,求导,得,因,x,= 0 时,y,= 0 , 故,确定的隐函数,例13.,求椭圆,在点,处的切线方程.,解:,椭圆方程两边对,x,求导,故切线方程为,即,例14,.,求,的导数 .,解:,两边取对数 , 化为隐式,两边对,x,求导,2.对数求导法,1) 对幂指函数,可用对数求导法求导 :,说明:,按指数函数求导公式,按幂函数求导公式,注意:,例14 求,对,x,求导,两边取对数,的导数 .,3.由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个,y,与,x,之间的函数,可导, 且,则,时, 有,时, 有,(此时看成,x,是,y,的函数 ),关系,不要求掌握,切线方程为:,例17.,抛射体运动轨迹的参数方程为,求抛射体在时刻,t,的运动速度的大小和方向.,解:,先求速度大小:,速度的水平分量为,垂直分量为,故抛射体速度大小,再求速度方向,(即轨迹的切线方向):,设,为切线倾角,则,抛射体轨迹的参数方程,速度的水平分量,垂直分量,在刚射出 (即,t,= 0 )时, 倾角为,达到最高点的时刻,高度,落地时刻,抛射最远距离,速度的方向,六、高阶导数的概念,速度,即,加速度,即,引例,：,变速直线运动,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为,n,阶导数 ,或,的,二阶导数,记作,的导数为,依次类推 ,分别记作,则称,(sin,x,),= cos,x,.,(cos,x,),=,-,sin,x,.,设,求,解:,依次类推 ,例19.,思考:,设,问,可得,例20.,设,求,解:,特别有:,解:,规定 0 ! = 1,思考:,例21.,设,求,例22,.,设,求,解:,一般地 ,类似可证:,作业,P,6221.(1) 24.(2) 25.(2) 27,谢谢同学们,一、,微分的概念,二、,微分的几何意义,三、,微分的运算法则,四、,微分在近似计算中的应用,第三节 微分及其在近似计算中的作用,一、微分的概念,例1:,一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为,x, 面积为,A, 则,面积的增量为,关于,x,的线性主部,高阶无穷小,时为,故,称为函数在 的微分,当,x,在,取,得增量,时,变到,边长由,其,的,微分,定义:,若函数,在点 的增量可表示为,(,A,为不依赖于,x,的常数),则称函数,而 称为,记作,即,定理:,函数,在点 可微的,充要条件,是,即,在点,可微,说明:,时,所以,时,很小时, 有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,二 微分的几何意义,当 很小时,则有,从而,导数也叫作微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,三、 微分的运算法则,设,u,(,x,) ,v,(,x,) 均可微 , 则,(,C,为常数),分别可微,的微分为,微分形式不变,5. 复合函数的微分,则复合函数,基本初等函数的微分公式,(见 P57表),例9.,求,解:,例10.,设,求,解:,利用一阶微分形式不变性 , 有,例11.,在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,说明:,上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,注意: 数学中的反问题往往出现多值性.,数学中的反问题往往出现多值性 , 例如,四、 微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则:,得近似等式,:,特别当,很小时,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,的近似值 .,解:,设,取,则,备用.,求,的近似值 .,解:,备用.,计算,思考题,小结,1.微分的概念,2.微分的几何意义,3.微分的运算法则,4.微分在近似计算中的应用,微分基本公式,函数的和,差,积,商的微分法则,复合函数的微分法则,练习,P,63,28 29,微分的几何意义,当 很小时,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,导数的几何意义,曲线,在点,的切线斜率为,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,