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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,数学建模与数学实验,第一章 数学建模概述,1.1,数学模型概念,1.2,数学模型的特点,1.3,数学模型的分类,1.4,建模示例,课程学习的重要性,科学技术飞速发展，数学模型越来越起到重要作用；,数学建模教育有利于学生解决实际问题的综合能力的提高；,我们身边许多实际问题看起来与数学无关，但通过分析都可用简捷数学方法完美的解决。,熟悉数学知识与方法的应用,如何挑西瓜,某人早,8,时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午,5,时到达山顶并留宿，次日早,8,时沿同一路径下山，下午,5,时回到旅店，则这人在两天中的同一时刻经过途中的同一地点，为什么？,交通事故调查,一辆汽车在拐弯时急刹车，结果冲到路边的沟里。交警立即赶到事故现场。司机申辩说，当他进入弯道时刹车已失灵，他还一口咬定，进入弯道时其车速为,40,英里,/,小时,(,即该车在这类公路上的速度上限，相当于,17.9,米,/,秒），交警验车时证实该车的制动器在事故发生时的确失灵，然而司机所说的车速是否真实呢？,目标与定位,架起数学与实际问题的桥梁，学习初步的用数学解决实际问题的一般步骤与方法,体验创造性地解决问题的基本过程,学习如何分析问题与研究问题,培养团体协作精神,血药浓度与周期性服药问题,饮酒驾车问题,最优的渡河策略,分类问题,设备的预防性维修,最优的彩票方案,网路在线租赁,优化的排课问题,卫星测控,1.1,数学模型概念,原型,指人们在现实世界里所研究或从事生产管理的实际对象。,比如：机械系统、电力系统、生态系统、化学反应系统污染扩散过程、生产销售过程、计划决策过程等。,模型,指人们为了某个特定的目的而将原型的某些信息精简压缩,加以提炼而构造的原型的替代物。需要强调的是,模型不是原型的原封不动的复制,它实际上只是原型某些方面和某些层次的近似表示。,模型分类,直观模型,通常指实物模型,以及玩具、照片等,主要追求外观上的逼真,这类模型的效果是一目了然的,。,物理模型,通常指科技工作者为了某些目的，根据相似原理构造的模型,它不仅可以显示原型的外形或某些特征,而且可以用以进行摸拟实验,间接地研究原型的某些规律。比如风洞中的飞机模型用来实验飞机在气流中的空气动力学特性等。,思维模型,通常指人们对原型的反复认识,将获取的知识以经验的形式直接存于大脑中,从而可以根据思维或者直觉作出相应的决策。,符号模型,指在一些约定或假设下借助专门的符号、线条等,按照一定形式组合起来的原型的描述，比如地图、电路图等,数学模型,用数学的语言和工具,对原型的信息,(,现象,数据,图表等,),加以翻译、归纳所形成的公式、图表等。,什么是数学建模,?,数学实验？,数学建模,是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。,数学实验,指利用计算机技术，选择合适的数学软件和算法将,数学问题在计算机上加以实现。,与数学模型相关的技术,主要指计算机模拟。根据实际系统或过程的特征，按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟实际运行状态，并依据大量的模拟结果对系统或过程进行定量分析。它是解决实际问题的有效手段。,模拟,数学实验,指利用计算机技术，选择合适的数学软件和算法将数学问题在计算机上加以实现。,本课程涉及的内容,数学建模,数学实验,不涉及模拟,建立数学模型的一般方法,机理分析,是指人们根据客观事物的特征,分析其内部机理,弄清其因果关系,并在适当的简化假设下,利用合理的数学工具得到描述事物特征的数学模型。,统计分析,是指人们一时得不到事物的机理特征,便通过测试得到一系列数据,再利用数理统计等知识,对这些数据进行处理,从而得到最终的数学模型。,数学建模的一般步骤,模型准备,模型假设,模型建立,模型求解,模型分析,模型检验,模型应用,模,型,准,备,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,形成一个,比较清晰,的问题,模,型,假,设,针对问题特点和建模目的,作出合理的、简化的假设,在合理与简化之间作出折中,模,型,建,立,用数学的语言、符号描述问题,发挥想象力,使用类比法,尽量采用简单的数学工具,数学建模的一般步骤,模型,求解,各种数学方法、软件和计算机技术,如结果的误差分析、统计分析、,模型对数据的稳定性分析,模型,分析,模型,检验,与实际现象、数据比较，,检验模型的合理性、适用性,模型应用,数学建模的一般步骤,几个过程简介,了解问题的实际背景,明确建模的目的,搜集建模必需的各种信息,初步确定用哪一类模型。,模型准备,模型准备过程是非常必要的,这一步骤往往是建模过程中最困难、最费时费力的,需要查阅大量的资料,需要请教专家,而且要求自己应具有相当的实际经验,模型假设,一般无法将实际对象的所有影响因素都考虑到模型中,这就需要对问题进行必要的简化。,通过假设,精确地描述各种影响因素的关系。,假设包含两方面的内容,（,1,）,有选择地忽略一些影响因素,这种忽略 主要基于两个方面的考虑,:,（,i,）该变量与其它变量相比,对实际问题 行为特征的影响较小；,（,ii,）对于那些在各种条件下,对实际问题 行为特征的影响虽然比较大,但是影 响程度的变化基本上是不变的。,(2),确定所选变量的关系,有些变量间的关系是明确的,我们勿需对此作假设或简化,有些变量间的关系是模糊的,对此类变量,为明确其关系,我们可以对它再作进一步的假设或简化,甚至为了研究这些变量的关系,我们还可以建立子模型。,建立模型,根据所作的假设利用适当的数学工具,构成实际问题的数学描述,建模应遵循,简单,原则,:,尽管同一个研究对象可以利用多个学科的数学知识来建模,但应尽量采用简单的数学工具,以便更多的人了解和使用。,建模除了需要一些相关学科的专门知识外,还常常需要广阔的应用数学方面的知识开拓思路,除用到微积分、常微分方程、线性代数、概率论与数理统计等基础知识外,还用到诸如运筹与规划、排队论、图论、对策论等方面的知识。,模型的求解与分析,模型的求解与分析,所谓模型的求解与分析指的是利用数学方法给出模型的结果,或者是利用数学语言描述模型所揭示的含义。,模型分析,对模型结果进行数学上的分析,给出定量或定性的结果,如有可能还应该给出数学上的预报、数学上的最优决策与控制方法等。对结果进行误差分析、灵敏度分析及稳定性分析也是模型分析中必不可少的工作。,模型应用,应用建立的模型解决实际问题，这是建模的真正目的。好的模型有时可以产生巨大的影响。,模型检验,经模型检验证明模型是可靠的或适用的后,模型即可以应用实际问题,用于评价、预测或指导工程实践。,模型的逼真性和可行性,模型的渐进性,模型的强健性,模型的可转移性,模型的非预制性,模型的条理性,模型的技艺性,模型的局限性,数学模型的特点,数学模型的分类,分类标准,具体类别,了解程度,白箱模型、灰箱模型、黑箱模型,模型中变量的特征,连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等,建模中所用的数学方法,初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等,研究课题的实际范畴,人口模型、生 态系统模型 、交通,流模型、经 济模型、 基因模型等,数学模型的分类,应用领域,人口、交通、经济、生态、,数学方法,初等数学、微分方程、规划、统计、,表现特性,描述、优化、预报、决策、,建模目的,了解程度,白箱,灰箱,黑箱,确定和随机,静态和动态,线性和非线性,离散和连续,数学建模与数学实验内容,1,）建模的基本概念和方法（数学建模课程的主要内容）,2,）建模过程中常用的数学方法,(,微积分、代数、概率外,),，主要有：计算方法,(,如数值微分和积分、微分方程数值解、代数方程组解法,),，优化方法,(,如线性、非线性规划,),，数理统计,(,如假设检验、回归分析,),，图论,(,如最短路,),等。,本课程只要求知道实际问题与这些数学知识之间的对应关系（如哪些问题可用线性规划求解，或线性规划可解决哪些问题），以及用它们建立模型的方法，基本上不必涉及模型的求解。,3,）合适的数学软件的用法。基本上能完成上述方法的软件，如,MATLAB ,MATHEMATICA, LINGO,等。,1.4,建模示例,一辆汽车在拐弯时急刹车，,结果冲到路边的沟里（见图,1.1,）。交警立即赶到事故现,场。司机申辩说，当他进入,弯道时刹车已失灵，他还一,口咬定，进入弯道时其车速,为,40,英里,/,小时,(,即该车在这类公路上的速度上限，相当于,17.9,米,/,秒），交警验车时证实该车的制动器在事故发生时的确失灵，然而司机所说的车速是否真实呢？,例,1,交通事故调查,图,1.1,汽车轨迹运行图,交警在现场获取的相关数据,:,X,指刹车痕迹方向；,Y,指垂直,X,轴方向。,经勘察还发现，该车并没有偏离它的行驶转弯方向，也就是说车头一直指向转弯曲线的切线方向。,x,0,3,6,9,12,15,16.64,y,0,1.19,2.15,2.82,3.28,3.53,3.55,x,18,21,24,27,30,33.27,y,3.54,3.31,2.89,2.22,1.29,0,表,1.1,刹车痕迹的测量值,(,米,),模型假设,该车的重心沿一个半径为,r,的圆做圆周运动（根据交通学原理，现有公路的弯道通常是按圆弧段设计的,需要检验）。,汽车速度,v,是常数（因刹车失灵，所以刹车不起作用）。,设摩擦力,f,作用在汽车速度的法线上，摩擦系数为常数,k,，汽车质量为,m,。,模型建立,根据牛顿运动学定律：,f=kmg=mv,2,/r,（,1.1,）,模型求解,由（,1.1,）式得,v,=,（,1.2,）,关于半径,r,的估计,:,假设已知,圆,的弦长为,c,弓形高度为,h,由,勾股定理得,由表,1.1,得,c,33.27m,h,3.55m,求得,r,40.75m,.,摩擦系数,k,的值通常可以根据路面与汽车轮胎的情况测出,也可以通过交通部门获得,本例取,kg,=8.175m/s,。代入,(1.2),式得,v,=18.2m/s,。,模型解释,这一结果（,18.2m/s,）比司机所说的车速,(17.9m/s),略大一些,但基本上可以认为司机所说的,情况属实,。,井深,的估算,假如你站在井边且身上带着一只具有计时功,能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下,一块石头听回声的方法来估计井的深度，,假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算,井的深度呢，请你分析一下这一问题。,我有一只具有计时功能的计算器。,方法一,假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式,来计算。设,t,=4,秒，,g,=9.81,米,/,秒,2,，则可求得,h,78.5,米。,除去地球引力外，对石块下落影响最大的当属,空气阻力,。根据流体力学知识，此时可设,空气阻力正比于石块下落的速度,，阻力系数,K,为常数，因而，由牛顿第二定律可得：,令,k,=,K,/,m,，,解得,代入初始条件,v,(0)=0,，得,c,=-,g/k,，故有,再积分一次，得：,若设,k,=0.05,并仍设,t,=4,秒，则可求 得,h,73.6,米。,听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了,反应时间,进一步深入考虑,不妨设,平均反应时间,为,0.1,秒 ，假如仍 设,t,=4,秒，扣除反应时间后应 为,3.9,秒，代入 式,，求得,h,69.9,米。,多测几次，取平均值,再一步深入考虑,代入初始条 件,h,(,0,)=,0,，得到计算水井高度的公式：,将,e,-kt,用泰勒公式展开并 令,k,0+,，即可得出前面不考虑空气阻力时的结果。,还应考虑,回声,传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间 为,t,1,，声音传回来的时间记 为,t,2,，还得解一个方程组：,迭代法！,方法,1= h=67.2m,方法,2= h=63.6m,注重数学,/,建模的应用,让学习数学建模课的学生掌握基本的数学建模思维，基本上能掌握几种建模方法。使得学生在毕业设计,/,论文或在学科竞赛、科技创新乃至将来走上工作岗位能够有,用数学,的意识和,用数学,的基本能力。,
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