微分方程及其应用

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,微分方程及其应用,一、引例,二、,微分方程的基本概念,第一节 微分方程的根本概念,例,1,一曲线通过点,(1, 2),，且在该曲线上任一点,M,(,x,y,),处的切线的斜率为,2,x,，求这曲线的方程,解 设所求曲线的方程为,y,y,(,x,),根据导数的几何意义可知,此外，未知函数yy(x)还应满足以下条件：,x,1,时，,y,2,，,一,.,引例,把条件“x1时，y2代入上式，得,2,1,2,C,，,由此定出,C,1,把,C,1,代入上式，得所求曲线方程：,y,x,2,1,把,(1),式两端积分，得,其中,C,是任意常数,例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶；当制动时列车获得加速成度04m/s2 问开场制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间行驶了多少路程?,解 设列车在开场制动后t秒时行驶了s米根据题意,此外，未知函数ss(t)还应满足以下条件：,把,(4),式两端积分一次，得,这里,C,1,，,C,2,都是任意常数,再积分一次，得,把条件“,t,=0,时，,v,20,代入,(6),得,20,C,1,；,把条件“,t,=0,时，,s,0,代入,(7),得,0,C,2,把,C,1,，,C,2,的值代入,(6),及,(7),式得,v,0,4,t,20,，,(8),s,0,2,t,2,20,t,(9),在(8)式中令v0，得到列车从开场制动到完全停住所需的时间,再把,t,50,代入,(9),，得到列车在制动阶段行驶的路程,s,0,2,50,2,20,50,500(,m,),微分方程：,表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫微分方程例如,常微分方程与偏微分方程：,未知函数是一元函数的微分方程，叫常微分方程,未知函数是多元函数的微分方程，叫偏微分方程,x,3,y,x,2,y,4,xy,3,x,2,，,y,(4),4,y,10,y,12,y,5,y,sin 2,x,，,y,(,n,),1,0,，,3,阶微分方程,4,阶微分方程,n,阶微分方程,例,1,例,2,二,.,微分方程的概念,微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫微分,方程的阶,微分方程的阶：,一般,n,阶微分方程：,F,(,x,，,y,，,y,，, ,，,y,(,n,),),0,y,(,n,),f,(,x,，,y,，,y,，, ,，,y,(,n,-,1),),如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数一样，这样的解叫做微分方程的通解,微分方程的通解：,例,1,例,2,设函数,y,j,(,x,),在区间,I,上有,n,阶连续导数，如果在区间,I,上，,F,x,，,j,(,x,),，,j,(,x,),，,，,j,(,n,),(,x,),0,，,那么函数,y,j,(,x,),就叫做微分方程,F,(,x,，,y,，,y,，,，,y,(,n,),),0,在区间,I,上的解,微分方程的解：,确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解即不含任意常数的解称为微分方程的特解,特解：,例,1,例,2,x,x,0,时，,y,y,0,，,y,y,0,一般写成,用于确定通解中任意常数的条件，称为初始条件如,初始条件：,求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题,初值问题：,记为,微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线,积分曲线：,的解,解 求所给函数的导数：,例,3,验证：函数,x,=,C,1,cos,kt,+,C,2,sin,kt,是微分方程,这说明所给函数满足所给方程，因此所给函数是所给方程的解,k,2,(,C,1,cos,kt,C,2,sin,kt,),k,2,(,C,1,cos,kt,C,2,sin,kt,),0,例4 函数xC1 cos ktC2 sin kt(k0)是微分方程,的通解，求满足初始条件,x,|,t,=0,A,，,x,|,t,=0,0,的特解,解 由条件,x,|,t,=0,A,及,x,C,1,cos,kt,C,2,sin,kt,，得,C,1,A,再由条件,x,|,t,=0,0,，及,x,(,t,),k,C,1,sin,kt,kC,2,cos,kt,，得,C,2,0,把,C,1,、,C,2,的值代入,x,C,1,cos,kt,C,2,sin,kt,中，得,x,A,cos,kt,小结与思考,概括的说，只要含有未知函数的导数或微分的方程就是微分方程。对于微分方程及其根本概念我们今后经常用到，大家要理解和熟悉它们。这些概念是微分方程的定义和微分方程的解，微分方程的通解和特解，尤其是搞清楚通解的定义，理解什么是“独立的任意常数。,一 可别离变量的微分方程,齐次微分方程,小结与思考,第二节 可别离变量的微分方程,及齐次微分方程,一、可别离变量的微分方程,可别离变量的微分方程.,解法,为微分方程的隐式通解。,假设一阶微分方程可写成变量别离的形式,别离变量法,例,1,求,解,可别离变量为,两端积分,通解,非全部解,通解,全部解,积分，得,例,2,解,所求通解,建立微分方程的方法：,1、直接法：,直接由几何条件或物理定律列出因变量与自变量的微分方程。,2、间接法：,借助中间变量间接地建立因变量与自变量的联系，列出微分方程。,解,衰变规律,直接法,衰变速度,根据题意,得,二、齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程,.,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替,u,便得原方程的通解,.,解法,:,别离变量:,例,1,解微分方程,解,:,代入原方程得,别离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(,当,C,= 0,时,y,= 0,也是方程的解,),(,C,为任意常数,),例,2,解微分方程,解,:,那么有,别离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在求解过程中丧失了.,(,C,为任意常数,),可得 ,OMA,= ,OAM,=,例,3.,在制造探照灯反射镜面时,解,:,设光源在坐标原点,那么反射镜面由曲线,绕,x,轴旋转而成,.,过曲线上任意点,M,(,x,y,),作切线,M T,由光的反射定律,:,入射角,=,反射角,取,x,轴平行于光线反射方向,从而,AO,=,OM,要求点光源的光线反,射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状,.,而,AO,于是得微分方程,:,利用曲线的对称性,不妨设,y, 0,积分得,故有,得,(,抛物线,),故反射镜面为旋转抛物面,.,于是方程化为,(,齐次方程,),顶到底的距离为,h,说明,:,那么将,这时旋转曲面方程为,假设反射镜面的底面直径为 d ,代入通解表达式得,小结与思考,可别离变量的微分方程和齐次微分方程是较简单的微分方程。可别离变量的微分方程是一阶线性微分方程的特殊形式，而齐次方程又可以转化为可别离变量的微分方程来解。,一 一阶线性微分方程的概念,一阶线性微分方程的解法,第三节 一阶线性微分方程,一阶线性微分方程的标准形式,:,上述方程称为,一阶线性齐次方程,上述方程称为一阶线性非齐次方程,一、一阶线性方程的概念,例如,线性的,非线性的,齐次方程的通解为,1.,线性齐次方程,二 一阶线性微分方程的解法,(使用别离变量法),2.,线性非齐次方程,讨论: 设y=f(x)是解, 那么,积分,非齐方程通解形式,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法,.,设解为,积分得,非齐方程通解,一阶线性非齐次微分方程的通解为,:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,对应齐次方程通解与非齐次方程特解之和。,解,:,例,2,例,4,如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段,PQ,之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .,两边求导得,解,:,解此微分方程,所求曲线为,二阶线性微分方程,二阶常系数线性齐次方程解的构造,二阶常系数线性齐次微分方程的解法,求二阶常系数线性齐次微分方程的,解的步骤,第四节 二阶常系数线性齐次 微分方程,的方程，称为二阶线性微分方程,.,当 时，方程,(1),成为,称为二阶线性齐次微分方程，当 时，方程,(1),称为二阶线性非齐次微分方程,.,/,形如,一 二阶线性微分方程,当系数P(x)、Q(x)分别为常数p、q时，那么称方程,为二阶常系数线性齐次微分方程，称方程,为二阶常系数线性非齐次微分方程,.,定理1 设y1(x)， y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个解，那么 也是方程(3)的解，其中C1, C2是任意常数.,二 二阶常系数线性齐次方程解的构造,证,这个定理说明，二阶线性齐次微分方程任何两个解y1(x)， y2(x)的线性组合,仍是方程的解.,那么， 是不是方程(3)的通解呢？,例,1,对于二阶常系数,线性齐次微分方程,也是它的解,.,但这个解中只含有一个任意常数,C,，显然它不是所给方程的通解,.,容易验证：,都是它的解,.,由定理,1,知,问题：,方程,(3),的两个特解,y,1,(,x,),，,y,2,(,x,),满足什么条,件时，,才是方程,(3),的通解？,由例,1,分析可知，如果方程,(3),的两个特解,y,1,(,x,),，,y,2,(,x,),之间不是常数倍的关系，那么它们线性组合得到的解,就必定是方程,(3),的通解,.,定义,设,y,1,(,x,),与,y,2,(,x,),是定义在某区间内的两个函数，如果存在不为零的常数,k,(,或存在不全为零的常数,k,1,k,2,),，使得对于该区间内的一切,x,，,有,成立，那么称函数y1(x) 与y2(x) 在该区间内线性相关，否那么称y1(x) 与y2(x) 线性无关.,例如，例,1,中 是线性相关的， 是线性无关的,.,定理2 如果函数y1(x) 与y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个线性无关的特解，那么,就是方程,(3),的通解,.,例,2,所给方程为二阶常系数,线性齐次微分方程,解,三 求二阶常系数齐次线性微分方程,(3),的通解步骤,：,1.,写出特征方程，并求出特征方程的两个根；,2 .,根据两个特征根的不同情况，按照公式,(6),、,(7),或,(8),写出微分方程的通解,.,可使用下表,:,两个不相等的实根,特征方程,:,微分方程,:,两个相等的实根,一对共轭复根,的两个根,r,1,r,2,的通解,例,3,求微分方程,解,:,其特征方程为,即,(,r,+1)(,r,3)=0,例,4,解,:,例,5,解,:,小结与思考,通过这节课的学习，我们认识了二阶常系数线性齐次微分方程，并且会求这类方程的通解和特解了。我们看到，求解二阶常系数线性齐次方程不必积分，只要用代数方程求出特征方程的根就可以写出微分方程的通解了。而只需要将初值条件代入方程，就可得到特解。,一、二阶常系数线性非齐次微分方程,解的性质与通解的构造,二、二阶常系数线性非齐次,微分方程的解,第五节 二阶常系数线性,非齐次微分方程,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解构造,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法,.,自由项为,一、二阶常系数线性非齐次微分方程,解的性质与通解的构造,设非齐方程特解为,代入原方程,1.,型,综上讨论,注意,:,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程k是重根次数.,特别地,例,1,解,:,特征方程,特征根,对应齐次方程通解,代入方程,得,原方程通解为,求通解,解,:,特征方程,特征根,齐次通解,即,代入*式,非齐通解为,例,2,分别是,的实部和虚部,可设,辅助方程,由分解定理,分别是以,为自由项的非齐次线性微分方程的特解,注意,:,上述结论可推广到,n,阶常系数非齐次线性微分方程,例,3,解,:,对应齐方通解,作辅助方程,代入上式,所求非齐方程特解为,取虚部,原方程通解为,这种方法称为复数法,例,4,解,:,对应次齐方程通解,作辅助方程,代入辅助方程,所求非齐方程特解为,取实部,原方程通解为,注意,:,例,5,解,:,对应齐方程通解,用常数变易法求非齐方程通解,原方程通解为,例,6,求通解,解,:,相应齐次方程,特征方程,齐次方程通解,先求,的特解,设,代入方程,再求,的特解,考虑辅助方程,可设,代入方程得,取实部得,原方程的特解,所求通解为,例,7,设,具有连续的二阶偏导数,且满足,求,u,的表达式,解,:,记,那么,同理,这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程,解得,一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离钉子8米，另一端离钉子12米，假设不计摩擦力，求此链条滑过钉子所需的时间,下段重为,解,:,设时刻,t,链条下落了,x,米,另设链条单位长重为,那么上段重为,由,Newton,第二定律,例,8,特征方程,特征根,齐次通解,特解,故,代入初始条件,解得,小结,(,待定系数法,),只含上式一项解法：作辅助方程,求特解,取特解的实部或虚部,得原非齐次方程特解,.,小结与思考,这节课我们认识了二阶常系数线性非齐次微分方程，学习了这类方程的解的性质和通解的构造，并且讨论了当自由项为多项式、多项式乘以指数函数或为三角函数时特解的解法。主要解题方法还是结合了特征方程和特征根的情形。大家要把握住方程的特解与自由项具有一样的构造这一原那么。,一、用微分方程解决实际问题 的一般步骤,二、应用实例,第六节 微分方程的应用,(1),分析问题，设所求未知函数，建立微分方程，确定初始条件；,(2),求出微分方程的通解；,(3),根据初始条件确定通解中的任意常数，求出微分方程相应的特解,本节将通过一些实例说明微分方程的应用,一、用微分方程解决实际问题的一般步骤,例,1,设曲线上任一点的切线在第一象限内的线段恰好被切点所平分，该曲线通过点( 2 , 3 ) ，求该曲线的方程,解,:,由题意，它是切线在第一象限内局部的中点，,设,M,(,x , y,),是曲线上任意一点，,那么切线与 y 轴的交点坐标是(0, 2y)，,与,x,轴的交点是,(2,x,0),，,假设设曲线方程为,那么得微分方程,别离变量，解得,别离变量，解得,曲线过点2，3,因此，所求曲线的方程为,例2 一质量为m的物体，在倾斜角为的斜面上由静止开场下滑。摩擦力为，其中为运动速度,物体对斜面的正压力,为常数，求速度随时间的变化规律。,解：,利用牛顿第二定律：,设,那么,沿斜面向下的力为：,例,3,在商品销售预测中， 时刻的销售量为 ，若商,品销售的增长速度 与销售量 和销售接近饱和程度,之积成正比，求销售函数 。,解：,由题意，,小结与思考,建立起实际问题的数学模型一般是比较困难的，因为这需要对于问题有关的自然规律有一个清晰的了解，同时也需要有一定的数学知识。为了要建立起实际问题的数学模型，同学们一定要学习有关的自然科学和工程技术的专业知识。微分方程往往可以看作是各种不同物理现象的数学模型，我们在建立微分方程的时候，只能考虑影响这个物理现象的一些主要因素，而把其他一些次要因素忽略掉，如果确实考虑到了那些最主要的因素，那么，我们所得到的微分方程及它的解和所考虑的物理现象就是比较接近的，这时，我们得到的数学模型是有用的；否那么，我们还应该考虑其他的一些因素，以便建立起更为合理的数学模型。,谢谢大家！,结 语,