理学 分离变量法齐次方程齐次边界条件

,数学物理方程与特殊函数,第2章分离变量法,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,理学 分离变量法齐次方程齐次边界条件,根本思想：,首先求出具有变量别离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。,适用范围：,波动问题、热传导问题、稳定场问题等,特点：,a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；,b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。,令,代入方程：,令,代入边界条件,一 求两端固定的弦自由振动的规律,、别离变量法的根本思想和解题步骤,特征固有值问题：含有待定常数常微分方程在一定条 件下的求解问题,特征固有值：使方程有非零解的常数值,特征固有函数：和特征值相对应的非零解,分情况讨论：,1）,2）,3）,二阶常系数微分方程,：,特征方程：,根的三种情况：,得常系数微分方程的通解：,附录:,别离变量,求特征值和特征函数,求另一个函数,求通解,确定常数,别离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。,2 解的性质,x=x,0,时：,其中,：,这表示在任意一点,处都作简谐振动。,t=t,0,时：,这说明，任一时刻弦的形状都是正弦波，,其振幅,随不同的时间,而不同。,振幅:,频率:,初位相:,波节:,波腹:,驻波法,于是我们可以说u(x,t)是由一系列频率不同(成倍增长)、位相不同、振幅不同的(固有振动)驻波叠加而成的。所以别离变量法又称驻波法各驻波振幅的大小和位相的差异，由初始条件决定，而频率(na)/l与初始条件无关，所以也称为弦的固有频率。,中最小的一个,称为,基频,，,相应的,称为,基波,称为,谐频,，,相应的,称为,谐波,。,基波的作用往往最显著,第一步: 别离变量。令,适合方程和边界条件，,从而 定出所适合的固有值问题，以及,适合的常微分方程.,第二步: 解固有值问题，的别离变量形状的解。,求出全部特征值和特征函数.并求出相应的,的表达式.,第三步: 叠加定系数。将所有变量别离形式的特解叠加起来，并利用初始条件定出所有待定常数.,综上所述，别离变量法的解题步骤可以分成三步：,例(1) : 求以下定解问题,解：,解：,例(2) 求以下定解问题,初始条件,例(3),磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动。研究,两端自由棒的自由纵振动,即定解问题,解: 设,并代入方程得,用 遍除各项即得,关于,T,的方程,关于,X,的方程,别离为,(iii),(i), 0 情况的固有值、固有函数 合在一起：,固有值,只有,( C1为任意常数,傅里叶余弦级数的根本函数族,当,0 时，将,本征值代入,T,的方程：,其解,其中,A,0,、B,0,、A,n,、B,n,均为独立的任意常数。,代回,傅里叶余弦级数的根本函数族,由初始条件,所有本征振动的叠加,一般解,系数,A,0,、B,0,、A,n,、B,n,由初始条件确定,得,把右边的函数展成傅里叶余弦级数, 比较两边的系数,得,定解问题,答 案,*例(4) 求以下定解问题,令,带入方程：,解：,二 有限长杆上的热传导,令,带入方程：,解：,例(5),研究细杆导热问题, 初始时刻杆的一端温度为零度, 另一端温度为,u,0,，杆上温度梯度均匀, 零度的一端保持温度不变, 另一端跟外界绝热,试求细杆上温度的变化。,解,杆上温度满足以下泛定方程和定解条件,泛定方程和定解条件都是齐次的，可以应用别离变量法。,设,代入方程和边界条件得,关于,T,的方程,本征值问题,仅讨论 的情况：,(i), 0 或0：,无意义,固有值,只有,相应的固有函数,关于,T,的方程,由初始条件确定系数,可以看出:,t0时，随着t 的增大级数解收敛得很快, t 越大, 级数收敛越快。,t时，u(x,t) 0，即细杆内的温度从开场时的分布趋向于均匀的零摄氏度，热量从左端一处，体系从热力学非平衡态趋向于热力学平衡态。,答案,例(6),一长度为l的均匀细杆，其侧面与左右两端都保持绝热，杆内初始时刻的温度分布是不均匀的，求杆内温度随时间的变化。,解：,别离变量流程图,常用本征方程 齐次边界条件,拉普拉斯方程,矩形区域问题,圆形区域问题,三 稳定场方程(拉普拉斯方程)的定解问题,1 直角坐标系下的拉普拉斯问题,解：,拉普拉斯方程,矩形区域,定解问题,未知函数别离,泛定方程别离,X边界条件别离,别离解,叠加,Y边界条件要求,2 圆域内的拉普拉斯问题,例9,圆柱体稳态温度分布,解：,(1),设,欧拉方程,(2),解固有值问题,1）,2）,3）,欧拉方程,令,级数解：,常用本征方程 周期边界条件,拉普拉斯方程,圆形区域,定解问题,未知函数别离,泛定方程别离,自然边界条件,别离结果,固有值问题求解,固有值,固有函数,拉普拉斯方程,圆形区域,径向方程求解,别离解,叠加,边界条件要求,例10 求以下定解问题,解：,欧拉方程,令,其它为零,例12 求以下定解问题,解：,欧拉方程,其他为零,、一般格式、固有值问题,一般格式和问题,第一步，别离变量。,第二步，解固有值问题，得别离变量形状特解。,第三步，,叠加定系数。,固有值是否存在；,如果存在的话，固有函数系是否正交。,固有值问题的施图姆刘维尔(Sturm-Liouville)定理,一般的二阶齐次线性常微分方程,下面就施图姆刘维尔(Sturm-Liouville)方程讨论固有值问题,以上称为正那么的施图姆刘维尔(Sturm-Liouville)的固有值问题。,有如下结论：,1),可数性,2),非负性,3),正交性,4),完备性,例1,解固有值问题,解：,例2,解固有值问题,解：,例3,解固有值问题,解：,另解：,设想能不能通过变量代换将方程化成最简单的S-L,型方程，即消除一阶导项。,令：,代入方程：,0,求满足双调和方程定解问题的所有别离变量形状的解,解：,代入Y的方程，其特征方程为：,特征方程为,特征方程的根,通解中的对应项,附录：,阶常系数齐次线性方程解法,有两个二重根,故解得相应的,问题的全局部离变量形状解为,求长方体内稳恒温度分布,解：,这是我们遇到的第一个高维问题，仍试着用分,离变量法求解。,以及常微分方程,解两个固有值问题,、非齐次问题,齐次边界条件下非齐次开展方程的混合问题,人有了知识，就会具备各种分析能力，,明辨是非的能力。,所以我们要勤恳读书，广泛阅读，,古人说“书中自有黄金屋。,”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，,培养逻辑思维能力；,通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，,培养文学情趣；,通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。,有许多书籍还能培养我们的道德情操，,给我们巨大的精神力量，,鼓舞我们前进,。,