第6章平稳过程

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章 平稳过程,第一节 基本概念,第二节 平稳过程相关函数的性质,第三节 平稳正态过程与正交增量过程,第四节 遍历性定理,第一节 基本概念,一、严（强）平稳过程,则 称为严（强）平稳过程,二、严平稳过程的特点,二维联合分布 仅与时间差 有关，而与时间起点无关。,同理有一维概率密度函数也与,t,无关，,即,证,（二维情形）,对于二维联合分布函数，有,其中,同理,二维联合概率密度函数也仅与时间差 有关，而与时间起点无关，即,2.,若严平稳过程存在二阶矩，则,证,（,2,）相关函数仅是时间差 的函数：,记,（,1,）均值函数为常数：,只对连续型的情况,三、宽（弱）平稳过程,则称 为宽（若）平稳过程，简称平稳过程,.,注,1,严平稳过程不一定是宽平稳过程。,因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。,注,2,宽平稳过程也不一定是严平稳过程。,因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推移而改变，这当然不能保证其有穷维分布不随时间而推移。,注,3,利用均值函数与协方差函数也可讨论随机过程的平稳性。,因为,均值函数,协方差函数,即表示协方差函数仅依赖于 ，而与,t,无关，与相关函数相同。,试讨论随机变量序列 的平稳性。,解,因为,注,在科学和工程中，例,1,中的过程称为“白噪声”，它是实际中最常用的噪声模型。,是在,0, 1,上服从均匀分布的随机变量，试讨论随机序列 的平稳性。,其中,T,=1,，,2,，,解,的密度函数为,所以,注,例,2,中的过程是宽平稳的，但不是严平稳的,.,性质,1,第二节 平稳过程相关函数的性质,一、自相关函数的性质,证,性质,2,证,由许瓦兹不等式得,证,证,对于两个平稳过程，重要的是它们是否平稳相关，因此先给出平稳相关概念。,二、互相关函数性质,注,两个平稳过程当它们的互相关函数仅依赖于 时，它们才是平稳相关的。,证,性质,5,性质,6,证,性质,7,证,性质,8,证,由性质,7,得,而有两个数的几何平均值不超过它们的算术平均值得证,也是平稳过程。,其相关函数为,也是平稳过程，,其相关函数为,例,1,设有两个随机过程,其中,U,和,V,是均值都为零、方差都为 的不相关随机变量，,试讨论它们的平稳性，并求自相关函数与互相关函数。,因为,解,所以,同样可求得,第三节 平稳正态过程与正交增量过程,一、,平稳正态过程,则称 为平稳正态过程。,证 由于正态过程 的,n,维特征函数为,由过程的平稳性得,所以对任一 ，有,注,平稳正态过程一定是严平稳过程。,即特征函数不因时间推移而改变。,由特征函数与分布函数的唯一确定性，必有,这表明的一切有限维分布也不随时间推移而改变，即 是一个严平稳过程。,说明,对正态过程，宽平稳过程一定是严平稳过程；严平稳过程也一定是宽平稳过程。,则 称为正交增量过程。,二、正交增量过程,证,取,其中,则有,即,所以，,同样，若 ，可得,故,第四节 遍历性定理,介绍从一次试验所获得的一个样本函数来决定随机过程的均值和自相关函数，从而就可以得到该过程的全部信息，即遍历性问题。,一、基本概念,称 为沿整个时间数轴上的时间均值；,称 为沿整个时间数轴上的时间相关函数,则称 的,均值具有遍历性,；若,则称 的,自相关函数具有遍历性；,如果 均值、相关函数都具有遍历性，则称 具有,遍历性,，或者说 是,遍历的。,解,故有,即此过程是遍历的。,例,2,研究随机过程 的遍历性,其中,Y,为随机变量，且,解,因为,Y,为随机变量，且存在有限的二阶矩，,所以,由此知 是平稳过程，,由于,不是常数,故,即 不是遍历的,.,二、遍历性定理,则,其中,证,由均方可积条件得,所以,为应用方便，化简上式,令,则,于是,定理,1,均值遍历性定理,证,由引理得,从而,故,注,可表示为,其中,定理,2,自相关函数遍历性定理,则相关函数 具有遍历性的充要条件为,三、均值函数与自相关函数的估计式,求相关函数常用的两种方法：,2.,未知 的表达形式时，用统计试验的数据求相关函数的近似值。,在实际应用中， 的表达形式常常不能给出，因此下面介绍第二种方法。,如果试验只在时间,0,，,T,上给出了 的一个样本函数，则均值和相关函数有以下近似估计式：,用上式估计,m,与 的方法，通常称为数字方法，或称均值与相关函数的测量。其具体做法如下：,根据这两个估计式，可以算出 各不同数值时相关函数的一系列近似值，从而可以作出相关函数的近似曲线。,3.,将上面的积分表示为和式,:,