计算机仿真技术基础5

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Lab of PEED,Bring Ideas Together,电力电子与电力传动实验室,Lab of PEED,Bring Ideas Together,电力电子与电力传动实验室,第,2,章 系统建模的基本方法与模型处理技术,3.,数学模型,离散时间系统是同连续时间系统相对应的，它的输入、输出均是离散时间信号。同连续时间系统一样，它的数学模型也分为四种形式。,a),差分方程,设系统的输入序列,u,(,k,),，输出序列,y,(,k,),，系统输入、输出满足,前向差分,或,后向,差分,一般的,或,(1),b),传递函数,对式,(1),两边取,Z,变换，若系统的初始条件为零，,y,(,k,)=0,，,u,(,k,)=0,，,k,0,，,则可得,其中,Y,(,z,),是序列,y,(,k,),的,z,变换；,U,(,k,),是序列,u,(,k,),的,z,变换。,系统的离散传递函数为,(2),c),状态方程,前面列出的模型只描述了系统的输入序列和输出序列之间的关系，为了进行仿真，通常要采用系统的内部模型，即离散状态空间模型。通常引进状态变量序列,x,(,k,),，构造系统的状态空间,模型。一般的形式为,(3),d),结构图,离散系统的结构图表示和连续系统的相似，只要将每一个方框图内的连续系统的传递函数,s,换成离散系统的,z,函数即可。,2.2.4,采样系统的数学模型,随着计算机科学与技术的发展，人们不仅采用数字计算机而且利用计算机进行控制系统的分析与设计，形成数字控制系统（或计算机控制系统），其控制器是由数字计算机组成的。它的输入变量和控制变量只是在采样点（时刻）取值的间断的脉冲序列信号，描述它的数学模型是离散的,差分方程,或离散状态方程；而被控对现象是连续的，其数学模型是,连续时间模型,，所以整个系统实际是一个,连续,离散混合系统,。它主要有连续的控制对象、离散的控制器、采样器和保持器等几个环节组成，这就是采样系统的典型形式。,描述采样系统的模型就是连续,离散混合模型，采样系统的框图如图,1,所示。采样控制系统里，采样开关和保持器是作为物理实体存在的。,数 字,控制器,保持器,控制对象,r,(,t,),e,(,t,),T,e,(,kT,),T,u,(,kT,),u,(,t,),y,(,t,),数字控制器把系统的模拟信号,e,(,t,),经过采样器及,A/D,转换器变成计算机可以接受的数字信号，经过计算机处理以后以数字量输出，再经过,D/A,转换器变成模拟量输入到被控对象。一般地，,D/A,转换器要将计算机第,k,次的输出保持一段时间，直到计算机第,k,+1,次计算结果给它以后，其值才改变，因此通常把,D/A,转换器看成零阶保持器。,严格地来讲，,A/D,转换器、计算机处理器、,D/A,转换器这三者并不是同步并行地进行工作，而是一种串行流水的工作方式，通常三者完成各自的任务所花费的时间并不严格相等，但如果三个时间的总和与采样周期,T,相比可以忽略不计时，一般就认为数字控制器对控制信号的处理是瞬时完成的，采样开关是同步进行的，如果要考虑完成任务的时间的话，可以在系统中增加一个纯滞后环节。显然,D/A,转换的作用相当于一个零阶的信号重构器。,我们如果将连续的控制对象同保持器一起进行离散化，那么采样系统就简化为离散系统，采样系统的数学模型可以采用离散系统的四种数学模型表示 。,详细的内容会在采样控制系统仿真一节中介绍。,2.3,非线性模型的线性化处理,在实际工作中，,纯粹的线性系统几乎是不存在的,，说一个物理系统是线性的，实际上是看它的某些主要物理性能可以充分精确地用一个线性模型加以描述而已。所谓“充分精确”是指实际系统与理想的线性系统之间的差别，相对于所研究的问题而言，已经小到忽略不计的程度。,由于非线性模型的性质一般比线性模型的性质复杂的多，所以工程上常常用线性的关系近似地代替非线性关系。,在进行模型线性化处理时，一般把受控量与输入量之间的函数关系分成两类：一类函数的函数值与各阶导数值都是连续的，至少在工作范围内是连续的，称这类函数是光滑的，,光滑函数,的非线性是不严重的非线性，或可以在一个小的范围内,用线性函数来近似,；另一类函数是,不光滑函数,，不光滑函数是严重的非线性，一般来说不能用线性函数来近似，而只能视系统的物理性质来,采取特定的线性化方法。,2.3.1,微偏线性化方法,1.,线性化的基本概念,所谓非线性数学模型的线性化就是对一个非线性系统的数学模型找出其稳定的平衡点，如果在工作过程中，代表系统属性的各物理量只在该平衡点附近产生微小的变化，,非线性系统模型就能够以此平衡点为基础，表示成一个线性模型，关于线性系统的控制理论都能适用于该模型。,这便是自动控制理论里关于小偏差线性化方法或称增量线性化方法的概念。,2.,非线性数学模型的线性化的基本方法,对于非线性系统，当系统变量偏离工作点的偏差值很小时，由级数理论可知，若变量在给定的工作区间内其各阶导数存在，便可在给定工作点的邻域内将非线性特性展开为泰勒级数，当偏差的范围很小时，可以忽略级数中偏差的高次项，得到只包含偏差的一次项的线性方程。,对于光滑函数,f,(,x,),，常用微偏线性化的方法进行线性化处理，把,f,(,x,),在,x,0,处展开成,taylor,级数，如式,(1),所示：,当,充分小的时候，式,(1),可以写成,或,(1),(2),式,(2),是一个线性模型，在工程上常常把,函数近似地当作光滑函数，在工作点处求函数的微分，完成线性化。由于是在工作点附近小范围内进行的，因而这样的线性化也被称为增量线性化或微偏线性化。,都连续的,函数,y,=,f,(,x,),在工作点,(,x,0,，,y,0,),处的微分是,把,d,x,、,d,y,改写成,x,、,y,就可以得到式,(2),，完成函数,y,=,f,(,x,),的微偏线性化。,只要,对多变量非线性模型可以做类似的处理。对多变量非线性系统函数,，把它在工作点,成,taylor,级数可以得到,处展开,就可以把函数进行微偏线性化。,3.,求线性化微分方程的步骤,(1),按物理和化学定律，列出系统的原始方程式，确定平衡点处各变量的数值。,(2),找出原始方程式中间变量与其它因素的关系，若为非线性函数，在原平衡点邻域内，各阶导数存在并且是唯一的，则可进行线性化处理。,(3),将非线性特性展开为泰勒级数，忽略偏差量的高次项，留下一次项，求出它的系数值。,(4),消去中间变量，在原始方程式中，将各变量用平衡点的值加偏差量来表示。,4.,微偏线性化的几何意义,在希望的工作点用切线方程来近似代替曲线方程，是微偏线性化方法的几何含义,例,1,将下面的非线性系统在平衡点附近线性化。,其中,，输入,u,为常数。,1.,在线性化之前，首先需要确定平衡点的值。因为是,，得到,解：,平衡点，所以,2.,将非线性特性展开为泰勒级数,忽略偏差量的高次项,留下一次项，求出它的系数值。,3.,将平衡点带入增量方程中,4.,写成标准的状态方程,其中,2.4,高阶模型的降阶处理,在系统分析、设计和仿真中，常常会遇到一些复杂系统，这些系统的状态变量很多，阶次很高。例如电力系统，研究电磁暂态时的发电机系统等。,对于高阶系统进行仿真或设计是很麻烦的，从仿真的角度来讲，高阶系统的仿真要占用较多的内存和机时。从系统设计的角度来看，高阶系统的控制器往往十分复杂，有的甚至是不可能实现的。因此需要对高阶系统进行简化降阶，使其变得比较易于计算机和工程上实现，同时又要能在一定的精度范围内表现原系统的特性。,所谓的模型简化，就是说为高阶复杂的系统准备一个低阶的近似模型，它在计算上、分析上都比原来的高阶系统模型简单，而且还可以提供关于原系统的足够多的信息。,衡量一个模型的简化方法的可行性通常有四条标准：准确性、稳定性、简便型和灵活性。,准确性：,要求简化的模型与原型的主要特征一致，如主导极点一致，静态增益一致，频率响应与时间响应基本一致等。,稳定性：,要求简化的模型的稳定性与原型一致，而且具有相近的稳定裕量。,简便性：,要求从原型获得简化模型的过程简单,计算量小。,灵活性：,要求根据实际情况方便地进行调整，并得出所有侧重的简化模型。,通常以上几个要求是难以同时满足的，有的方法准确性好，但计算量大；有的计算方便，但未必能保证稳定性等等，在实际中往往要综合考虑才行。,一般模型的简化技术分为两大类：一类是在状态空间模型上进行简化，称为时域模型简化法，另一类是在传递函数模型上进行简化，称为频域简化法。具体的简化方法在近几年不断涌现，在工程实际中都有应用。,2.5,连续系统模型的离散化处理,在前面介绍采样系统的数学模型时，已经介绍了数字控制系统的模型。在仿真时可以先将连续的数学模型进行离散化得到离散的数学模型，然后再进行仿真。进行的每一步计算都是以这个离散的模型为基础的，原来的连续系统的模型不再参与计算，这些结构上比较简单的离散系统，比较便于在计算机上求解。,系 统,仿真模型建立,仿真实验,建模,模 型,计算机,连续系统数学模型,离散系统数学模型,S,域传递函数,Z,域传递函数,微分方程,差分方程,连续系统状态方程,离散系统状态方程,连续系统结构图,离散系统结构图,基本思想,:,传递函数是控制工程领域中应用最为广泛的模型描述形式。对于给定的函数,G,(,s,),，设法找到,s,域到,z,域的某种映射关系，它将,s,域的变量,s,映射到,z,平面上，由此得到与连续系统传递函数,G,(,s,),相对应的离散传递函数,G,(,z,),。,2.5.1,替换法,即首先求出,，然后直接把它带入,就可以得出,进而根据,G,(,z,),由,Z,反变换求得系统的时域离散模型,差分方程，据此便可以进行快速求解。,S,域传递函数,Z,域传递函数,S=,f,(,Z,),根据,Z,变换定义，可得,S,域到,Z,域的最基本的映射关系是,其中,T,为采样周期。,1.,简单替换法,为了求出,的函数关系，让我们先从传递函数,开始。,将,展开成部分分式，设无重极点，则,因为上式右侧各项具有相同的形式，所以只研究其中一项的转换对,G,(,s,),转换为,G,(z,),就具有普遍的意义。,（,1,）,（,2,）,设,这个传递函数意味着模拟输入,u(t,),和输出,y(t,),之间有如下关系。即,用,便可写出与上式相联系的差分方程,（,3,）,（,4,）,（,5,）,t,y,(,t,),n,n+,1,y,(,n,),y,(,n+,1),T,方程两边取,Z,变换，并进行整理得,进一步得,比较,G,(,s,),与,G,(,z,),如果,G,(,s,),中的,则,简单替换法,（,Euler,法）,（,6,）,（,7,）,（,8,）,由,(5),式,可得,（,9,）,由,(4),式,（,10,）,可得,对比,(9),式、,(10),式可见简单替换法的几何意义为,几何意义,t,n,n+,1,T,例,1.,已知二阶系统的传递函数为,用简单替换法确定它的,z,传递函数和差分方程。,解：,：做变换,得,进行,z,反变换得,2.,双线性替换法,同上对于传递函数最基本的形式,这个传递函数意味着模拟输入,u,(,t,),和输出,y,(,t,),之间有如下关系。即,利用,（,1,）,（,2,）,t,y,(,t,),n,n+,1,y,(,n,),y,(,n+,1),T,y,(,n+,1)+,y,(,n,)/2,便可写出与上式相联系的差分方程,方程两边取,Z,变换，并进行整理得,进一步得,比较,G,(,s,),与,G,(,z,),可知,双线性,替换法,（,Tustin,变换,）,如果,则,（,3,）,（,4,）,（,5,）,（,6,）,几何意义,由,(3),式,得,（,7,）,由,(2),式,（,8,）,可得,对比,(7),式、,(8),式可见简单替换法的几何意义为,t,n,n+,1,T,这一变换也可以由下面的关系直接推得,例,2.,利用,Tustin,变化求上例中的二阶系统的差分模型。,原系统为,则,进行反变换得到相应的差分模型,3.,根匹配法,由控制理论可知，连续系统的动态特性是由其传递函数的增益及零点、极点的分布情况所决定的，根匹配的基本思想就是构造一个相应于系统传递函数的离散传递函数，使两者的零点、极点相匹配，并且两者具有相同的终态响值，,具体的做法是,假定线性系统的传递函数为,构造离散系统的传递函数为,(1),(2),其中，,满足某种匹配关系,将,s,平面上的零、极点映射到,z,平面上）,是因为当,nm,时，根据经典的根轨迹法可知，此时,G,(,s,),存在,n-m,个位于无穷远点的零点，可以认为,n-m,个无穷远零点位于负实轴上的无穷远处，则根据映射关系可知在,z,平面上必须再配,n-m,个位于原点的零点；,Kz,是根据,G,(,z,),与,G,(,s,),的终值相同的条件而确定的增益。,显然，按照上述思想构造的离散模型不仅具有良好的算法稳定性，而且保持了原系统的动态特性。,（利用关系式,如上所述，实现动态匹配往往从以下几个方面加以考虑：,G,(,z,),与,G,(,s,),具有相同数目的极点和零点；,G,(,z,),具有与,G,(,s,),的极点、零点相匹配的极点和零点；,G,(,z,),具有与,G,(,s,),的终值相匹配的终值,调节相位，使,G,(,z,),与,G,(,s,),的动态响应达到最佳匹配。,一般来说，在做系统的离散化时首先要假设原连续系统满足以下条件：,系统是线性的；系统必须是可以进行拉普拉斯变换的；系统必须是渐进稳定的，并满足终值定理；终值必须是非零的。然后，通过以下的步骤来进行系统的离散化：,确定连续系统的传递函数,G,(,s,),；,将,G,(,s,),写成式,(1),形式，以确定零、极点，即,p,i,(,i,=1,2,m,),，,q,j,(,j,=1,2,n,),；,利用关系式,利用上一步求得的,z,平面上的零、极点写出离散传递函数,G,(,z,),，暂不考虑附加零点，,K,z,待定；,将,s,平面上的零、极点映射到,z,平面上；,4.,确定连续系统在单位阶跃作用下的终值，若对单位阶跃信号的响应终值为零，则考虑其它形式的典型输入函数；,5.,确定离散系统在典型信号（与第,4,步中使用的信号形式完全相同）作用下的终值；,6.,根据终值不变的原则，由第,4,、第,5,两步的计算结果确定第,4,步中的增益,Kz,；,7.,确定离散传递函数,G,(,z,),的附加零点，使得,G,(,z,),分子与分母阶次相匹配，并尽量保证,G,(,z,),和,G,(,s,),达到最佳匹配（附加零点后应重新确定增益,Kz,）；,8.,对第,7,步中的,G,(,z,),进行,z,逆变换，求得仿真用的差分方程。,此外，在确定离散传递函数,G,(,z,),增益,Kz,时，其取值同具体的输入信号形式有关，所以在利用最终的差分模型进行仿真时，仿真模型的输入信号应同求解,Kz,时的输入函数保持匹配，否则有可能使仿真结果产生较大的误差。,按照上述步骤求得的差分方程不仅是稳定的，而且也是精确的。,例,3.,已知一阶系统,差分方程模型,。,试求其仿真差分,3.,将,p,1,映射到,z,平面上，得,1.,传递函数,2,.G,(,s,),有一个极点,4.,写出离散传递函数,5.,求连续系统的单位阶跃响应的终值,6.,确定离散系统单位阶跃响应的终值,7.,根据终值相等的原则，得,得到，,8.,设附加零点在原点，则,9.,确定差分模型,进行,z,逆变换得,