弯曲内力分析 材料力学

河南理工大学土木工程学院,材料,力学,第四章 弯曲内力,材 料力学,第四章 弯曲内力,河南理工大学土木工程学院力学系,4-1,基本概念及工程实例,4-3,剪力方程和弯矩方程,剪力图和弯矩图,4-2,梁的剪力和弯矩,4-5,平面刚架和曲杆的内力图,4-4,剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系,第四章 弯曲内力,一,.,工程实例,4-1,基本概念及工程实例,工厂厂房的天车大梁：,F,F,火车的轮轴：,F,F,F,F,楼房的横梁：,阳台的挑梁：,2.,平面弯曲：,几何特点：梁有一个纵向对称面,受力特点：外力作用在对称面内,变形特点：梁的轴线变形后成为对称面内的平面,曲线,二、基本概念,1,、梁,以弯曲变形为主的杆件,A,B,对称轴,纵向对称面,梁变形后的轴线与外力在同一平面内,梁的轴线,R,A,F,1,F,2,R,B,(3,） 支座的类型,3,、梁的力学模型的简化,(1,） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁,。,(2,）载荷类型,集中力,集中力偶,分布载荷,可动铰支座,F,A,A,A,A,A,固定铰支座,固定端,A,A,A,F,Ay,A,F,Ax,F,y,F,x,M,悬臂梁,简支梁,外伸梁,4,、静定梁的基本形式,一、内力计算,引例 已知 如图，,F,，,a,，,l,.,求 距,A,端,x,处截面上内力,.,解,:,求支座反力,B,A,a,l,F,R,A,X,A,R,B,A,B,F,4-2,梁的剪力和弯矩,求内力,截面法,弯曲构件内力,剪力,弯矩,M,R,A,X,A,R,B,A,B,F,m,m,x,R,A,F,S,C,F,R,B,F,S,C,M,F,S,d,x,m,m,F,S,+,1,、剪力符号,使,d,x,微段有 左端向上而右端向下,的相对错,动时,横截面,m,-,m,上的剪力为正。或使,d,x,微段,有顺时针转动趋势的剪力为正,.,二、内力的符号规定,使,d,x,微段有左端向下而右端向上的相对错,动时，横截面,m,-,m,上的剪力为负,.,或使,d,x,微段,有逆时针转动趋势的剪力为负,.,d,x,m,m,F,S,F,S,-,当,d,x,微段的弯曲下凸（即该段的下半部受拉 ）时,，,横截面,m,-,m,上的弯矩为,正,；,2,、弯矩符号,m,m,+,（受拉）,M,M,当,d,x,微段的弯曲上凸（即该段的下半部受拉压）时,，,横截面,m,-,m,上的弯矩为,负,m,m,（受压）,M,M,-,解,(1),求梁的支反力,R,A,和,R,B,例题,1,图示梁,的计算简图。已知,F,1,、,F,2,，,且,F,2,F,1,，,尺寸,a,、,b,、,c,和,l,亦均为已知,.,试求梁在,E,点处横截面处,的剪力和弯矩,.,R,B,B,E,D,A,a,b,c,l,C,F,1,F,2,R,A,记,E,截面处的剪力为,F,S,E,和弯矩,M,E,，且假设,F,S,E,和弯矩,M,E,的指向和转向均为正值,.,解得,R,B,B,E,D,A,a,b,c,l,C,F,1,F,2,R,A,M,E,A,E,C,F,S,E,R,A,F,1,a,取右段为研究对象,解得,R,B,B,E,D,A,a,b,c,l,C,F,1,F,2,R,A,R,B,b- c,D,l- c,B,E,F,S,E,F,2,M,E,左上右下剪力为正,三、计算规律,1,、剪力,左顺右逆弯矩为正。,2,、弯矩,1.2kN/m,0.8kN,A,B,1.5m,1.5m,3m,2m,1.5m,1,1,2,2,例,2.,梁,1-1,、,2-2,截面处的内力。,解,：确定支座反力,R,A,R,B,1,-1,截面左段右侧截面,：,2,-2,截面右段左侧截面：,解,例题,3,求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩,.,(1,）求支座反力,R,A,=4kN,R,B,=-4kN,C,1,2,m,(2,）求,1-1,截面的内力,(3,）求,2-2,截面的内力,B,1m,2.5m,10kN.m,A,C,1,2,R,A,R,B,F,S,=,F,S,(,x,),M,=,M,(,x,),一、剪力方程和弯矩方程,用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律,，,分别称作剪力方程和弯矩方程,.,1,、剪力方程,2,、弯矩方程,4-3,剪力方程和弯矩方程,剪力图和弯矩图,弯矩图为正值画在,x,轴上侧，负值画在,x,轴下侧,二、剪力图和弯矩图,剪力图为正值画在,x,轴上侧，负值画在,x,轴下侧,以平行于梁轴的横坐标,x,表示横截面的位置，以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩,.,这种图线分别称为剪力图和弯矩图,x,F,s(,x,),F,s,图的坐标系,O,M,图的坐标系,x,O,M,(,x,),例题,4,如图,所示的悬臂梁在自由端受集中荷载,F,作用,试作此梁的剪力图和弯矩图,.,B,A,F,l,x,解,坐标如图，,梁的,剪力方程,和弯矩方程为,F,S,x,F,Fl,x,M,例题,5,图,示的简支梁,在全梁上受集度为,q,的均布荷载用,.,试作此梁的的剪力图和弯矩图,.,解,(1),求支反力,l,q,R,A,R,B,A,B,x,(2,）列剪力方程和弯矩方程,.,+,ql,/2,ql,/2,B,l,q,R,A,A,x,R,B,+,l,/2,剪力为零处弯矩值最大,受力对称 ，剪力图反对称，弯矩图正对称。,解,(1),求梁的支反力,例题,6,图,示的简支梁在,C,点处受集中荷载,P,作用,.,试作此梁的剪力图和弯矩图,.,l,F,A,B,C,a,b,R,A,R,B,因为,AC,段和,CB,段的内力方程不同，,所以必须分段写剪力方程和弯矩方程,.,将坐标原点取在梁的左端,集中力作用处，剪力值,(,图,),有突变,.,突变,值等于集中力,F,，,弯矩图形成尖角，该处弯矩值最大,.,x,x,l,F,A,B,C,a,b,R,A,R,B,+,+,思考：,移动荷载,F,移动到什么,位置,，,梁,有,最大弯矩,？,A,B,F,l,x,解,求梁的支反力,例题,7,图,示的简支梁在,C,点处受矩为,m,的集中力偶作用,.,试作此梁的的剪力图和弯矩图,.,将坐标原点取在梁的左端，,列出剪力方程和弯矩方程：,R,B,l,A,B,C,a,b,R,A,m,AC,段,CB,段,弯矩方程,R,B,x,x,l,A,B,C,a,b,R,A,m,(2),剪力方程,(3),F,S,+,M,梁上集中力偶作用处的弯矩值,(,图,),发生突变，其突变值等于集中力偶矩的数值,.,此处剪力,图没有变化,.,设梁上作用有任意分布荷载,其集度,一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系,q,=,q,(,x,),规定,q,(,x,),向上为正,.,将,x,轴的坐标原点取在,梁的左端,.,x,y,q,(,x,),F,m,4-4,剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系,x,y,q,(,x,),F,m,F,s(,x,),M,(,x,),F,s(x)+d,F,s(,x,),M,(,x,)+d,M,(,x,),假想地用坐标为,x,和,x,+d,x,的,两横截面,m,-,m,和,n,-,n,从梁中取出,d,x,一段,.,m,m,n,n,q,(,x,),C,x,+d,x,截面处 则分别为,F,S,(,x,)+dF,S,(,x,) ,M,(x)+d,M,(,x,),.,由于,d,x,很小，略去,q,(,x,),沿,d,x,的变化,.,m,-,m,截面上内力为,F,S,(,x,) ,M,(,x,),x,m,m,n,n,d,x,F,s(,x,),M,(,x,),F,s(x)+d,F,s(,x,),M,(,x,)+d,M,(,x,),m,m,n,n,q,(,x,),C,写出平衡方程,得到,略去二阶无穷小量即得,二、,q,(,x,),、,F,s,(,x,),图、,M,（,x,）图三者间的关系,1,、梁上无荷载区段，即,q,(,x,) = 0,剪力图为一条水平直线,.,弯矩图为一斜直线,.,x,F,s(,x,),O,x,O,M,(,x,),O,M,(,x,),x,M,(,x,),图为二次抛物线,.,F,S,(,x,),图为斜直线,.,2,、,q,(,x,) =,C,（,常数）,x,O,M,(,x,),q,(,x,) 0,x,O,M,(,x,),盾对着矛,3,、梁上最大弯矩,M,max,可能发生在,F,S,(,x,) = 0,的截面上,;,或发生在集中力所在的截面上；或集中力偶作用处；,最大剪力可能发生在,集中力所在的截面上；或分布载荷发生变化的区段上,.,4,、在集中力作用处剪力图有突变，其突变值等于集中力的值,.,弯矩图有转折,.,5,、在集中力偶作用处弯矩图有突变,，,其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化,.,三、分布荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系,若在,a,和,b,两个横截面,之,间无集中力,，,则,a,b,q,(,x,),若横截面,A,B,间无集中力偶作用则得,a,b,q,(,x,),四、快速作图法,微分关系定性,积分关系定量,辅以突变规律,例题,8,一简支梁受两个,力,F,作用，如图所示。有关尺寸如图所示,.,试用本节所述关系作此梁的剪力图和弯矩图,.,解 求梁的支反力,画剪力图和弯矩图,F,F,a,a,C,D,A,B,+,F. a,M,+,F,F,F,S,例题,9,一简支梁受均布荷,载作用，其集度,q,=100kN,/m ,如图 所示。试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图。,解 梁的支反力,R,A,R,B,E,q,A,B,C,D,0.2,1.6,1,2,+,80kN,80kN,F,S,kN.m,+,16,16,48,M,画剪力图和弯矩图,F,F,a,a,C,D,A,B,a,R,A,R,B,例题,10,一简支梁受力,如图 所示，试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图,.,解：支反力为,-,+,+,+,-,结构对称、受力反对称，则,剪力图正对称，弯矩图反对称。,A,B,2/3qa,2,1/3qa,2,C,D,1/3qa,2,+,+,-,A,B,qa,a,a,a,C,D,qa,2,2/3qa,1/3qa,A,B,+,2/3qa,1/3qa,C,D,-,例,11,：,利用微分关系画剪力弯矩图,A,B,a/2,-,-,+,qa,C,qa,A,B,5/4qa,2,qa,2,qa,2,C,-,例,12,：,利用微分关系,快速,画剪力弯矩图,qa,qa,2,2q,a,a,A,C,B,qa,1.41,例,13,：,外伸梁,AB,承受荷载如图所示，作该梁的,F,S,M,图。,解：,1,、求支反力,2,、判断各段,F,S,、,M,图形状：,CA,和,DB,段：,q,=0,，,F,S,图为水平线，,M,图为斜直线。,AD,段：,q,0,，,F,S,图为向下斜直线，,M,图为上凸抛物线。,D,A,B,C,3,、先确定各分段点的,F,S,、,M,值，用相应形状的线条连接。,3.8,3,F,S,+,_,_,(kN),4.2,E,x=2.1m,F,A,F,B,A,B,C,平面刚架是由在同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端,相互刚性连结而组成的结构,.,一、平面刚架的内力图,4-6,平面刚架和曲杆的内力,图,弯矩图,画在各杆的受压側，不注明正，负号,.,剪力图及轴力图,可画在刚架轴线的任一側,(,通常正值画在,刚架的外側,).,注明正，负号,.,2,、内力图符号的规定,1,、平面刚架的内力,剪力,；,弯矩,；,轴力。,例题,14,图示为下端固定的刚架,.,在其轴线平面内受集中力,F,1,和,F,2,作用，作此刚架的弯矩图和轴力图,.,a,l,F,1,F,2,A,B,C,解：将刚架分为,CB,，,AB,两段,CB,段,F,N,(,x,) = 0,M,(,x,) = -,F,1,x,(0,x,a,),F,S,(,x,) =,F,1,(+) (0,x,a,),M,(,x,),F,N,(,x,),F,S,(,x,),C,x,F,1,x,a,l,F,1,F,2,A,B,C,F,S,(,x,),C,B,a,F,1,F,2,F,N,(,x,),M,(,x,),x,BA,段,F,N,(,x,) =,F,1,（,）,( 0,x,l,),M,(,x,) = -,F,1,a= -F,2,x,( 0,x,l,),F,S,(,x,) =,F,2,(+) ( 0,x,l,),CB,段,F,N,(,x,)=,0,BA,段,F,N,(,x,) =,F,1,（,）,F,N,图,F,1,|,C,a,l,F,1,F,2,A,B,CB,段,BA,段,F,S,(,x,) =,F,2,(+),F,S,(,x,) =,F,1,(+),F,s,图,F,1,+,F,2,+,C,a,l,F,1,F,2,A,B,M,图,F,1,a,F,1,a,F,1,a,+,F,2,l,CB,段,M,(,x,)=,F,1,x,(0,x,a,),BA,段,M,(,x,) = -F,1,a= -,F,2,x,(0,x,l,),水平段的画法同直梁相同，竖直段只需顺时针转过,90,就与直梁相同。,C,a,1.5,a,F,F,A,B,x,y,Fa,Fa,0.5,Fa,例,作图示刚架的弯矩图。,解：,弯矩图如图所示。,二、平面曲杆,轴力 ：引起拉伸的轴力为正；,弯矩：使曲杆的曲率增加（即外侧受拉）的弯矩为正。,剪力：对所考虑的一端曲杆内一点取矩 产生顺时针转动,趋势的剪力为正；,1,、平面曲杆,轴线为一平面曲线的杆件。内力情况及绘制方法与平面刚架相同。,2,、内力符号的确定,解：写出曲杆的内力方程,例,16,作出该曲杆的内力图。,F,N,F,S,M,F a,53.13,例,17,作出该曲杆的弯矩图。,解：,例,15,已知,:,如图所示,F,及,R,.,试绘制,F,S,、,M,、,F,N,图,.,解：建立极坐标,O,为极点,OB,极轴,q,表示截面,m,m,的位置。,q,m,m,x,O,F,R,A,B,O,+,F,S,图,A,B,O,M,图,2,FR,O,F,N,图,F,F,+,x,O,F,R,q,m,m,A,B,Any question ?,本次课到此结束,谢谢!,