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中国药科大学 数学教研室 杨访,第二节 可分离变量方程,本节概要,可分离变量方程是可积方程的最基本形式，,其它类型的可积分方程最终都是化为可分离变量,方程求解的，掌握可分离变量方程解的存在性理,论是理解用积分法解微分方程的基础。,0微分方程求解概述,求解微分方程的前提是方程必需有解，从微积分讨,论角度考虑，还希望方程的解能够由初等函数表示，那,些能由初等函数表示的解称为初等解,(,公式解,),。,遗憾的是，一般的微分方程未必有初等解，即便对,最简单的一阶方程也是如此。,通过对各类微分方程的研究，,人们找到了一些方程，它们的解,可由初等函数表示，这便是微,分方程求解要讨论的内容。,1. 微分方程解的存在性问题,可由初等方法求解的微分方程一般有三类,：,从运算角度讲，解微分方程就是设法消去方程中导,数记号，使其化为仅含未知函数,y,及自变量,x,的式子。,由于积分运算是导数运算的逆运算，消去导数记号,最直接的方法就是积分。这种能够通过,积分运算消去方程中导数记号并求出,通解的方程称为,可积型的方程,。,可积型方程通常是一阶方程,F,(,x,y,y,),=,0,中的某些特殊形式。,(1),可积型方程,2. 可解方程的类型,(2),可降阶型方程,可降阶型方程指是一类高阶方程。高阶方程的求解,一般比一阶方程困难得多，所以对于高阶方程的讨论通,常不是直接考虑求其通解，而是考虑设法通过变量代换,法将其转化为低阶方程再求解，这一过程称为降阶。,并非任何高阶的方程都可降阶，,只有当其满足一定条件时才有可能。,这种可通过降阶法化为低阶方程的,高阶方程称为,可降阶方程,。,高阶方程的讨论就是研究哪些方,程可以降阶及如何进行降阶的方法。,(3),线性方程,若方程中所含未知函数及其导数都是一次的，称这,类方程为线性微分方程。,线性微分方程具有良好的代数性质，这些性质使得,方程的解具有简单的结构，甚至可不必通过积分，只需,用代数方法便可求得其通解。,正是由于这一特点，使得讨论,线性微分方程解的结构及求解的代,数方法成为研究微分方程求解的又,一条途径。,一可分离变量的微分方程,求解微分方程的基础是一阶方程的求解。对可积型,方程，求解的方法就是设法通过积分消去方程中的导数,记号,y,为能够对未知函数的导数进行积分，一阶微分,方程,F,(,x,y,y,),=,0,必需满足两个条件：,导数必须是可解出的,由方程,F,(,x,y,y,),=,0,可解出导数,y,，即方程可化,为如下形式：,y,=,f,(,x,y,),或,P,(,x,y,),d,x,+,Q,(,x,y,),d,y,=,0,.,(1),一阶可积型方程的特点,1. 可分离变量方程的概念,导数表达式中的二元函数必须是变量可分离的,由于不定积分计算只能对单变量函数进行，而由,一,阶,方程,F,(,x,y,y,),=,0,解出的导数,y,一般是,x,、,y,的二,元函数，即导数可解出的方程的一般形式为：,y,= f,(,x,y,),或,P,(,x,y,),d,x,+,Q,(,x,y,),d,y,=,0,.,只有当,f,(,x,y,),或,P,(,x,y,),、,Q,(,x,y,),可表为单变量,函数或可分离变量时，才能对其进行积分，即它们必需,可化为如下形式：,f,(,x,y,),=,h,(,x,),/,g,(,y,),，,P,(,x,y,),=,h,1,(,x,),/,g,1,(,y,),，,Q,(,x,y,),=,h,2,(,x,),/,g,2,(,y,),.,由上分析，对一阶方程,F,(,x,y,y,),=,0,，,可直接由,积分法求解的方程的一般形式,为：,y,= f,(,x,y,),=,h,(,x,),/,g,(,y,),g,(,y,),0,，,或,h,1,(,x,),g,1,(,y,),d,x,+,h,2,(,x,),g,2,(,y,),d,y,=,0,，,其中,g,1,(,y,),、,h,2,(,x,),0,.,一般地，若一阶方程可写成,g,(,y,),d,y,=,f,(,x,),d,x,的形式，,就称其为可分离变量方程,。,将方,程化为这一形式的步骤称为分离变量。,(2),可分离变量方程的一般形式,2. 可分离变量方程的解法及意义,(1),可分离变量方程解的存在性及解法,对于给定的可分离变量方程,y,=,h,(,x,),/,g,(,y,),g,(,y,),0,，,考虑方程的求解。,分离变量有,g,(,y,),d,y,=,f,(,x,),d,x,.,若,f,(,x,),、,g,(,y,),都是,I,上的连续函数,，,则它们的原,函数都存在。,设它们的原函数分别为,F,(,x,),、,G,(,y,),，,即有,f,(,x,),d,x,=,F,(,x,),+,C,1,，,g,(,y,),d,y,=,G,(,y,),+,C,2,.,在方程,g,(,y,),d,y,=,f,(,x,),d,x,两边积分有,G,(,y,),=,g,(,y,),d,y,=,f,(,x,),d,x,= F,(,x,),+,C,.,可以证明，由二元,方程,U,(,x,y,),=,G,(,y,),-,F,(,x,),=,C,.,所确定的隐函数,y,=,y,(,x,),就是该可分离变量,方程的解。,因此,二元,方程,U,(,x,y,),=,G,(,y,),-,F,(,x,),=,C,又称为,该微分,方程一个隐式解。,因为,二元,方程,G,(,y,),-,F,(,x,),=,C,含有一个任意常数,所以它又是,可分离变量,方程,g,(,y,),d,y,=,f,(,x,),d,x,的,隐式,通解。,由上讨论可得如下结果：,在函数,f,(,x,),g,(,y,),连续,，,且,g,(,y,),0,的条件下,，,可,分离变量方程,g,(,y,),d,y,=,f,(,x,),d,x,一定有解,。,可分离变量方程的通解可直接由积分法求得，其通解,形式为,G,(,y,),=,g,(,y,),d,y =,f,(,x,),d,x,=,F,(,x,),+,C,.,可分离变量方程是唯一可直接由积分方法求解的一,阶常微分方程形式,。,(2),可分离变量方程有解的意义,理论意义,可分离变量方程的求解步骤,判别给定方程是否为可分离变量方程,由方程,F,(,x,y,y,),=,0,解出导数,y,=,f,(,x,y,),；,考察,f,(,x,y,),是否可分离变量，即是否有,f,(,x,y,),=,h,(,x,),g,(,y,).,分离变量、积分求通解,将,可分离变量,方程写成标准形式,g,(,y,),d,y,=,f,(,x,),d,x,方程,两边积分求通解,G,(,y,),=,g,(,y,),d,y,=,f,(,x,),d,x,=,F,(,x,),+,C,.,例,：,求方程,y,-,x,y,=,a,(,y,2,+,y,),的通解。,由于微分方程并非总是可,解的，可解方程只是某些具有特定,形式的方程。因此，考虑微分方程,的求解首先应注意判别其是属于某,种可解方程的形式或类型，再根据,方程类型采取相应解法。,分析,所谓判别方程类型通常就是观察或改写给定方程,，,使其符合某种可积方程的标准形式。,由给定方程,y,-,x,y,=,a,(,y,2,+,y,),解出导数，即对方,程作恒等变形有,(,x,+,a,),y,=,y,-,a,y,2,.,由此可看出给定方程为可分离变量方程。,判别方程类型，采取相应解法,判别方程类型,分离变量并积分,分离变量有,两边积分有,整理积分结果、写出方程通解,由上计算求得,即有,记：,C =,C,1,C,2,，,求得方程的通解为,例,：,求方程,x,2,y,d,x,=,(,1,-,y,2,-,x,2,y,2,+ x,2,),d,y,满足初始条,件,y,(,0,),=,1,的特解,。,这是个微分方程初值问题，为求方程满足初始,条件的特解应先求其通解,。,方程由对称形式,P,(,x,y,),d,x,+,Q,(,x,y,),d,y,=,0,给出,相应地考察,d,x,d,y,的系数,函数可否分离变量。,由于,d,x,的系数,函数显然可分离变量，故关键考察,d,y,的系数。,1,-,y,2,-,x,2,y,2,+,x,2,=,(,1,-,y,2,),-,x,2,(,y,2,-,1,),=,(,1,-,y,2,)(,x,2,+,1,),故给定方程为可分离变量方程。,判别方程类型,判别方程类型，采取相应解法,分析,将给定方程改写成,x,2,y,d,x,=,(,1,-,y,2,)(,x,2,+,1,),d,y,，,分离变量有,由于微分方程计算目的是求方程通解，故对可分离,变量方程，在可能情况下，可尽量采用凑微分法求解。,方程两边分别凑微分有,分离变量并凑微分,于是原微分方程等价于如下方程,由微分的性质有,由可分离变量解的存在性讨论知，,上式等价于原微分方程，且由于其,含有一个任意常数，因而它就,是方程的隐式通解。,代入初始条件求特解,将初始条件,y,(,0,),=,1,代入方程通解有,即有,0,-,arctan,0,=,ln1,-,1,/,2 =,C,，,故解得方程满足初始,条件的特解为,例,：,由物理学知道，物体冷却的速率与当时的物体温度,和周围环境温度之差成正比。今把,100,C,的沸水注入,杯中，放在室温为,20,C,的环境中自然冷却，,5 min,后,测得水温为,60,C .,求水温,u,(,C,),与时间,t,(,min,),之间,的函数关系。,由于物理学定律所描述的是,物体冷却速率与相,关因素的关系,，因此直接建立,水温,u,与时间,t,之间的函,数关系是不便的。,为此考虑先,建立,水温,冷却速率,与相关因素的微分方程,，再通过求,解,微分方程导出所求,函数关系式。,分析,根据问题的物理意义布列方程并求解,设经,t,min,后,水温为,u,C,，则水温变化速率为,已知水温冷却速度与温差成正比，设比例系数为,k,(,k,0,),.,根据物理条件有,且满足,t,=,0,时，,u,=,100,，,t,=,5,时，,u,=,60,.,容易看出，这是个可分离变量方程的初值问题。,求出此初值问题的解便可求得,水温,u,与时间,t,的函,数关系式,u,=,u,(,t,),.,分离变量有,由于此,冷却过程的水温总不会低于,室温，即总有,u,(,t,), 20,.,于是在,方程两边积分可求得其通解为,ln,(,u,-,20,),=,-,k,t,+,C,1,.,即,u,-,20,=,e,-,k,t,+,C,1,.,记,:,C,=,e,C,1,，则有,u,=,20,+,C,e,-,k,t,.,代入条件,u,t,=,0,=,100,，解得,C,=,80,，,代入条件,u,t,=,5,=,60,，解得,于是求得所求,函数关系式为,例,：,设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成,正比,(,比例系数为,k,k,0,),，,并设降落伞脱钩时,(,t =,0,),的速度为零。,求,降落伞下落速度,与时间的函数关系。,由物理学理论知，物体的运动,是由受外力作用引起的,。为建立,降落伞,下落的速度,与时间的函数关系式，需先,分析,降落伞下落过程中的受力情况。,降落伞下落过程中受到两个力的作,用，一个是重力，一个是空气阻力。,因此其下落过程中所受外力为,F,= f,1,-,f,2,=,mg,-,k,v,.,分析,根据问题的物理意义布列方程并求解,设,降落伞下落速度为,v,(,t,),，由,降落伞下落过程中,受,力情况分析有,F,= f,1,-,f,2,=,mg,-,k,v,.,根据牛顿第二定律,于是可得函数,v,(,t,),所满足的微分方程为,且其满足条件,v,t,=,0,=,0,.,容易看出，这是个可分离变量方程的初值问题。,求出此初值问题的解便可求得,降落伞下落速度,与时,间的函数关系,v,=,v,(,t,),.,分离变量有,由于降落伞受合力,F,=,mg,-,k,v,的作用而下落，故下落速度,v,(,t,),方向与,F,方向一致，即总有,mg,-,k,v ,0,.,于是在,方程两边积分有,即,代入初始条件,v,t,=,0,=,0,，,解得：,mg,/,k,.,于是求得,降落伞下落速度,与时间的函数关系,为,由于微分方程未必总有解，因此其求解问题的讨论,通常不是寻求方程的一般解法，而是注重考察可解方程,的类型和形式，再根据其形式建立相应解法。,可分离变量方程解的存在性及可,解条件的一般性，使得一阶方程的,讨论有了一个基础平台，其它形,式的一阶方程可考虑通过变形将,其转化为可分离变量方程求解。,二齐次方程,1. 一阶微分方程的讨论方法,(1),二元齐次多项式及其性质,具有如下形式的二元多项式称为二元齐次多项式：,f,(,x,y,),=,a,x,2,+,b,x,y,+,c,y,2,二元齐次多项式具有以下性质,：,对于任意的参数,t,有,f,(,t,x,t,y,),=,a,(,t,x,),2,+,b,(,t,x,)(,t,y,),+,c,(,t,y,),2,=,t,2,(,a,x,2,+,b,x,y,+,c,y,2,),=,t,2,f,(,x,y,),2. 齐次函数的概念,若对于任意参数,t,，,二元函数,f,(,x,y,),满足,f,(,t,x,t,y,),=,t,n,f,(,x,y,),，,则称,f,(,x,y,),为,n,次齐次函数,。,特别地,，,若对于任意参数,t,，,二元函数,f,(,x,y,),满足,f,(,t,x,t,y,),=,t,0,f,(,x,y,),，,则称,f,(,x,y,),为零次齐次函数,。,零次齐次函数,具有以下性质：,若,f,(,x,y,),为零次齐次函数，则,存在一元函数,(,u,),或,(,v,),，,使得,(2),齐次函数的概念及零齐函数的性质,零次齐次函数上述性质指出：,二元零次齐次函数总可表为一元函,数。,因为,f,(,t,x,t,y,),=,f,(,x,y,),，,取,t,= 1,/,x,，,则有,f,(,x,y,),=,f,(,t,x,t,y,),性质说明,(1),齐次方程的概念,设一阶方程以导数式给出，即,若,f,(,x,y,),为零次齐次函数，则称其为,齐次方程或零齐方程。,3. 齐次方程的求解,由定义可知，对于对称式一阶方程,P,(,x,y,),d,x,+,Q,(,x,y,),d,y,=,0,，,若,P,(,x,y,),Q,(,x,y,),为,同次齐次函数，则该,一阶方程,为,齐次方程。,因为将此对称式方程改写成导数式有,由于,P,(,x,y,),Q,(,x,y,),为,同次齐次函数，故有,即此时,f,(,x,y,),是二元零次齐次函数，因而该,对称式一,阶方程是,齐次,方程。,由零次齐次函数的性质可知，,f,(,x,y,),可表为,于是，齐次方程总可写成如下形式：,就导数式齐次方程形式,考虑其求解。,由于函数,(,y,/,x,),可看成是一元函数，故齐次方程,总可通过变量代换化为可分离变量方程求解。,(2),齐次方程的求解,作代换,u,=,y,/,x,，即,y,=,u,x,，则有,(,y,/,x,),=,(,u,),.,从而齐次方程化为,于是方程便化为了可分离变量方程。,对于此可分离变量方程形式，分离变量有,式子两边积分有,从而求得其通解为,回代原变量,u =,y,/,x,，求得原齐次方程通解为,若齐次方程为形如 的形式，其代换过,程是类似的。通过作代换,v,=,x,/,y,，便可将方程化为关于,x,v,的可分离变量方程。,对由对称式齐次方程,P,(,x,y,),d,x,+,Q,(,x,y,),d,y,=,0,其求解过程也是类似的。,例,：,求方程,的通解,。,求解微分方程首先应注意,判别方程类型。,判别方程是否属于可解方程类,型一般根据该类方程的标准形式。,若方程不以标准形式给出，则,需注意通过直观先作大致判别，再,考虑将其化为相应的标准形式以确,定方程类型。,分析,判别方程类型,本例方程 以导数式给出，注意,到方程的各项系数函数均为二次齐次多项式，因而可直,观地判断其为齐次方程。,由给定方程解出导数，将其写成齐次方程标准形式,改写方程为齐次方程的标准形式,判别方程类型，采取相应解法,作变量代换化方程为可分离变量方程,作代换,u,=,y,/,x,，即,y,=,u,x,，则有,代入方程得,分离变量有,两边积分有,u,-,ln,u,= ln,x,+,C,1,ln,ux,=,u,-,C,1,.,回代原变量,y,=,ux,，求得原齐次方程通解为,ln,y,=,y,/,x,-,C,1,，,即,y,= ,e,y,/,x,-,C,1,= ,e,-,C,1,e,y,/,x,.,记,:,C,=,e,-,C,1,，则,方程通解可写成,例,：,求方程,的通解,。,求解微分方程首先应注意判,别方程类型。,判别方程是否属于可解方程类型,一般根据该类方程的标准形式。,若方程不以标准形式给出，则需,注意通过直观先作大致判别，再考虑,将其化为相应标准式以确定方程类型。,随着可解方程类型的增多及方程形式的愈加复杂,根据直观判别会显得更为重要和适用。,分析,本例方程以微分对称式给出,注意到等式两端分母均为二次齐次多项式，因而可,直观判断其为齐次方程。,判别方程类型，采取相应解法,判别方程类型,改写方程为齐次方程的标准形式,作变量代换化方程为可分离变量方程,作代换,u,=,y,/,x,，即,y,=,u,x,，则有,从而齐次方程化为,整理得,分离变量有,计算相应积分求通解,为计算积分，先对左端的有理式作分解,比较等式两端分子求得,-,(,1,-,u,+,u,2,),=,Au,(,u,-,1,),+,Bu,(,u,-,2,),+,C,(,u,-,2,)(,u,-,1,),令,:,u,=,2,解得,A,=,-,3,/,2,，,令,:,u,=,1,解得,B,=,1,，,令,:,u,=,0,解得,C,=,1,/,2,.,方程化为,两边积分得,=,ln,x,+,ln,C,.,即有,C. P. U. Math. Dept,杨访,回代原变量,u,=,y,/,x,，求得原齐次方程的通解为,整理得,(,y,-,x,),2,=,Cy,(,y,-,2,x,),3,.,回代原变量,例,：,探照灯的聚光镜的镜面是一张旋转曲面，它的形状,由,xOy,坐标面上的一条曲线,L,绕,x,轴旋转而成。按聚光,镜性能的要求，在其旋转轴,(,x,轴,),上一点,O,处发出的一,切光线，经它反射后都与旋转轴,(,x,轴,),平行，求曲线,L,的方程。,求曲线方程实际是求未知函数。,为写出,未知函数的,关系式，需先建,立合适的坐标系并选择相应的变量。,问题条件以几何形式给出，故可先,作相应图形直观分析。由条件取光源所,在点,O,为坐标原点建立,xOy,坐标系。,分析,由图形对问题作直观分析,反射角余角,入射角余角,设,O,点发出的某条光线经,L,上一点,M,(,x,y,),反射后,是一条与,x,轴平行的直线,MS,，又设过点,M,的切线,AT,的倾角为,.,于是,求曲线,L,的方程归,结为求,点,M,(,x,y,),的坐标所,满足的,方程,。,由根据光学反射定律有,OMA,=,SMT,=,.,从而得几何关系式,AO,=,OM,根据问题的几何意义布列方程并求解,由直观建立几何关系式,过点,M,(,x,y,),作平行于,y,轴的直线,MP,交,x,轴于,P,点，,则有,AO,=,AP,-,OP,= PM,cot,-,OP,由已导出的几何关系式,AO,=,OM,有,由几何关系式导出微分方程,由于,微分方程 两端,d,x,d,y,前的系数函数均是,x,y,的一次齐次式，故该,方程是,齐次,方程。,视,y,为未知函数，将,齐次,方程写成标准形式有,这一方程形式较繁杂，为此考虑,视,x,为未知函数，,并作相应代换,v,=,x,/,y,，即,x,=,yv,，于是有,d,x,=,v,d,y,+,y,d,v,，代入,方程的对称式有,求微分方程的解,对可分离变量,方程 ，,分离变量有,两边积分得,即,y,2,-,2,C,y,v,=,C,2,.,回代原变量,x,=,y,v,求得,曲线,L,的方程为,由,L,的方程可见，它是一条以,x,轴为对称轴、焦点,在原点的抛物线。,如果聚光镜镜面的直径为,d,，从顶点到底面的距离,为,h,，,即当,时，,代入方程通解,此时,曲线,L,的方程为,可分离变量方程是最基本的可由积分法求出其通,解的方程，齐次方程的求解是先通过变量代换化为分,离变量方程，再由积分法求出通解的。,对于其它形式的方程，若能够找到适当代换使其,化为可分离变量方程，则该方程亦可由积分法求出通,解。因此变量代换是求解微分方程的一种基本方法。,方法归纳,微分方程求解的变量代换法,例,：,求解微分方程,求解微分方程首先应注意判,别方程类型,。,从本例方程的形式看，它既不是,可分离变量方程，也不属于齐次方程。,因而不能按固定解法求解。,注意到方程右端分母形式为,x,+,y,，,由此想到若将,x,+,y,视作一个,变量，则,该方程可化为可分离变量方程，,因而考虑通过变量代,换法求解。,分析,用变量代换法求解,令,:,x,+,y,=,u,则,y,=,u,-,x,，,于是原方程化为可分离变量方程,分离变量有,两边积分得,u,-,ln,|,u,+,1,|,=,x,+,C,1,.,回代原变量,u,=,x,+,y,求得方程通解为,y,-,ln,|,x,+,y,+,1,|,=,C,1,.,或,x,=,C,e,y,-,y,-,1,，,(,C,= e,-,C,1,),.,
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