第2章静电场(5) 泊松方程和拉普拉斯方程

*,第二章 静电场,2.1,库仑定律与电场强度,2.2,静电场的无旋性与电位函数,2.3,静电场中的导体与电介质,2.4,高斯通量定理,2.5,泊松方程和拉普拉斯方程,2.6,分界面上的边界条件,2.7,导体系统的电容,2.8,静电场能量和静电力,2,电位,的,泊松方程,静电场的基本方程,3,二、泊松方程和拉普拉斯方程,2-5,泊松方程和拉普拉斯方程,一、静电场的基本方程,4,二、泊松方程和拉普拉斯方程,2-5,泊松方程和拉普拉斯方程,一、静电场的基本方程,5,一、,静电场的基本方程,(,静电场守恒性的微分形式,),前面已经得出：,静电场是守恒场,静电场强的环路积分为零。,（静电场的环流定理）,静电场是无旋场,6,因此，电场强度 可以用一个标量函数,电位函数,的负梯度表示。,同时，静电场又是一个有散场，,静止电荷是静电场的散度源。,7,因此，可以从静电场的性质总结出：,在,各向同性,、,均匀,、,线性的媒质,中,静电场的基本方程：,积分形式：,微分形式：,介质方程：,8,在,各向同性,、,均匀,、,线性的媒质,中，由,静电场的基本方程,可以得出结论：,静电场,是一个,有通量源,（静止电荷） 而,没有旋涡源,的,矢量场,。,9,根据矢量场理论，要确定一个,矢量场,，必须同时给顶它的,散度,和,旋度,。,同时，,场量,的,散度,与该场的,标量源密度,有关，,旋度,与该场的,矢量源密度,有关。,所以静电场的基本方程中包含了：,一个,旋度方程,和,一个,散度方程,。,10,二、泊松方程和拉普拉斯方程,2-5,泊松方程和拉普拉斯方程,一、静电场的基本方程,11,二、泊松方程和拉普拉斯方程,1,、泊松方程,2,、拉普拉斯方程,12,（在均匀、线性、各向同性的电介质中，,为常数。）,1,、泊松方程,（电位,的,泊松方程）,（介质方程）,（电场与电位的关系）,13,2,、拉普拉斯方程,(,电位,的,拉普拉斯方程,),对于场中没有电荷分布（,=0,）的区域内：,拉普拉斯方程是泊松方程的特例。,（电位,的,泊松方程）,14,直角坐标系：,15,拉普拉斯算符,2,在三种坐标系中的表示,直角坐标系：,圆柱坐标系：,球坐标系：,16,1,、,已知：,有限区域内的电荷分布，,求：,电位和场强,（场域内电介质是均匀、线性和各向同性。）,两类问题,可以用泊松方程或拉普拉斯方程解决,求电位：,求场强：,17,2,、给定电场分布，即,已知,，,求,电荷的分布。,或,18,例,2-9 P66,已知导体球的电位是,U,（设无穷远处的电位为,0,），球的半径为,a,，求球外的电位函数。,解：,球外的电位满足拉普拉斯方程（,=0,），且电场具有球面对称性，因此,= (r),。,球 坐 标 系，,19,一次积分,一次积分,边界条件：,20,例,2-10 P66,两无限大平行板电极，板间距为,d,，电压为,U,0,，并充满密度为,0,x/d,的体电荷。,用泊松方程的方法求板间的电场强度。,解：,21,一次积分,一次积分,边界条件：,22,23,填空题：,静电场电位,所满足的微分方程是,。,原来就是泊松方程啊！,ORZ,