椭圆定义及标准方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,椭圆定义及标准方程,第二章 圆锥曲线与方程,问:解析几何要解决的两类根本问题是什么?,答:(1)曲线研究其方程;,(2)曲线方程研究其曲线的性质.,回忆圆的定义及标准方程的学习过程及求法:,1、圆的定义：平面内到定点的间隔 等于定长的点的轨迹,2、求轨迹方程的根本步骤：,1建立适当的坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；,2写出适宜条件P的点M的集合(可以省略);,3将条件PM坐标化，列出方程 ;,4对方程化简；,5证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(可以省略不写,如有特殊情况， 应当适当予以说明).,返回求方程,返回解例,2,平面内与两个定点F1、F2的间隔 的和等于常数,(大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆。,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点之间的间隔 叫做椭圆的焦距。,问题,1,：当常数等于,|F,1,F,2,|,时，点,M,的轨迹是,;,问题,2,：当常数小于,|F,1,F,2,|,时，点,M,的轨迹是,.,线段,F,1,F,2,不存在,一、椭圆定义：,F,1,F,2, 讨论建立平面直角坐标系的方案,O,x,y,O,x,y,O,x,y,M,F,1,F,2,方案一,F,1,F,2,方案二,O,x,y,M,O,x,y,原那么：尽可能使方程的形式简单、运算简单；,(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.),(对称、“简洁),二、椭圆的标准方程：,分析：,2如何建系，,使得椭圆的,方程较简单？,1求椭圆的方,程出发点？,定义,由定义知：,(,),(,),a,y,c,x,y,c,x,2,2,2,2,2,=,+,-,+,+,+,如方案一建立直角坐标系,椭圆的焦距为2c(c0) ，那么,F1(-c,0)、F2(c,0)，M与F1、F2的间隔 的和等于常数2a。,设,M(x,y),是椭圆上任一点，,将方程移项后平方得：,两边再平方得：,由椭圆定义知：,(,),(,),a,y,c,x,y,c,x,2,2,2,2,2,=,+,-,+,+,+,这个方程叫做,椭圆的标准方程,，它所表示的椭圆的焦点在,x,轴上，焦点是,F,1,(-c,，,0),、,F,2,(c,，,0),，其中,c,2,=a,2,-b,2,.,假设用类似的方法，建系时让椭圆的焦点在y轴上，,可得出它的方程为：,它也是椭圆的标准方程。,两边同除以 得：,y,o,F,1,F,2,M,x,y,x,o,F,1,F,2,M,二、椭圆的标准方程,：,*,两种椭圆图形的异同点,:,两种椭圆相对于坐标系的位置不 同，它们的焦,点坐标也不同,x,、,y,下的分母大小不同。,同,:,异：,形状一样,大小一样，a,c几何意义一样，并且：,其中,a,最大,b,c,大小无法确定。,椭圆的标准方程的再认识：,1椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1,2椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=c2+b2 。,3由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。,4椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，那么焦点在,哪一个轴上，a总是最大或看焦点坐标来决定a、b。,y,o,F,1,F,2,M,x,y,x,o,F,1,F,2,M,二、椭圆的标准方程,：,1：断定以下椭圆的焦点在哪个坐标轴，并指明a2、b2， 写出焦点坐标。,答：在,x,轴，,答：在,y,轴。,答：在,y,轴。,判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准那么：,焦点在分母大的那个轴上。,课堂练习：,a,2,=25,b,2,=16;,3，0.,a,2,=169,b,2,=144;,0，5,a,2,=m,2,-1,b,2,=m,2,;,0，1,2 椭圆上一点P到一个焦点的间隔 为5，,那么P到另一个焦点的间隔 为 ,A,3.椭圆的方程为 ，焦点在X轴上，,那么其焦距为 ,A 2 B 2,C 2 D 2,A,焦点在,y,轴上的椭圆的标准方程,是,_.,跳到注,小结：,本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点,:,椭圆的定义中,a,、,b,、,c,皆正，,a,2,=b,2,+c,2,其中,2c,是,椭圆焦距；,要注意特征量,a,、,b,、,c,的几何意义,它们确定椭圆的形状,.,焦点的位置由椭圆的标准方程中,x,2,y,2,的分母大小,或焦点坐标来决定；,求椭圆的标准方程之前应先判断焦点位置以便确,定代入哪个方程解题,.,作业:,1、?课?P33练习1、2,P39习题1。,2、?世纪金榜?P18-19 根底达标1、3、4,3、补充：假设 表示椭圆，求k的取值范围,再见！,注,：,1.,标准方程中的两个参数,a,和,b,，确定了椭圆的,形状和大小，是椭圆的,定形,条件。,3.,由椭圆的定义和标准方程可知：确定椭圆的,标准方程需要三个条件：焦点位置、,a,、,b,的值。,2.焦点F1、F2的位置，是椭圆的定位条件，它,决定椭圆焦点在坐标系里的位置和标准方程的类型，,也就是说，知道了焦点的位置，标准方程只有一种形,式，不知道焦点位置，其标准方程具有两种类型。反,过来，只要知道方程的形式，就可以断定焦点位置。,一般先定位后定形！,例 求适宜以下条件的椭圆的标准方程,两个焦点的坐标分别是 、,椭圆上一点到两焦点间隔 的和等于10,小结,两个焦点的坐标分别是,(0,2),、,(0,-2),并且经过,解法,1,解法,2,求焦点在坐标轴上，且经过A , -2 )和B ，1,两点的椭圆的标准方程。,分析： 由题设条件焦点在哪一个坐标轴上不明确，椭圆的标准方,程有两种情形，为了计算方便，可模糊地设其方程为,mx2+ny2=1(m、n0且mn) ,其中m、n的大小先不做确定，,即先不考虑焦点位置，根据所给条件求出m、n值后,再行判断其焦点位置 。,： 求焦点在坐标轴上，且经过A , -2 )和B ，1两点的椭圆的标准方程。,解：,设椭圆方程为：,mx,2,+ny,2,=1(m,、,n0),因为椭圆过点,A,（, -2 ),和,B,（ ，,1,），,故得,3m+4n=1,与,12m+n=1,所以，,所以，椭圆的方程为,反思 ：在不明确焦点在哪个坐标轴上时，通常要进展,分类讨论，但计算较 为复杂。一般可先设其方程,为mx2+ny2=1(m、n0且mn) ，只是此时m、n 的大,小还未确 定，用的条件来求出其值即可确定,X、Y型。,所以像这种求椭圆方程先假设其方程, 然后根据题目,条件得出所求方程的方法,我们称之为待定系数法。,： 求焦点在坐标轴上，且经过A , -2 )和B ，1两点的椭圆的标准方程。,1,2,x,y,o,F,F,M,y,x,o,F,2,F,1,M,定 义,图 形,标准方程,焦 点,F(c,，,0),F(0,，,c),a,b,c,的关系,c,2,=a,2,-b,2,|MF,1,|+|MF,2,|=2a (2a2c0),椭圆的标准方程,焦距为,2c,焦距为,2c,1,、椭圆 的焦距为,所表示的曲线是,2,、,3、方程 表示焦点在y轴上的椭圆，那么,m的取值范围是,4、椭圆 上一点P到其中一个焦点的间隔 为3，,那么点P到另一个焦点的间隔 是,5、F1， F2是椭圆 的两焦点，过F2的直线交椭圆,于点A，B，假设 ，那么,右半个,X,型椭圆,8,25,7,11,练习：,例2、点P是椭圆4y2+5x2=20上的一点，F1与F2,是焦点，且 F1PF2=600 ，求 F1F2P的周长与面积。,回忆求轨迹方程步骤,例3：圆A：(x3)2y2100，圆A内一定点,B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心P的轨,迹方程,圆,P,与圆,A,内切，圆,A,的半径为,10,两圆的圆心距,PA,10,r,，,2a,10,，,2c,AB,6,，,a,5,，,c,3,b,2,a,2,c,2,25,9,16,即点,P,的轨迹方程为,1,解：设,PB,r,即,PA,PB,10,点,P,的轨迹是以,A,、,B,两点为焦点的椭圆,(,大于,AB,),练习： B、C 是两个定点，|BC| = 6，且ABC的,周长等于16，求顶点A的轨迹方程 .,A,B,C,x,y,O,解：,建系如图，,由题意,|AB|+|AC|+|BC|=16,，,|BC| = 6,，,有,|AB|+|AC|=10,，,由椭圆的定义知,：,点,A,的轨迹是椭圆,，,2c=6 , 2,a,=10,，, c=3,，,a,=5,，,b,2,= a,2,-c,2,= 5,2,-3,2,=16,.,故顶点,A,的轨迹方程是：,(y,0),小结：,1、先定位后定量；,2、设方程技巧：焦点位置不确定时，不妨设其标准,方程为mx2+ny2=1(m、n0且mn),3、设方程技巧：与有一样焦点的椭圆方,程不妨设为,4、求动点的轨迹方程时：,假设无法判断曲线类型：用求曲线方程一般步骤;,假设可由定义法判断出曲线类型：可直接套用现成结论。,求出曲线的方程之后，要验证方程是否有增根，如有，,应在方程后注明限制条件。,椭圆过点A(2,3)，且与椭圆9x2+4y2=36有一样的焦点。,求该椭圆的标准方程,补充作业：,假设 表示椭圆，求k的取值范围,平面内两个定点的间隔 是8，写出到这两个定点的间隔,的和是10的点的轨迹方程,在平面直角坐标系中，ABC中B(-3,0) ，C(3,0),且三边|AC|,|BC|,|AB|长依次成等差数列，求顶点A的,轨迹方程。,练习：在平面直角坐标系中，三角形 中,B(-3,0) ，C(3,0),且三边|AC|, |BC| , |AB|长依,次成等差数列，求顶点A的轨迹方程。,分析： 因为B-3，0，C3，0所以|BC|=6,又三边,|AC|, |BC| , |AB|,长依次成等差数列,A,B,C,解： 根据例题同理可知,A点的轨迹方程是,因为椭圆的焦点在,轴上，所以设它的标准方程为,由椭圆的定义知：,，又,，,所以所求椭圆的标准方程为：,解：,返回,谢谢观赏,