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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2.3.2,平面与平面垂直的判定定理,1.,在平面几何中,角,是怎样定义的？,从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。,或,:,一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。,复习回顾,2.,在立体几何中，“异面直线所成的角”是怎样定义的？,直线,a,、,b,是异面直线，经过空间任意一点,O,，分别引直线,a, /,a,，,b,/,b,，我们把相交直线,a,和,b,所成的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角,.,3.,在立体几何中,直线和平面所成的角,是怎样定义的？,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角,.,范围：,( 0,o, 90,o,范围：, 0,o, 90,o,空间两个平面有,平行,、,相交,两种位置关系,.,对于两个平面平行，我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论上有进一步的认识,.,在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们,将三维空间的角转化为二维空间的角,，即平面角来刻画,.,接下来，我们同样来研究平面与平面的角度问题,.,两个相交平面的相对位置是由这,两个平面所成的“角”,来确定的,我们常说,“,把门开大些,”,，是指哪个角开大一些，,我们应该怎么刻画二面角的大小？,(1),半平面的定义,一、二面角的概念,平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面,半平面,半平面,(2),二面角的定义,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,.,这条直线叫做,二面角的棱,，每个半平面叫做,二面角的面,棱,面,面,平卧式：,直立式：,l,l,A,B,(3),二面角的画法和记法：,面,1,棱面,2,点,1,棱点,2,二面角,l,二面角,AB,二面角,CAB D,A,B,C,D,直立式,3,、举出二面角的实例，并画出二面角。,平卧式,二面角画法,由上可知：各二面角的,“,张角,”,不同，那么如何度量二面角的大小呢？,A,O,l,B,(4),二面角的平面角,A,B,O,以二面角的棱上任意一点为端点，,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,.,如图，,，则,AOB,成为二面角 的平面角,.,它的大小与点,O,的选取无关,.,二面角的平面角必须满足：,角的边都要垂直于二面角的棱,角的顶点在棱上,角的两边分别在两个面内,10,质疑二,:,在二面角的平面角的定义中,O,点是在棱上任取的，那么,AOB,的大小与点,O,在棱上的位置有关系吗？,=,等角定理,：,如果一个角的两边和另,一个角的两边分别平行，并且方向相,同，那么这两个角相等。）,A,B,A,B,二面角的平面角大小与点,O,在棱上的位置无关，只与二面角的张角大小有关。,结论：,二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。,.,二面角的取值范围一般规定为：, 0,o, 180,o,l,O,A,B,0,。,，,180,。,(4),二面角的平面角,二面角的范围为：,注,1,：,当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为,180,；,平面角是直角的二面角叫做,直二面角,，此时称两半平面所在的两个平面互相垂直,.,O,A,B,定义法,垂线法,作棱的垂面法,一个平面垂直于二面角,-,l,-,的棱,l,，,且与两半平面的交线分别是射线,OA,、,OB,，,O,为垂足，则,AOB,为,二面角,-,l,-,的平面角,(5),二面角的平面角的作法：,O,A,B,l,O,A,B,o,A,B,补充,练习：,指出下列各图中的二面角的平面角：,B,A,C,D,A,A,B,C,C,D,D,B,二面角,B-BC-A,O,E,O,二面角,A-BC-D,14,正方体,AC,中,（定义法）,（垂线法）,例,1,在正方体,AC,1,中，,E,为,BC,中点，,A,B,1,C,1,D,A,1,B,C,D,1,F,A,B,1,C,1,D,A,1,B,C,D,1,E,G,H,（,1,）,（,2,）,O,1,、求二面角,AB,1,CB,的正弦值,;,2,、求二面角,EB,1,D,1,C,1,的正切值。,例,2,：,正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，二面角,B,1,-AA,1,-C,1,的大小为,_,，二面角,B-AA,1,-D,的大小为,_,，二面角,C,1,-BD-C,的正切值是,_.,45,90,练习,A .,O,解,：,则,AD,l,.,sin,ADO,=, ,ADO,=60.,即二面角,l, ,的大小为,60,.,在,RtADO,中，,AO,AD,练,1,： 已,知二面角,l, ，,A,为面,内一点，,A,到 的距离为,，到,l,的距离为,4.,求,二面角,l, ,的大小,.,l,D,过,A,作,AO,于,O,，,过,O,作,OD,l,于,D,，连,AD,，,就是二面角,l,的平面角,.,back,练 在二面角,-,l,-,的一个平面,内有一条直线,AB,，它与棱,l,所成的角为,45,，与平面,所成的角为,30,，则这个二面角的大小是,_.,45或135,2,： 如图，,M,是正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的棱,AB,的中点，求二面角,A,1,MC,A,的正切值,A,B,C,D,M,A,1,B,1,C,1,D,1,N,H,思路分析：,找基面,找基面的垂线,AA,1,作,平面角,作,AHCM,交,CM,的延长线于,H,，,连结,A,1,H,平面,ABCD,解：,作,AHCM,交,CM,的延长线于,H,，连,结,A,1,H,A,1,A,平面,AC,，,AH,是,A,1,H,在平面,AC,内的射影，,A,1,HCM,，,A,1,HA,为二面角,A,1,CM,A,的平面角,设正方体的棱长为,1,M,是,AB,的,中点，且,AMCD,，,则在,直角,AMN,中，,AM = 0.5,，,AN= 1,，,MN =,back,C,D,H,G,60,0,30,0,3,：如图，山坡倾斜度是,60,度，山坡上一条路,CD,和坡底线,AB,成,30,度角,.,沿这条路向上走,100,米，升高了多少,?,A,B,练习,一、,计算二面角的关键是作出二面角的平面角，其作法主要有：,(1),利用二面角平面角的定义，即在棱上任取一点，然后分别在两个面内作棱的垂线，则两垂线所成的角为二面角的平面角,(2),利用棱的垂面，即棱的垂面与两个半平面的交线所成的角是二面角的平面角,二、,求二面角的思路是,“,一作、二证、三算,”,如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？,二、,平面,与平面垂直的判定,文字语言：如果一个平面经过另一个平面,的一条垂线，那么这两个平面,互相垂直,面面垂直的判定定理,符号语言,：,A,B,图形语言：,该定理作用：“,线,面垂直,面面垂直”,应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线,.,证明：,C,D,A,B,E,在平面,内过,B,点作直线,BECD,，,则,ABE,就是二面,角,-,CD,-,的平面角，,设,=CD,，,AB,在,上，,则,BCD.,AB,，CD,，ABCD.,AB,，,BE,，,ABBE. ,二面,角,-,CD,-,是直,二面角，,.,a,back,A,B,C,P,O,证明：,由,AB,是圆,O,的直径，可得,ACBC,平面,PAC,平面,PBC,例,1:,如图，,AB,是圆,O,的直径，,PA,垂直于圆,O,所在的平面于,A,，,C,是圆,O,上不同于,A,、,B,的任意一点,.,求证：平面,PAC,平面,PBC,练习,例,2,、已知直线,PA,垂直正方形,ABCD,所在的平面，,A,为垂足。,求证：平面,PAC,平面,PBD,。,证明：,A,B,D,P,C,O,例,3,：,ABCD,是正方形，,O,是正方形的,中心，,PO,平面,ABCD,，,E,是,PC,的中点，,求证,：,(1),PC,平面,BDE,；,(2),平面,PAC,BDE.,P,O,A,B,C,D,E,B,C,D,A,探究：,2.,如图所示：在,RtABC,中，,ABC=90,0,P,为,ABC,所在平,面外一点，,PA,平面,ABC,，你能发现哪些平面互相垂直，,为什么？,P,A,B,C,P,A,B,C,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,作业,1,： 正,方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中， 求,证：,A,B,C,D,E,2,：,1.,如图，正方形,SG,1,G,2,G,3,中，,E,，,F,分别是,G,1,G,2,，,G,2,G,3,的中点，,D,是,EF,的中点，现在沿,SE,，,SF,及,EF,把这个正方形折成一个四面体，使,G,1,，,G,2,，,G,3,三点重合，重合后记为,G- SEF,，则四面体,S,EFG,中必有,( ).,(A)SGEFG,所在平面,(B)SDEFG,所在平面,(C)GFSEF,所在平面,(D)GDSEF,所在平面,S,G,1,G,2,G,3,E,F,D,S,G,1,G,2,G,3,E,F,D,S,E,F,G,D,SGEFG,所在平面,.,故选,A.,E,F,back,练,2,在长方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB=2,，,BC=BB,1,=1,，,E,为,C,1,D,1,的中点，求二面角,E-BD-C,的大小,.,A,A,1,B,B,1,C,C,1,D,D,1,E,M,F,back,3,：如图，在长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB = 2,，,BC = BB,1,=1,，,E,为,D,1,C,1,的,中点，求二面角,E,BD,C,的大小,A,A,1,B,B,1,C,C,1,D,D,1,E,思路分析：,找基面,平面,BCD,作,基面的垂线,过E作EFCD于F,F,作,平面角,作,FGBD,于,G,，,连结,EG,G,解：,过,E,作,EFCD,于,F,，,于是，,EGF,为二面角,E,BD,C,的平面角,BC = 1，CD = 2，,而,EF = 1,，,在,EFG,中,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,是长方体，,EF,平面,BCD,，且,F,为,CD,中点，,过,F,作,FGBD,于,G,，,连结,EG,，则,EGBD,（,三垂线定理）,M,练习,P,A,B,C,思路分析：,找基面,找基面的垂线,作平面角,平面,ABC,取,AB,的中点,M,，,连结,PM,M,由己知,AB,2,= AC,2,+ BC,2,，,ACB,是直角,N,取,AC,的,中点,N,，,连结,MN,、,PN,MNBC,，,ACBC,，,MNAC,，,由三垂线定理知,PNAC,MNP,就是二面角,P,AC,B,的平面角,PA = PB = PC,，,PAMPCM,PMAM,，,PMCM,，,PM,平面,ABC,连结,CM,，,AM = BM = CM,，,4.,已知,ABC, AB = 10, BC = 6, P,是平面,ABC,外一点,且,PA=PB = PC = AC = 8,求二面角,PACB,的平面角的正切值,.,back,练 求正四面体的侧面与底面所成的二面角的大小？,
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