沪科版九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,21.1,二次函数,第,21,章 二次函数与反比例函数,九年级数学上（,HK,）,教学课件,【,学习目标,】,1,引导学生理解二次函数的概念，掌握二次函数一般形式,2,通过对实际问题的探索，熟练地掌握列二次函数关系式和求自变量的取值范围,【,学习重点,】,能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围,【学习难点】,熟练地列出二次函数关系式,雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线,.,这些曲线能否用函数关系式表示？,情境引入,思考：视频中得到的优美曲线可以用函数来表示吗,?,1.,什么叫函数,?,一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量,x,与,y,，并且对于,x,的每一个确定的值，,y,都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说,x,是自变量，,y,是,x,的函数,.,3,.,一元二次方程的一般形式是什么？,一般地，形如,y,=,kx,+,b,（,k,b,是常数，,k,0,）的函数叫做一次函数,.,当,b,=0,时，一次函数,y,=,kx,就叫做正比例函数,.,2,.,什么是一次函数？正比例函数？,ax,2,+,bx,+,c,=0 (,a,0,),问题,1,正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为,x,，表面积为,y,，则,y,关于,x,的关系式为,.,y,=6,x,2,此式表示了正方体表面积,y,与正方体棱长,x,之间的关系，对于,x,的每一个值，,y,都有唯一的一个对应值，即,y,是,x,的函数,.,二次函数的定义,探究归纳,问题,2,某水产养殖户用长,40m,的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗,.,要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？,设围成的矩形水面的一边长为,x,m,那么，矩形水面的另一边长应为（,20-,x,）,m.,若它的面积是,S,m,2,，,则有,此式表示了边长,x,与围网的面积,S,之间的关系，对于,x,的每一个值，,S,都有唯一的一个对应值，即,S,是,x,的函数,.,问题,3,有一玩具厂，如果安排装配工,15,人，那么每人每天可装配玩具,190,个；如果增加人数，那么每增加,1,人，可使每人每天少装配玩具,10,个,.,问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多？最多为多少？,设增加,x,人，这时，则共有,个装配工,每人每天可少装配,10,x,个玩具，因此，每人每天只装配,个玩具,.,所以，增加人数后，每天装配玩具总数,y,可表示为,y,=_.,(1,5,+,x,),(1,90,10,x,),整理为：,y,=,10,x,2,+40,x,+2,85,0,(1,90,10,x,)(1,5,+,x,),此式表示了,每天装配玩具总数,y,与增加,x,人,之间的关系，对于,x,的每一个值，,y,都有唯一的一个对应值，即,y,是,x,的函数,.,y,=6,x,2,y,=,10,x,2,+40,x,+2,85,0,问题,1-3,中函数关系式有什么共同点?,函数都是用,自变量的二次整式表示的,想一想,二次函数的定义：,形如,y,=,ax,+,bx,+,c,(,a,b,c,是常数,a, 0,)的函数叫做,二次函数,.,其中,x,是自变量，,a,b,c,分别是二次项系数、一次项系数和常数项,.,温馨提示：,（1）,等号左边是变量,y,，右边是关于自变量,x,的整式；,（2）,a,b,c,为常数，且,a, 0;,（3）,等式的右边最高次数为,2,，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.,总结归纳,例,1,下列函数中哪些是二次函数？为什么？（,x,是自变量）,y,=,ax,2,+,bx,+,c,s,=3-2,t,y,=,x,2,y,=,x,+,x,+25,y,=(,x,+3)-,x,不一定是，缺少,a,0,的条件.,不是，右边是分式.,不是，,x,的最高次数是,3.,y,=6,x,+9,典例精析,判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),外，,还有其特殊形式如,y,=,ax,2,y,=,ax,2,+,bx,y,=,ax,2,+,c,等.,方法归纳,想一想,:,二次函数的一般式,y,=,ax,2,bx,c,（,a,0）,与一元二次方程,ax,2,bx,c,0（,a,0）,有什么联系和区别？,联系,：,(1),等式一边都是,ax,2,bx,c,且,a,0；,(2),方程,ax,2,bx,c,=0,可以看成是函数,y,=,ax,2,bx,c,中,y,=0,时得到的.,区别,:,前者是函数,.,后者是方程,.,等式另一边前者是,y,后者是,0.,例,2,（1）,m,取什么值时，此函数是正比例函数？,（2）,m,取什么值时，此函数是二次函数？,解：,（1）由题,可知,解得,（2）由题,可知,解得,m,=3,.,第,（2）,问易忽略二次项系数,a,0,这一限制条件，从而得出,m,=3,或,-3,的错误答案，需要引起同学们的重视,.,1.,已知,:,，,k,取什么值时，,y,是,x,的二次函数？,解：当,=2,且,k+20,，即,k,=-2,时,y,是,x,的二次函数,.,解：,由题意得：,m3,变式训练,解：,由题意得：,【解题小结】,本题考查正比例函数和二次函数的概念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.,例,3,：,某工厂生产的某种产品按质量分为,10,个档次，第,1,档次,(,最低档次,),的产品一天能生产,95,件，每件利润,6,元每提高一个档次，每件利润增加,2,元，但一天产量减少,5,件,(1),若生产第,x,档次的产品一天的总利润为,y,元,(,其中,x,为正整数，且,1,x,10),，求出,y,关于,x,的函数关系式；,解：,第一档次的产品一天能生产,95,件，每件利润,6,元，每提高一个档次，每件利润加,2,元，但一天产量减少,5,件，,第,x,档次，提高了,(,x,1),档，利润增加了,2(,x,1),元,y,6,2(,x,1)95,5(,x,1),，,即,y,10,x,2,180,x,400(,其中,x,是正整数，且,1,x,10),；,(2),若生产第,x,档次的产品一天的总利润为,1120,元，求该产品的质量档次,解：由题意可得 ,10,x,2,180,x,400,1120,，,整理得,x,2,18,x,72,0,，,解得,x,1,6,，,x,2,12(,舍去,),所以，该产品的质量档次为第,6,档,【方法总结】,解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型,思考：,1.,已知二次函数,y,10,x,2,180,x,400,自变量,x,的取值范围是什么？,2.,在例,3,中，所得出,y,关于,x,的函数关系式,y,10,x,2,180,x,400,，其自变量,x,的取值范围与,1,中相同吗？,【总结】,二次函数自变量的取值范围一般是,全体实数,，但是在实际问题中，自变量的取值范围应,使实际问题有意义,.,例,4,一个二次函数,.,（,1,）求,k,的值,.,（,2,）当,x,=,0.5,时，,y,的值是多少？,解：,（,1,）由题意，得,解得,将,x,=,0.5,代入函数关系式,.,（,2,）当,k,=,2,时，,此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为,0,及自变量指数为,2,这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将,x,的值代入其中，求出,y,的值,.,归纳总结,2.,函数,y,=(,m,-,n,),x,2,+,mx,+,n,是二次函数的条件是,( ),A,.,m,n,是常数,且,m,0,B,.,m,n,是常数,且,n,0,C,.,m,n,是常数,且,m,n,D,.,m,n,为任何实数,C,1,.,把,y=(2-3,x,)(6+,x,),变成一般式，二次项为_,一次项,系数为_，常数项为,.,3,下列函数是二次函数的是,( ),A,y,2,x,1 B,C,y,3,x,2,1 D,C,-3,x,2,-16,12,当堂练习,4.,已知函数,y=3,x,2,m,-1,5, 当,m,=,时，,y,是关于,x,的一次函数；, 当,m,=,时，,y,是关于,x,的反比例函数；, 当,m,=,时，,y,是关于,x,的二次函数,.,1,0,5.,若函数 是二次函数，求：,（,1,）求,a,的值,.,(2),求函数关系式,.,（,3,）当,x,=,-,2,时，,y,的值是多少？,解：,（,1,）由题意，得,解得,（,2,）当,a,=-,1,时，函数关系式为,.,（,3,）将,x,=,-,2,代入函数关系式中，有,6.,矩形的周长为,16cm,它的一边长为,x,（,cm),面,积为,y,（,cm,2,).,求,（,1,）,y,与,x,之间的函数解析式及自变量,x,的取值范围；,（,2,）,当,x,=3,时矩形的面积,.,解,：(1),y,(8,x,),x,x,2,8,x,(0,x,8)；,(2),当,x,3,时,，,y,3,2,8315 cm,2,.,二次函数,定 义,y,=,ax,2,+,bx,+c(,a,0,，,a,b,c,是常数,）,一般形式,右边是整式；,自变量的指数是,2,；,二次项系数,a,0.,特殊形式,y,=,ax,2,；,y,=,ax,2,+,bx,；,y,=,ax,2,+,c,(,a,0,，,a,b,c,是常数）,.,课堂小结,21.2,二次函数的图象和性质,1.,二次函数,y,=,ax,的图象和性质,【,学习目标,】,1,能够利用描点法作出,y,ax,2,的图象，并能根据图象认识和理解,y,ax,2,的图象和性质,2,经历画二次函数,y,ax,2,的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验,【,学习重点,】,会画,y,ax,2,的图象，理解其性质,【,学习难点,】,结合图象理解抛物线开口方向，对称轴，顶点坐标及基本性质,情境引,入,x,-3,-2,-1,0,1,2,3,y,=,x,2,例,1,画出二次函数,y,=,x,2,的图象,.,9,4,1,0,1,9,4,1.,列表：,在,y,=,x,2,中自变量,x,可以是任意实数，列表表示几组对应值：,典例精析,2,4,-2,-4,o,3,6,9,x,y,2.,描点：,根据表中,x,y,的数值在坐标平面中描点,（,x,y,）,3,.,连线：,如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到,y,=,x,2,的图象,-3,3,o,3,6,9,当取更多个点时，函数,y,=,x,2,的图象如下：,x,y,二次函数,y,=,x,2,的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做,抛物线,.,这条抛物线关于,y,轴对称,y,轴就是它的对称轴,.,对称轴与抛物线的交,点叫做抛物线的,顶点,.,练一练：,画出函数,y,=-,x,2,的图象,.,y,2,4,-2,-4,0,-3,-6,-9,x,x,-3,-2,-1,0,1,2,3,y,=-,x,2,-9,-4,-1,0,-1,-4,-9,根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数,y=x,2,的图象有哪些性质，并与同伴交流,.,x,o,y,=,x,2,1,.y,x,2,是一条抛物线,;,2.,图象开口向上,;,3.,图象关于,y,轴对称,;,4.,顶,点（,0,，,0,）,;,5.,图象,有最低点,y,议一议,说说二次函数,y,=-,x,2,的图象有哪些性质,与同伴交流,.,o,x,y,y,=,-,x,2,1,.y,-,x,2,是一条抛物线,;,2.,图象开口向下,;,3.,图象关于,y,轴对称,;,4.,顶,点（,0,，,0,）,;,5.,图象,有最高点,1.,顶点都在,原点,;,3.,当,a,0,时，开口向,上,；,当,a,0,时，开口向,下,二次函数,y=ax,2,的图象性质：,2.,图像关于,y,轴,对称,;,知识要点,观察下列图象，抛物线,y,=,ax,2,与,y,=-,ax,2,（,a,0),的关系是什么？,二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于,x,轴对称,.,x,y,O,y=ax,2,y,=-,ax,2,合作交流,问题,1,：,观察图形，,y,随,x,的变化如何变化？,(-2,4),(-1,1),(2,4),(1,1),对于,抛物线,y = ax,2,（,a,0,）,当,x,0,时，,y,随,x,取值的增大而增大；,当,x,0时，,y,随,x,取值的增大而减小,.,要点总结,(-2,-4),(-1,-1),(2,-4),(1,-1),问题,2,：,观察图形，,y,随,x,的变化如何变化？,对于,抛物线,y = ax,2,（,a,0,）,当,x,0,时，,y,随,x,取值的增大而减小；,当,x,0,时，,a,越大，开口越小,.,练一练：,在同一直角坐标系中，画出,函数,的图象,x,4,3,2,1,0,1,2,3,4,x,2,1.5,1,0.5,0,0.5,1,1.5,2,-8,-4.5,-2,-0.5,0,-8,-4.5,-2,-0.5,-8,-4.5,2,0.5,0,8,4.5,2,0.5,x,y,O,2,2,2,4,6,4,4,8,当,a,0,a,1,4.,说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：,开口方向,对称轴,顶点,向上,向下,向下,向上,y,轴,y,轴,y,轴,y,轴,（0,0）,（0,0）,（0,0）,（0,0）,O,5.,若抛物线,y,=,ax,2,（,a,0,），,过点,（,-1,，,2,）,.,（,1,）,则,a,的值是,；,（,2,）,对称轴是,，开口,.,（,3,）,顶点坐标是,，顶点是抛物线上的最,值,.,抛物线在,x,轴的,方（除顶点外）,.,(4),若,A,（,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),在这条抛物线上，且,x,1,x,2,6.,已知二次函数,y,=,x,2,，若,x,m,时，,y,最小值为0，求实数,m,的取值范围,解：二次函数,y,=,x,2,，,当,x,=0时，,y,有最小值，且,y,最小值,=0，,当,x,m,时，,y,最小值,=0，,m,0,二次函数,y=ax,2,的,图象及性质,画法,描点法,以对称轴为中心对称取点,图象,抛物线,轴对称图形,性质,重点关注,4,个方面,开口方向及大小,对称轴,顶点坐标,增减性,课堂小结,21.2,二次函数的图象和性质,学练优九年级数学上（,HK,）,教学课件,2.,二次函数,y,=,ax,+,bx,+,c,的图象和性质,第,1,课时 二次函数,y,=,ax,+,k,的图象和性质,【,学习目标,】,1,会用描点法画出二次函数,y,ax,2,k,的图象,2,能通过函数,y,ax,2,k,的图象和解析式，正确说出其开口方向，对称轴以及顶点坐标等图象性质,3,知道二次函数,y,ax,2,k,与函数,y,ax,2,的关系，体会数形结合的思想方法,【,学习重点,】,1,二次函数,y,ax,2,k,的图象和性质；,2,函数,y,ax,2,k,与,y,ax,2,的相互关系,【,学习难点,】,正确理解二次函数,y,ax,2,k,的性质，抛物线,y,ax,2,k,与,y,ax,2,的关系,这个函数的图象是如何画出来的？,x,y,情境引入,二次函数,y,=,ax,2,+,k,的图象和性质,(,a,0),做一做：,画出二次函数,y,=2,x, ,y,=2,x,2,+1,，,y,=2,x,2,-1,的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性,.,x,1.5,1,0.5,0,0.5,1,1.5,y,=2,x,2,+,1,y,=2,x,2,4.5,2,0.5,0,0.5,2,4.5,y,=2,x,2,-1,3.5,1,-0.5,1,-0.5,-1,3.5,5.5,1.5,3,1.5,1,3,5.5,讲授新课,x,y,O,2,2,2,4,6,4,4,8,y,=2,x,2,+1,y,=2,x,2,y,=2,x,2,-1,观察上述图象，说说它有哪些特征,.,解：先列表：,x,3,2,1,0,1,2,3,在同一直角坐标系中，画出二次函数,与,的图象,探究归纳,x,y,-4,-3,-2,-1,o,1,2,3,4,1,2,3,4,5,6,描点、连线，画出这两个函数的图象,抛物线 ， 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？,二次函数,开口方向,顶点坐标,对称轴,向上,向上,（,0,0,）,（,0,1,）,y,轴,y,轴,想一想：,通过上述例子，函数,y,=,ax,2,+k,(,a,0),的性质是什么？,y,-2,-2,4,2,2,-4,x,0,二次函数,y,=,ax,2,+,k,的图象和性质,(,a,0),做一做,在同一坐标系内画出,下列二次函数的图象：,根据图象回答下列问题,:,(1),图象的形状都是,.,(2),三条抛物线的开口方向,_,;,(3),对称轴都是,_,(4),从上而下顶点坐标分别是,_,抛物线,向下,直线,x=0,( 0,0),( 0,，,2),( 0,-2),(5),顶点都是最,_,点，函数都有最,_,值，从上而下最大值分别为,_,、,_,(6),函数的增减性都相同：,_,_,高,大,y=0,y= -2,y=2,对称轴左侧,y,随,x,增大而增大,对称轴右侧,y,随,x,增大而减小,y,=,ax,2,+,k,a,0,a,0,开口方向,向上,向下,对称轴,y,轴,y,轴,顶点坐标,（,0,k,）,（,0,k,）,最值,当,x,=0,时，,y,最小值,=,k,当,x,=0,时，,y,最大值,=,k,增减性,当,x,0,时，,y,随,x,的增大而减小；,x,0,时，,y,随,x,的增大而增大,.,当,x,0,时，,y,随,x,的增大而减小；,x,0,时，,y,随,x,的增大而增大,.,要点总结,例,1,：,已知二次函数,y,ax,2,+,c,当,x,取,x,1,，,x,2,（,x,1,x,2,）时，函数值相等，则当,x,x,1,+,x,2,时，其函数值为,_.,解析：由二次函数,y,ax,2,+,c,图象的性质可知，,x,1,，,x,2,关于,y,轴对称，即,x,1,+,x,2,0.,把,x,0,代入二次函数表达式求出纵坐标为,c,.,c,【方法总结】,二次函数,y,ax,2,+,c,的图象关于,y,轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数,典例精析,解析式,y,=2,x,2,y,=2,x,2,+1,y,=2,x,2,-1,+1,-1,点的坐标,函数对应值表,4.5,-1.5,3.5,5.5,-1,2,1,3,x,y,=2,x,2,-1,y,=2,x,2,y,=2,x,2,+1,x,2,x,2,2,x,2,-1,(,x, ),(,x,),(,x, ),2,x,2,-1,2,x,2,2,x,2,+1,从数的角度探究,2,x,2,+1,4,x,y,O,2,2,2,4,6,4,8,10,2,y,= 2,x,2,1,y,= 2,x,2,1,可以发现，把抛物线,y,=2,x,2,向,平移,1,个单位长度，就得到抛物线,；把抛物线,y,=2,x,2,向,平移,1,个单位长度，就得到抛物线,y,=2,x,2,-1.,下,y,=2,x,2,+1,上,从形的角度探究,二次函数,y,=,ax,2,+,k,的图象可以由,y,=,ax,2,的图象平移得到：,当,k, 0,时,向上平移,k,个单位长度得到,.,当,k,2,0,=0,1,(0,1),(-1,0),(1,0),开口方向向上，对称轴是,y,轴，顶点坐标,（,0,，,-3,）,.,6.,在同一直角坐标系中，一次函数,y,ax,k,和二次函数,y,ax,2,k,的图象大致为,(,),方法总结：,熟记一次函数,y,kx,b,在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质,(,开口方向、对称轴、顶点坐标等,),是解决问题的关键,D,7.,对于二次函数,y,=(,m,+1),x,m,2,-,m,+3,当,x,0,时,y,随,x,的增大而增大，则,m,=_.,8.,已知二次函数,y,=(,a,-2),x,2,+,a,2,-2,的最高点为（,0,，,2,）,则,a,=_.,9.,抛物线,y,=,ax,2,+,c,与,x,轴交于,A,（,-2,0,）,B,两点，与,y,轴交于点,C,(0,，,-4),则三角形,ABC,的面积是,_.,2,-2,8,二次函数,y,=,ax,2,+,k,（,a,0),的图象和性质,图象,性质,与,y,=,ax,2,的关系,开口方向由,a,的符号决定；,k,决定顶点位置；,对称轴是,y,轴,.,增减性结合开口方向和对称轴才能确定,.,平移规律：,k,正向上；,k,负向下,.,课堂小结,21.2,二次函数的图象和性质,2.,二次函数,y,=,ax,+,bx,+,c,的图象和性质,第,2,课时 二次函数,y,=,a,(,x+h,),的图象和性质,情境引入,【,学习目标,】,使学生能利用描点法画出二次函数,y,a(x,h),2,的图象,让学生经历二次函数,y,a(x,h),2,性质探究的过程，理解函数,y,a(x,h),2,的性质，理解二次函数,y,a(x,h),2,的图象与二次函数,y,ax,2,的图象的关系,【,学习重点,】,掌握二次函数,y,a(x,h),2,的图象和性质,【,学习难点,】,二次函数,y,a(x,h),2,的图象和性质的运用,复习引入,a,c,的符号,a0,c,0,a0,c,0,a,0,a0,c,0,图象,开口方向,对称轴,顶点坐标,函数的增减性,最值,向上,向下,y,轴（直线,x,=0,）,y,轴（直线,x,=0,）,（,0,c,）,（,0,c,）,当,x,0,时，,y,随,x,增大而增大,.,当,x,0,时，,y,随,x,增大而减小,.,x=,0,时，,y,最小值,=c,x=,0,时，,y,最大值,=c,问题,1,说说,二次函数,y,=,ax,2,+c,(a,0),的图象的特征,.,问题,2,二次函数,y,=,ax,2,+,k,(,a,0,),与,y,=,ax,2,(,a,0,),的图象有何关系？,答：二次函数,y,=,ax,2,+,k,(,a, 0,),的图象可以由,y,=,ax,2,(,a, 0,),的图象平移得到：,当,k, 0,时，向上平移,c,个单位长度得到,.,当,k,0,开口向上,a,0,开口向下,y,=,ax,2,平移规律：,括号内：左加右减；括号外不变,.,课堂小结,21.2,二次函数的图象和性质,2.,二次函数,y,=,ax,+,bx,+,c,的图象和性质,第,3,课时 二次函数,y,=,a,(,x+h,)+,k,的图象和性质,【,学习目标,】,1,使学生理解函数,y,a(x,h),2,k,的图象与函数,y,ax,2,的图象之间的关系会确定函数,y,a(x,h),2,k,的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,2,让学生经历函数,y,a(x,h),2,k,性质的探索过程，理解函数,y,a(x,h),2,k,的性质,【,学习重点,】,二次函数,y,a(x,h),2,k,的图象与性质,【,学习难点,】,运用二次函数,y,a(x,h),2,k,的图象与性质解决简单的实际问题,1.,说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况:,(,1),y,=,ax,2,(,2),y,=,ax,2,+,k,(,3),y,=,a,(,x,+,h,),2,y,y,y,y,x,x,x,x,O,O,O,O,y,y,y,y,x,x,x,x,O,O,O,O,y,y,x,x,O,O,复习引入,2.,请说出二次函数,y,=-2,x,2,的开口方向、顶点坐标、,对称轴及最值？,3.,把,y,=-2,x,2,的图像,向上平移3个单位,y,=-2,x,2,+3,向左平移2个单位,y,=-2(,x,+2),2,4.,请猜测一下，二次函数,y,=-2(,x,+2),2,+3的图象是否可以由,y,=-2,x,2,平移得到？你认为该如何平移呢？,O,X,y,3,-2,O,y,3,-2,X,引例,画出函数 的图像,.,指出它的开口方向、顶点与对称轴,.,探究归纳,2,1,0,-1,-2,-3,-4,x,解,:,先列表,再描点、连线,-5.5,-3,-1.5,-1,-1.5,-3,-5.5,1,2,3,4,5,x,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,1,y,O,-1,-2,-3,-4,-5,-10,直线,x,=,1,开口方向向下；,对称轴是直线,x,=-1,;,顶点坐标是,(-1,-1),试一试,画出函数,y,=2(,x,+1),2,-2,图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点,.,开口方向向下；,对称轴是直线,x,=-1,;,顶点坐标是,(-1,-2),-2,2,x,y,O,-2,4,6,8,-4,2,4,y,=,a,(,x-h,),2,+,k,a,0,a,0,开口方向,向上,向下,对称轴,直线,x=h,直线,x=h,顶点坐标,（,h,k,）,（,h,k,）,最值,当,x,=,h,时，,y,最小值,=,k,当,x,=,h,时，,y,最大值,=,k,增减性,当,x,h,时，,y,随,x,的增大而减小；,x,h,时，,y,随,x,的增大而增大,.,当,x,h,时，,y,随,x,的增大而减小；,x,h,时，,y,随,x,的增大而增大,.,要点总结,顶点式,例,1.,已知二次函数,y,a,(,x,1),2,c,的图象如图所示，则一次函数,y,ax,c,的大致图象可能是,(,),解析：根据二次函数开口向上则,a,0,，根据,c,是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出,c,0,，故一次函数,y,ax,c,的大致图象经过第一、二、三象限故选,A.,A,典例精析,例,2.,已知二次函数,y,a,(,x,1),2,4的图象经过点(3，0),(1)求,a,的值；,(2)若,A,(,m,，,y,1,)、,B,(,m,n,，,y,2,)(,n,0)是该函数图象上的两点，当,y,1,y,2,时，求,m,、,n,之间的数量关系,解：,(1),将,(3,，,0),代入,y,a,(,x,1),2,4,，,得,0,4,a,4,，解得,a,1,；,(2),方法一：,根据题意，得,y,1,(,m,1),2,4,，,y,2,(,m,n,1),2,4,，,y,1,y,2,，,(,m,1),2,4,(,m,n,1),2,4,，即,(,m,1),2,(,m,n,1),2,.,n,0,，,m,1,(,m,n,1),，化简，得,2,m,n,2,；,方法二：,函数,y,(,x,1),2,4,的图象的对称轴是经过点,(1,，,4),，且平行于,y,轴的直线，,m,n,1,1,m,，化简，得,2,m,n,2.,方法总结：,已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式,例,3,要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,.,在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为,1m,处达到最高,高度为,3m,水柱落地处离池中心,3m,水管应多长,?,C(3,0),B(1,，,3),A,x,O,y,1,2,3,1,2,3,解,:,如图建立直角坐标系,点,(1,3),是图中这段抛物线的顶点,.,因此可设这段抛物线对应的函数是,这段抛物线经过点,(3,0),，, 0=,a,(3,1),2,3.,解得,:,因此抛物线的解析式为,:,y,=,a,(,x,1),2,3 (0,x,3).,当,x,=0,时,y,=2.25.,答,:,水管长应为,2.25m,.,3,4,a,=,y,= (,x,1),2,3 (0,x,3),3,4,向左平移,1,个单位,1,2,3,4,5,x,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,1,y,O,-1,-2,-3,-4,-5,-10,怎样移动抛物线 就可以得到抛物线,？,平移方法,1,向下平移,1,个单位,1,2,3,4,5,x,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,1,y,O,-1,-2,-3,-4,-5,-10,怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？,平移方法,2,向左平移,1,个单位,向下平移,1,个单位,可以看作互相平移得到的,.,y,=,ax,2,y,=,ax,2,+,k,y,=,a,(,x,+,h,),2,y,=,a,(,x,+,h,),2,+,k,上下平移,左右平移,上下平移,左右平移,平移规律,简记为：,上下平移，,括号外上加下减；,左右平移，,括号内左加右减,.,二次项系数,a,不变,.,要点总结,1.,请回答抛物线,y,= 4(,x,3),2,7,由抛物线,y,=4,x,2,怎样平移得到,?,由抛物线向上平移,7,个单位再向右平移,3,个单位得到的,.,2.,如果一条抛物线的形状与 形状相同，且顶点坐标是,（,4,，,-2,），,试求这个函数关系式,.,练一练,二次函数,开口方向,对称轴,顶点坐标,y,=2(,x,+3),2,+5,向上,( 1,2 ),向下,向下,( 3 , 7),( 2 ,6 ),向上,直线,x,=,3,直线,x,=1,直线,x,=3,直线,x,=2,(,3, 5 ),y,=,3(,x,1),2,2,y,= 4(,x,3),2,7,y=,5(2,x,),2,6,1.,完成下列表格,:,当堂练习,2.,把抛物线y=,-,3,x,2,先向上平移,2,个单位，再向右平移,1,个单位