晶体结构和对称性

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,晶体结构和对称性,第三章：晶体构造和对称性,根本要求：,1、理解晶体构造的周期性和点阵;,2、掌握晶体构造的宏观对称性和微观对称性，理解它们的区别和联系;,3、了解空间群的推导及表达。,2.1 晶体构造的周期性和点阵,水晶SiO2,岩石(CaCO,3,),钻石C,绿 宝 石,(Be,3,Al,2,(SiO,3,),6,),蓝宝石和红宝石,Al2O3-Cr,黄铁矿 (FeS,2,),晶体的实际应用价值人工晶体产业化,经世致用,福建福晶科技股份,食盐,雪花,晶体 Crystal 源于希腊文“干净的冰晶,晶体性质 晶体构造 晶体对称性,由原子、分子或离子等微粒在空间按一定规律、周期性重复排列所构成的固体物质。,长程有序,1、晶体的定义 ：,非晶态构造示意图,晶态构造示意图,一、 晶体的构造特征,2 晶体的共性,晶体的均匀性与各向异性,均匀性：晶体的一些与方向无关的量如密度、化学组成等在各个方向上是一样的；,各向异性：晶体的一些与方向有关的量如电导、热导等在各个方向上并不一样.例如, 云母的传热速率, 石墨的导电性能等,非晶体的各种性质均具有均匀性, 但与晶体的均匀性的起源并不一样, 前者是等同晶胞在空间按同一方式重复排列的结果, 而后者那么是质点的杂乱无章排列所致.,(1),晶体(a)与非晶体(b)的步冷曲线,固定熔点锐熔性,晶体具有固定的熔点, 反映在步冷曲线上出现平台, 而非晶体没有固定的熔点, 反映在步冷曲线上不会出现平台.,(2),(2),2 晶体的共性,(3),晶体的自范性凸多面体,F+V=E+2,Face(晶面数)， Vertex顶点数，Edge晶棱数,多面体,欧拉定理,(,Euler Theorem,),2 晶体的共性,(4),晶体的对称性,晶体的理想外形和晶体内部构造都具有特定的对称性，晶体的对称性和晶体性质的关系非常密切。,晶体性质 宏观对称性 微观对称性,2 晶体的共性,(5),晶体对 X 射线的衍射性,2d,hkl,sin, = ,晶体构造的周期大小和X射线波长相当。,Mo靶： 0.71073 ,Cu靶： 1.5406 ,劳伦斯布拉格与亨利布拉格,不同,n,值对应的衍射点可看成晶面距离不同的晶面的衍射.如，,hkl,晶面在,n,=2,时的衍射和,2h2k2l,晶面在,n,=1,时的衍射点等同。,n,2 晶体的共性,周期性的两要素,重复的大小与方向点阵,周期性重复的内容构造基元,构造基元 ( Structural Motif ),每个点阵点所代表的具体内容包括粒子的种类、数量及其在空间的排列方式等.,二、 晶体的点阵构造和构造基元,Lattice,Structural,Motif,晶体构造,2 晶体构造的点阵理论,周期性与点阵,(1),为了讨论晶体周期性，不管重复单元的具体内容,将其抽象为几何点无质量、无大小、不可区分)，那么晶体中重复单元在空间的周期性排列就可以用几何点在空间排列来描述。,构成点阵的几何点称为点阵点，简称阵点。,用点阵的性质来研究晶体的几何构造的理论称为点阵理论.,构成点阵的条件：,阵点数无穷大(阵点是无限的)；,每个阵点周围具有一样的环境；,平移后能复原。,平移：所有点阵点在同一方向移动同一距离且使图形复原,的操作。,按连接其中任意两点的向量进展平移能够复原的一组点, 称为点阵.,点阵的定义和构成点阵的条件,(),点阵的定义,相邻两阵点的矢量,a,a,是这直线点阵的单位矢量, 长度称为点阵参数, 因是平移时阵点复原的最小距离, 故,a,为平移素向量.,直线点阵,A,以直线连接各个阵点形成的点阵。,直线点阵中连接任意两相邻阵点的向量称素向量根本向量。,(3),常见点阵形式,一维周期排列的构造及其点阵,如何从点阵构造中抽取点阵是从具体到抽象的过程. 只有从点阵的定义出发, 来判断抽出的点是否构成点阵.,点阵是晶体构造周期性的几何表达.,平移群那么是代数表达.,直线点阵对应的平移群,直线点阵,A,最简单的情况是等径圆球密置层. 每个球抽取为一个点. 这些点即构成平面点阵.,平面点阵,B,在二维方向上排列的阵点, 即为平面点阵.,平面点阵可划分为一组相互平行的直线点阵, 选择两个不平行的单位向量,a,和,b,可将平面点阵划分为并置的平行四边形单位, 称为平面格子.,平面点阵,B,顶点上的阵点，对每个单位的奉献为1/4；边上的阵点，对每个单位的奉献为1/2；四边形内的阵点，对每个单位的奉献为1。,平面格子中的每一个平行四边形称为一个单位。,在平面格子中，,a,b,的选取方式不同，平面格子的划分就不同。,当一个格子中只有一个点阵点时, 称为素格子；,当一个格子中含有一个以上点阵点时, 称为复格子,平面点阵对应的平移群,平面点阵,B,划分平面格子的规那么,格子划分不能是任意的, 应尽量选取具有较规那么的形状的、面积较小的平行四边形单位. 按此原那么划分出的格子称为正当格子.,平面正当格子只有 4 种形状 5 种型式,选取三个不平行、不共面的单位向量,a,b,c,可将空间点阵划分为空间格子。空间格子一定是,平行六面体,。,空间点阵,C,向三维方向伸展的点阵称为空间点阵.,空间点阵与正当空间格子,顶点的阵点，对每单位奉献1/8；边上的阵点，对每单位奉献1/4；面上的阵点，对每单位的献1/2；六面体内的阵点，对每单位奉献1。,空间点阵对应的平移群,划分空间正当格子(Bravais )的原那么,正当空间格子只有 7 种形状 14 种型式。,空间点阵,C,要能充分反映整个空间点阵的周期性和对称性； 在满足的根底上，单胞要具有尽可能多的直角； 在满足、的根底上，所选取单胞的体积要最小。,说明：数学固体物理中格子的选取只注意反映点阵构造的周期性体积最小，不反映晶体构造的对称性。,三斜,a,P,(4),十四种布拉维(Bravais )格子,单斜,m,P,单斜,m,C,(4),十四种布拉维(Bravais )格子,正交,o,P,正交,o,F,正交,o,C,正交,o,I,(4),十四种布拉维(Bravais )格子,三方R (,h,R),(4),十四种布拉维(Bravais )格子,六方H hP,(4),十四种布拉维(Bravais )格子,四方,t,I,四方,t,P,(4),十四种布拉维格子,简单,c,P,立方,c,I,立方,c,F,(4),十四种布拉维(Bravais )格子,正当空间格子布拉维格子只有 7 种形状 14 种型式。,a, b, c, ,七大晶系,(crystal systems),立方,六方,四方,三方,正交,三斜,单斜,晶系,格子参数,高,中,低,c,h,t,h,o,m,a,(晶族,对称性由强到弱的顺序：,立方六方三方四方正交单斜三斜,晶体的对称性有宏观对称性和微观对称性之分，前者指晶体的外形对称性，后者指晶体微观构造的对称性。,2.2 晶体对称性,四面体,六方柱,六角形,1. 晶体的宏观对称元素,晶体的对称性与有限分子的对称性一样也是,点对称,，具有,点群,的性质。,1、旋转轴,2、镜面反映面,3、对称中心,对称元素：,1、旋转,2、反映,3、倒反,对称操作：,但由于习惯的原因，讨论晶体对称性时所用的对称元素和对称操作的符号和名称与讨论分子对称性时不完全一样。,虚操作,分子对称性,晶体宏观对称性,对称元素及符号,对称操作及符号,对称元素及符号,对称操作及符号,对称轴,旋转,旋转轴,旋转,对称面,反映,反映面或镜面,反映,对称中心,反演,对称中心,倒反,象转轴,旋轴反映,反轴,旋转倒反,中 为基转角.,晶体宏观对称性与分子对称性中对称元素与对称操作对照表,实操作,n,P,=,2,a,n,在分子点群中有象转轴 ,其对称操作是旋转反映。,在晶体中反轴 ，对应的操作是先绕轴旋转 ，再过轴的中心进展倒反。,晶体学中我们常用,反轴,而不用,象转轴,。,由此可知， 与S,n,都属于复合对称操作，且都由旋转与另一相连的操作组合而成。,关于旋转反映轴与反轴的说明,n,P,2,I,用映轴表示的对称操作都可以用反轴表示，所以在,新的晶体学国际表中只用反轴,。,所有的点对称操作,实际上可以简单的分为,简单旋转操作,和,旋转倒反操作,两种。,恒等操作就是一次真旋转轴；倒反中心为一次反轴；镜面为二次反轴；所有映轴都可以用等价反轴表示。,关于旋转反映轴与反轴的说明,旋转倒反轴和旋转反映轴之间存在简单的一一对应关系，旋转角度为,q,的反轴和旋转角为(,q-p,)的映轴是等价的对称轴,。这一关系也很容易从他们的表示矩阵看出。,晶体的宏观对称性和组成该晶体的分子对称性是两个不同层次的对称性问题，两者不一定一样。,例如,苯分子的正六边形构造为D6 h群，而晶态苯的正交构造为D2 h点群，两者显然不同。,晶体宏观对称性与分子对称性的说明,晶体的宏观对称性与有限分子对称性最本质的区别是：晶体的点阵构造使晶体的宏观对称性受到了限制，表现在两方面：,在晶体的空间点阵结构中，,任何对称轴,(包括旋转轴、反轴以及以后介绍的螺旋轴)都必与一组,直线点阵平行，,与一组,平面点阵垂直,(除一重轴外)；,任何对称面,(包括镜面及微观对称元素中的滑移面)都必与一组,平面点阵平行，,而与一组,直线点阵垂直,。,晶体宏观对称性受到的限制,晶体中的对称轴(包括旋转轴,反轴和螺旋轴)的,轴次n,并不是可以有任意多重，n仅,为1,2,3,4,6,，即在晶体结构中，任何对称轴或轴性对称元素的轴次只有一重、二重、三重、四重和六重这五种，不可能有五重和七重及更高的其它轴次，这一原理称为“,晶体的对称性定律,”。,由于点阵构造的限制，晶体中实际存在的独立的宏观对称元素总共只有八种。,晶体宏观对称性受到的限制,对称元素,国际符号,对称操作,等同元素或组合成分,对称中心,倒反,反映面(镜面),反映,一重旋转轴,旋转,二重旋转轴,旋转,三重旋转轴,旋转,四重旋转轴,旋转,六重旋转轴,旋转,四重反轴,旋转倒反,晶体中的宏观对称元素,1,2,3,4,6,1,2,3,1,2,3,3,晶体宏观对称元素的组合,晶体的独立的宏观对称元素只有八种，但在某一晶体中可以只存在一个独立的宏观对称元素，也可能有由一种或几种对称元素按照组合程序及其规律进展合理组合的形式存在。,(1)晶体多面体外形是有限图形，故对称元素组合时必通过质心，即通过一个公共点。,(2)任何对称元素组合的结果不允许产生与点阵构造不相容的对称元素，如5、7、。,晶体中，宏观对称元素组合时，必受以下两条的限制：,晶体宏观对称元素的组合,组合程序：,1组合时先进展对称轴与对称轴的组合，,2再在此根底上进展对称轴与对称面的组合，,3最后为对称轴、对称面与对称中心的组合。,按照以上程序及限制进展组合，我们可以得到的对称元素系共32种，即32个晶体学点群晶体的对称性只有32种，尽管自然界中晶体的外形多样。,点群的Schnflies符号,C,n,:,具有一个n次旋转轴的点群。,C,nh,:,具有一个n次旋转轴和一个垂直于该轴的镜面的点群。,C,nv,:,具有一个n次旋转轴和n个通过该轴的镜面的点群。,D,n,:,具有一个n次旋转主轴和n个垂直该轴的二次轴的点群。,S,n,:,具有一个n次反轴的点群。,T:,具有4个3次轴和3个2次轴的正四面体点群。,O:,具有3个4次轴,4个3次轴和6个2次轴的八面体点群。,32种点群的表示符号及性质,1.,旋转,轴(C=cyclic) ：,C,1,C,2, C,3, C,4, C,6,;,1,2,3,4,6,2.,旋转轴加上,垂直于该轴的,对称平面：,C,1h,=C,s, C,2h,C,3h,C,4h,C,6h,;,m,2/m,3/m ( ) ,4/m,6/m,3.,旋转轴加通过该轴的镜面：,C,2v,C,3v,C,4v,C,6v,;,mm2,3m,4mm,6mm,4.,旋转反演,轴,S,2,= C,i,S,4,S,6,=C,3d,;,-1,-4,-3,5.,旋转,轴(n),加,n,个垂直于该轴的二次,轴：,D,2,D,3,D,4,D,6,;,222,32,422,622,轴(n),加,n,个垂直于该轴的二次,轴,和镜面,：,D,2h,D,3h,D,4h,D,6h,;,mmm,3/mm,4/mm,6/mmm,7. D群,附加,对角竖直平面：,D,2d,D,3d,;,-42m,-3m,8. 立方体群(T=tetrahedral， O=octahedral),T, T,h, O, T,d, O,h,;,23,m3,432,-43m,m3m,32种点群的表示符号及性质,32种点群的对称元素及实例,32种点群的对称元素及实例,特征对称元素,由于晶胞或空间点阵的小平行六面体都是不可能直接观察到的内部微观构造，而特征对称元素却是它们在整个晶体外形上的反映，是能够直接观察到的，所以特征对称构造可以作为实际划分晶体的依据。,在32晶体学点群中，某些点群均含有一种一样的对称元素，如T、Th、 Td 、O和Oh五个点群都有4个3，C2v、D2和D2h三个点群都有2，这样的对称元素叫做特征对称元素。,七大晶系的特征对称元素,晶系,特征对称元素,三斜,无或反演中心,单斜,唯一的2次轴或镜面,正交,三个相互垂直的2次旋转轴或反轴。,三方,唯一的3次旋转轴或反轴。,四方,唯一的4次旋转轴或反轴。,六方,唯一的6次旋转轴或反轴。,立方,沿晶胞体对角线的四个3次旋转轴或反轴,特征对称元素：晶系的划分和选晶轴的方法,特征对称元素：晶系的划分和选晶轴的方法,不同晶系中的标准单胞选择规那么,晶系,标准单胞选择,变通单胞选择,三斜,晶轴间交角尽可能接近直角，但,90,。,容许轴间交角,=,90,单斜,Y轴平行于唯一的二次轴或垂直于镜面，,b,角尽可能接近直角。,同标准选择，但Z轴代替Y轴，,g,角代替,b,角。,正交,晶轴选择平行于三个相互垂直的2次轴（或垂直于镜面）。,无,四方,Z轴总是平行于唯一的4次旋转（反演）轴，X和Y轴相互垂直，并都与Z轴成直角。,无,六方/三方,Z轴总是平行于唯一的3次或6次旋转（反演）轴，X和Y轴都垂直于Z轴，并相互间交角为120,。,在三方晶系，三次轴选为初基单胞的对角线，则a=b=c,a=b=g,90,。,立方,晶轴总选为平行于三个相互垂直的2次轴或4次轴，而四个三次轴平行于立方晶胞的体对角线。,无,32个点群的意义在于不管晶体形状及多样性如何复杂, 但它的宏观对称性必属于32个点群中的某一个, 绝不会找不到它的对称类型. 32个点群是研究晶体宏观对称性的依据, 也是晶体宏观对称性可靠性的系统总结.,点群的意义,点群与物理性质,从晶体的点群对称性，可以判明晶体有,无对映体、旋光性、压电效应、热电效应、倍频效应,等。,旋光性,出现在15种不含对称中心的点群。,热电性,出现在10种只含一个极性轴的点群。,压电性,出现在20种不含对称中心的点群(432除外)。,倍频效应,出现在18种不含对称中心的点群。,反过来，在晶体结构分析中，可以借助物理性质的测量结果判定晶体是否具有对称中心。,晶体构造最根本的特点是具有空间点阵构造。因此除旋转、反映、反演、旋转反映等操作外，晶体构造还包括三类平移相关的操作：,点阵(平移轴),螺旋轴,滑移面,对称元素：,对称操作：,平移操作,螺旋旋转操作,反映滑移操作,由于晶体的微观对称操作受点阵的制约，因此只有1，2，3，4，6次轴，滑移面和螺旋轴中的滑移量，也要受点阵的制约。,微观对称操作宏观对称操作+平移操作,微观对称性和宏观对称性的主要区别,2、点阵和平移操作,点阵反映了晶体构造的周期性，这种周期性也就是点阵的平移复原的特性。,对于点阵，连接任意两个阵点的位置矢量：,R = ma + nb + pc,进展平移可以使点阵复原，表现在晶体构造上就是使在三维空间无限伸展的一样局部得以重复。R可以定义为晶体微观构造平移的方向矢量。,对复格子，在单胞之内附加点阵点位置由一套带心操作描述：,底心(C)：,在, ,0,有附加的点阵点,体心(I),：在, ,附加的点阵点；,面心(F)：,在,0 、,0,和, ,0,有附加的点阵点；,带心类型,符号,带心矢量(s),每单胞阵点数,面心,F,a,+,b,a,+,c,b,+,c,4,体心,I,a,+,b +,c,2,底心（侧面心）,C,a,+,b,2,B,a,+,c,A,b,+,c,带心操作,3、螺旋轴和螺旋旋转操作,螺旋旋转操作：先绕轴进展逆时针方向2/n的旋转，接着作平行于该轴的平移，平移量为t=(p/n) T，这里T是平行于转轴方向的最短的晶格平移矢量(素向量)，符号为np， n称为螺旋轴的次数(n可以取值2 ,3, 4, 6)，而p只取小于n的整数。,晶体中共有以下11种螺旋轴：,21，31，32，41，42，43，,61，62，63，64，65,螺旋旋转操作为旋转和平移的复合操作。,二次螺旋轴,2,1,T,t,螺旋轴 2,1,，3,1,，3,2,，6,3,3,1,和3,2,彼此对映。当其中之一是左手螺旋时，另一个为右手螺旋。,螺旋轴4,1,，4,2,，4,3,4,1,和4,3,彼此对映。当其中之一是左手螺旋时，另一个为右手螺旋。,螺旋轴6,1,，6,2,，6,3,，6,4,6,5,6,1,和,6,5,6,2,和,6,4,彼此对映。当其中之一是左手螺旋时，另一个为右手螺旋。,石英构造中的六次螺旋轴,石英的根本构造可以看成是硅氧四面体在三和六次螺旋轴附近的螺旋链 。 在如下左边其中一个三倍螺旋，右方显示的是螺旋连接构成晶体框架。,滑移反映面简称滑移面：先沿着某一平面进展反映，再平行于该平面平移一定距离，构造中的每个质点均与一样的质点重复。,4、滑移面和反映平移操作,反响平移操作为反映和平移的复合操作。,滑移反映改变了不对称单元的手性。,4、滑移面和反映平移操作,点阵的周期性要求,重复两次滑移反映,后产生的新位置,与起始位置相差一个点阵周期,，所以,滑移面的平移量,等于该方向,点阵平移周期的一半,。,对于晶体构造中的反映和平移复合操作，如平移分量为点阵平移矢量的分数值，那么进展反映操作所依据的平面就是滑移面。,m ,b,/2 = b,滑移面分类,轴向滑移面：沿晶轴(a、b， c)方向滑移，平移分量为轴向量一半；,对角滑移面：沿晶胞面对角线或体对角线方向滑移，平移分量为对角线一半n滑移面;,金刚石滑移面：沿晶胞面对角线或体对角线方向滑移，平移分量为对角线1/4 d滑移面 。只有在复格子底心、体心或面心中出现，这时有关对角线的中点也有一个阵点，所以平移分量仍然是滑移方向点阵平移点阵周期的一半。,对应的滑移面平移分量可以为：,滑移面大小,晶体构造中可能存在的对称元素,对称元素的图示和印刷符号1,对称元素的图示和印刷符号2,晶体构造中可能存在的对称元素,说明：点式操作和非点式操作,点式操作,：,在操作中保持空间中至少一个点不动的对称操作称为,点对称操作,，如旋转、反映和倒反是,点式操作,;,非点式对称操作：,使空间中所有点都运动的对称操作称为,非点式操作,；如,平移，螺旋转动和滑移反映,。,非点式对称操作,是由,点式操作,与,平移操作,复合后形成的新的对称操作，如,平移和旋转复合,能导出,螺旋旋转,，,平移和反映复合,能导出,滑移反映,。,空间群：是扩展到三维物体例如晶体的对称操作群，由点群对称操作和平移群对称操作组合而成，是晶体学空间对称操作的集合。,说明：,1、由旋转、反映、倒反和旋转倒反等点群对称性操作；以及平移、螺旋和滑移等平移操作组合而成；,2、空间群是一个单胞包含单胞带心的平移对称操作；,3、由 32 晶体学点群与 14个Bravais 格子组合而成。,2.3 空间群的推导及表达,晶体外形所具有的宏观对称元素，在微观晶体构造中，参加平移成分，可以表现为不同的微观对称元素。,宏观,微观,反映面,反映面,滑移面,旋转轴,旋转轴,螺旋轴,一样的宏观对称元素，那么可能表现为不同的微观对称元素；因此属于同一点群的晶体，可以属于不同的空间群。这种属于同一宏观点群的所有空间群，称为与该点群同形的空间群。,宏观对称元素与微观对称元素,二、空间群的推导,1、点式空间群,点式空间群：,由,14种布拉维格子,和,32点群,组合得到。,如单斜晶系,单斜,m,P,单斜,m,C,点群,：,2(,C,2,), m(,C,s,), 2/m(,C,2h,),空间群,：,P,2,P,m,P,2/m,C,2,C,m,C,2/m,(七大晶系共有,73,种点式空间群),2、非点式空间群,非点式空间群：在点式空间群的根底上，将旋转轴和镜面逐一地换成同形的对称元素旋转轴换成螺旋轴，镜面换成滑移面，然后去掉不可能的组合，把其中一样的归并到一起，得到非点式空间群。,例,可能的空间群：,P,2/,m,P,2,1,/,m,P,2/,c,P,2,1,/,c,C,2/,m,C,2,1,/,m,C,2/,c,C,2,1,/,c,。,单斜晶系中的 2/m C2h点群,可能具有 2 次轴，21 螺旋轴，m 镜面和 c滑移面这些对称性,(P和C格子,(七大晶系共有,157,种点式空间群),3、230个空间群,32个点群和 230 个空间群,32个点群和 230 个空间群,32个点群和 230 个空间群,32个点群和 230 个空间群,注：表中手性、非心、中心分别指该空间群属于手性、非中心对称或中心对称空间群。 星号表示该空间群可以由,系统消光规律,唯一确定。,系统消光规律,4、空间群分布和分类,三斜晶系： 2个； 单斜晶系：13个； 正交晶系：59个；,三方晶系：25个； 四方晶系：68个； 六方晶系：27个；,立方晶系：36个。,有对称中心90个，无对称中心非心140个 (含65个手性群)。,73 个点式群 (symmorphic) ， 157个非点式群 (non-symmorphic) 。,三、等效点系,1、定义：由于空间群对称性的要求，在晶胞中某个坐标点有一个原子时，必然在另外一些坐标点也要有一样的原子。这些由对称性联系起来，彼此对称等效的点，称为等效点系。,P,2,1,/,c,(NO. 13)等效点系,1,2,3,4,2、Wyckoff位置,Wyckoff位置告诉我们在晶体中何处可以找到原子。,比方：单斜空间群Pm 仅有垂直于b轴的二个镜面。 一个在y = 0，另一个在y = 位置。,通过镜面操作，在x， y， z的原子 -在x， - y， z,第二个原子。如果我们安置原子在其中一个镜面(它的Y座标将必须是0或)，镜面反射操作就不会产生第二个原子。,1Wyckoff位置：等效点系在国际空间群表中表示为Wyckoff位置 ，它是最有用的信息之一。,多重性 multiplicity ：告诉我们如果安置一个特定原子在该位置，经过空间群的所有对称操作，总共会产生多少个原子。,记号 letter 是从高对称性位置开场按英文字母顺序指定的位置标记。a, b, .,对称 symmetry 告诉我们原子所在之处具有的对称元素。,2、Wyckoff位置说明,例：,Pm,空间群的 Wyckoff位置,多重性,Wyckoff记号,点对称,坐标,2,c,1,x， y， z,(2) x， - y， z,1,b,m,x，,， z,1,a,m,x， 0， z,在晶体构造描述中，经常把多重性和Wyckoff记号结合在一起作为等效位置的名称。如把Pm空间群中的等效点位置称为1a,1b,2c 等。,一般位置：空间群表里最先列出的Wyckoff位置，,不处在任何一个对称元素上的位置；,一般位置具有最高多重性M。初级晶胞中M等于点群的对称操作总数；带心晶胞M等于点群的阶数乘以晶胞中的阵点数。,在一般位置的原子总具有三个位置自由度，它的三个分数坐标都可以独立变化。,特殊位置：所有不在一般位置的。,处于一个或多个对称元素上的位置；,其多重性是一般位置多重性的公因子，即比一般位置小一个整数倍。,特殊位置的分数座标中必有一个或多个是不变的常数。,3、Wyckoff位置中的一般位置和特殊位置,1、Herman-Mauguin空间群符号国际符号,空间群是经常用简单Herman-Mauguin符号(即Pnma、I4/mmm等)来指定。 在简单符号中包含能产生所有其余对称元素所必需的最少对称元素。,从简单H-M符号，我们可以确定晶系、Bravais点阵、点群和某些对称元素的存在和取向反之亦然。,四、空间群的表达,第一字母(L)是点阵描述符号，指明点阵带心类型： P， I， F， C。,其于三个符号(S1S2S3)表示在特定方向对每种晶系分别规定上的对称元素。,如果没有二义性可能，常用符号的省略形式 (如Pm，而不用写成P1m1)。,2、H-M符号国际记号形式: LS1S2S3,从对称元素获得H-M空间群符号，规那么如下：,符号中，第一个斜体大写字母表示Bravais点阵的种类，其后最多三个位置，表示主要的对称操作，字母小写用斜体，数字用正体，螺旋轴的平移分量为下标。,国际记号的格式：,C,2/,c,、,Pnma,* 由于不同的晶轴选择和标记，同一个空间群可能有几种不同的符号。如,P,2,1,/,c,如滑移面选为在a方向，符号为,P,2,1,/,a,;如滑移面选为对角滑移，符号为,P,2,1,/,n,。,3、空间群中特定符号的说明,空间群中特定符号的说明,各晶系空间群国际记号中三个位置代表的方向,立方第2个对称符号： 3 或 3 (如： Ia3, Pm3m, Fd3m),四方第1个对称符号： 4, 4 , 41, 42 或 43 (如： P41212, I4/m, P4/mcc),六方第1个对称符号： 6, 6 , 61, 62, 63, 64 或 65 (如： P6mm, P63/mcm),三方第1个对称符号： 3, 3 ，31 或 32 (如： P31m, R3, R3c, P312),正交点阵符号后的全部三个符号是镜面，滑移面，2次旋转轴或2次螺旋轴 (即Pnma, Cmc21, Pnc2,单斜点阵符号后有唯一的镜面、滑移面、2次旋转或者螺旋轴，或者轴/平面符号(即Cc、P2、P21/n)。,三斜点阵符号后是1或(- 1)。,4、从空间群符号识别晶系,5、国际晶体学表-A卷,国际表中的空间群P2,1,/c,P2,1,/c,P2,1,/c的图示,点群可以从简单H-M符号通过以下变换得出：,1.去掉布拉维格子的符号；,2.镜面不变，把所有滑移面全部转换成镜面；,3.旋转反轴不变，把所有螺旋轴全部转换成旋转轴。,例如：,空间群= Pnma 点群= mmm空间群= I 4c2 点群= 4m2空间群= P42/n 点群= 4/m,6、从空间群符号确定反推点群国际符号,D,2h,C,4h,D,2d,7、不对称单位 Asymmetric Unit ,为描述构造，只需确定晶胞中每套等效点系中的一个原子的坐标，这套等效点系中的其它原子的位置就可以从空间群对称操作推出。,不对称单位：是当应用全部空间群的对称操作(平移+点对称操作) 后可以填充整个空间的最小空间区域。 在结晶学里，不对称单位可以包含一个原子或一组原子或分子。,1构造基元和点阵点代表的内容相应，在初基晶胞P格子中，整个晶胞构成一个构造基元；但构造基元单胞可以包含几个不对称单位。,2 不对称单位经过空间群全部对称操作平移+点对称操作产生整个空间构造。构造基元只需空间群的平移操作就可以产生整个空间构造。,构造基元和不对称单位的区别,本章小结,只要愿意，天地任你驰骋！,汇报完毕,谢谢大家,!,请各位批评指正,110,Thank You !,不尽之处，恳请指正！,