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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第5章 连续系统的S域分析,5.1 拉普拉斯变换,第五章 连续系统的S域分析,5.2 拉普拉斯变换的根本性质,5.3 拉普拉斯逆变换,5.4 复频域分析,引言,频域分析法缺点：,1、有些信号的傅里叶变换不存在；,2、傅里叶分析求逆变换过程比较繁琐。,由第四章知道连续时间系统的频域分析为,系统冲激响应,其傅里叶变换式 收敛，那么信号f(t)的,傅里叶变换存在。,5.1 拉普拉斯变换,laplace transform,一、从傅里叶变换到双边拉普拉斯变换,当函数,f,(,t,)满足绝对可积条件,但若 （ 为实数）收敛，,收敛因子,则 满足绝对可积条件，其傅里叶变换是：,那么 满足绝对可积条件，其傅里叶变换是：,令 ，则上式为：,因积分区间包含时间轴的左右两边，故称 是信号,的双边拉普拉斯变换， 是 的,像函数,。,的,逆变换,衰减因子,振荡因子,二、拉普拉斯变换的收敛区,一般指数阶函数且具有分段连续性质的 ，其拉氏变,换存在。,ROC(region of convergence) of the Laplace transform,收敛区：,使 满足绝对可积条件的 值的范围。,在收敛区内， 拉氏变换存在，在收敛区外， 拉氏,变换不存在。,指数阶函数 ：,为 的收敛域,0,收敛轴,例1：求 的双边拉斯变换。,解：收敛域,使,0,收敛轴,因果信号(有始信号),例2：求 的双边拉斯变换。,解：收敛域,使,0,收敛轴,反因果信号,例3：求 的双边拉斯变换 。,解：收敛域,使,收敛轴,收敛轴,双边信号,1因果信号，收敛域,2反因果信号，收敛域,3双边信号，收敛域,（4）,有界信号 ，收敛域,因果信号,the unilateral Laplace transform,三、单边拉普拉斯变换,1、定义,拉普拉斯单边变换,拉普拉斯单边逆变换,3、如果,是有始函数，单边拉氏变换和双边拉氏变换相等。,说明：,4、,拉氏变换存在的充分条件： 在 时，分段连续，,且满足,1、,S,是复参数， ， 是以 为自变量的复变函数。,2、,积分下线定为 ，是为了包括 。,解：收敛域,解：收敛域,5.2 拉普拉斯变换的根本性质,properties of laplace transform,1、线性性质,其中 是常数,2、尺度变换,3、时移性质,注意：是 ，而不是,1,t,0,f(t),t,0,例6：求图所示波形的拉氏变换,4、频域平移性质,5、时域微分性质,6、时域积分性质,线性时不变系统零状态响应,7、时域卷积定理,8、复卷积定理,设函数 及其导数 存在，并有LT存在，那么,的初值为,9、初值定理,为真分式,10、终值定理,设 及 存在，并有LT，且 的所有极点都,位于S左半平面内（包括原点处的单极点）,注意：对 极点的限制主要是保证 存在，,只有终值存在才能用此定理。,例10：求以下 所示的 的初值和终值,由于,F,(,s,),在右半平面有极点,s=,1，故,f,(,t,),终值不存在。,由于,F,(,s,),在,j,轴上有一对共轭极点,s=,j,，故,f,(,t,),终值不存在。,11、S域微分与积分,12、时参量微分与积分,条件是： 和 的LT变换存在,5.3 拉普拉斯反变换,inverse laplace transform,在线性电路中，相应信号的拉氏变换一般是s的有理函数,当 时，整理,为真分式,的展开式,有单实根,有一对共轭单根,有单实根,解：nm不能直接用局部分式法。化成真分式,5.4 复频域分析,拉氏变换是分析连续系统的有力数学公式，对求解微积分方程非常方便，并能将初始状态包含于象函数方程，求全响应。,一、微分方程的变换解,例 5 线性系统的微分方程为,求系统的零输入响应,y,x,(t),、零状态响应,y,f,(t),和完全响应,y,(,t,)。,解：,二、系统函数,1、定义,零状态响应,鼓励,2、系统函数和冲激响应,系统函数能全面地,反映线性常系数系,统的固定特性,例6、描述某线性时不变系统的输入输出方程为,求该系统的冲激响应 。,加法器:,三、系统的s域框图,1、根本单元,乘法器:,初始条件为零的积分器,初始条件不为零的积分器,2、并联系统,3、级联系统,例7、某线性系统的模拟框图如下，假设输入 ，,求其对应微分方程，冲激响应，零状态响应 。,输出端求和器,将式1代入,四、电路的s域模型,电感复频域阻抗,电容复频域阻抗,例8、如图示电路已处于稳态，t=0时开关k由“1到“2，试求,输出电压uo(t) ，零输入响应uozi(t)，零状态响应uozs(t),解：1初始条件,2鼓励的拉氏变换,4列出b的节点方程,列出c的节点方程,列出c的节点方程,5求响应,
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