资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第3章 多维随机变量及其分布,3.1,多维随机变量及其分布,一、多维随机变量及其分布函数,对于随机向量，不仅要研究每个分量的概率分布，而且还要考察它们之间的联系，因而需要考虑它们的联合分布。与一维的情况类似，我们也借助于“分布函数”来研究随机向量的概率分布。,n维随机变量,其中第,i,个随机变量,X,i,称为第,i,个分量（,i=1,2,n),。,分布函数,由于对二维随机向量和二维以上的随机向量的讨论没有本质差异，所以下面只讨论二维随机变量,有关方法和结论可平行推广至n维随机变量情形。,图示,定义,二、二维随机变量,实例,1,炮弹的弹着点的位置,(,X,Y,),就是一个二维随机变量.,二维随机变量,(,X,Y,),的性质不仅与,X,、,Y,有关,而且还与这两个随机变量的相互关系有关.,实例,2,考查某一地区学前儿童的发育情况, 则儿童的身高,H,和体重,W,就构成二维随机变量,(,H,W,).,说明,1.,分布函数的定义,二维随机变量的分布函数及边缘分布函数,2.,分布,函数,的性质,且有,证明,反之，任一满足上述四个性质的二元函数,F(x, y)都,可以作为某个二维随机变量(X, Y),的分布函数。,图示记忆法,。,为随机变量,(,X,Y,),关于,Y,的边缘分布函数.,例,1,.设（,X,Y）,的分布函数为,1.A，B，C？2.,关于,X,和,Y,的边缘分布函数 .,3.,解：由分布函数的性质：,三、二维离散型随机变量及其分布律,若二维随机变量,(,X,Y,),所取的可能值是有限对或可列多对,则称,(,X,Y,),为二维离散型随机变量.,1. 定义,2. 二维离散型随机变量的分布律,二维随机变量,(,X,Y,),的分布律也可表示为,解,且由乘法公式得,例,2,例,3,一个袋中有三个球,依次标有数字,1, 2, 2,从中任取一个, 不放回袋中,再任取一个,设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以,X,Y,分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字,求,(,X,Y,),的分布律与分布函数.,(,X,Y,),的可能取为,解,故,(,X , Y,),的分布为,下面求分布函数.,所以,(,X ,Y,),的分布为,说明,离散型随机变量,(,X ,Y,),的分布函数归纳为,离散型随机变量的边缘分布律,例,4,已知下列分布律求其边缘分布律.,注意,联合分布,边缘分布,解,解,（*）例3,样本点,四、连续型随机变量及其概率密度,1. 定义,2. 性质,表示介于,f,(,x, y,),和,xOy,平面之间的空间区域的全部体积等于1.,3. 几何意义,例5,解,(2) 将,(,X,Y,),看作是平面上随机点的坐标,即有,二维均匀分布和二维正态分布,1. 二维均匀分布,定义,设,D,是平面上的有界区域,其面积为,S,若二维随机变量,(,X,Y,),具有概率密度,则称,(,X , Y,),在,D,上服从均匀分布.,例,6,已知随机变量,(,X,Y,),在,D,上服从均匀分布,试求,(,X,Y,),的概率密度及分布函数,其中,D,为,x,轴,y,轴及直线,y,=,x,+1,所围成的三角形区域 .,解,所以,(,X,Y,),的分布函数为,2.,二维正态分布,若二维随机变量,(,X,Y,),具有概率密度,二维正态分布的图形,连续型随机变量的边缘分布,同理可得,Y,的边缘分布函数,Y,的边缘概率密度.,解,例,7,例8(练) 设(,X,Y,)的概率密度是,求 (1),c,的值； （2）两个边缘密度。,=5,c,/24=1,c,=24/5,解：(1),由,确定,c,例8 设(,X,Y,)的概率密度是,解: (2),求 (1),c,的值; (2) 两个边缘密度 .,注意积分限,注意取值范围,x,y,0,1,y=x,例8 设(,X,Y,)的概率密度是,解: (2),求 (1),c,的值; (2) 两个边缘密度 .,注意积分限,注意取值范围,x,y,0,1,y=x,即,在求连续型,r.v,的边缘密度时，往往要求联合密度在某区域上的积分. 当联合密度函数是分片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限 .,例,9,解,由于,则有,即,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,同理可得,因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布不一定是二维正态分布.,
展开阅读全文