线性代数 欧式空间

,第五节 欧氏空间,R,n,一 内积,三,Gram-Schmidt,正交化方法,二 标准正交向量组,本节主要从几何的角度来讨论向量组的性质,一、内积的定义,对,n,维向量空间,R,n,中任意两个向量,定义了上述内积的向量空间称为,欧氏空间,定义其,内积,为,1,、内积的性质,2,、长度、夹角与单位向量的定义,为向量 的长度,长度：,称,夹角：,为向量,的夹角余弦，,为其夹角,单位向量：,长度为,1,的向量,.,非零向量的,单位化：,正交,几何中,垂直,概念的推广,二、标准正交向量组,1,、定义：,设,为欧氏空间中两个向量，若内积,则称 与,正交,或,互相垂直,，记作,注：, 零向量与任意向量正交,.,若一个向量组,中的向量两两正交，称该,向量组为正交向量组。假设每个向量的长度为1，那么称该,向量组为标准标准正交向量组。,注：,为标准正交向量组的充要条件是,定理：,若正交向量组,中不含零向量，则,线性无关。,证明：,对任意的,考虑如下等式：,等式两端与,作内积，且,故有：,注：,R,n,中不含零向量的正交组最多还有,n,个向量, 假设正交组含有rrn个向量，可以将其扩充,为含,n,个非零向量的正交组,例：,设,为,R,n,中,m,（,m,n,）,个非零正交向量，,则存在非零向量,X,，使,X,与,均正交,提示：,，进一步可得,故,A,的列向量组线性相关，即存在非零,X,满足,满足,标准正交基：,三、,Gram-Schmidt,正交化方法,设,1,2,m,是一组,线性无关,的向量，利用这组向量可,构造出,正交向量组。,1,、正交化,(1),令,1,=,1,；,(2),求,2,=,2,1,1,使,0=(,2,1,),=(,2,1,1,1,),= (,2,1,),1,(,1,1,) .,得,1,=,(,2,1,),/,(,1,1,),(3),求,3,=,3,1,1,2,2,使,=(,3,1,),1,(,1,1,)+,2,(,2,1,),0=(,3,1,),=(,3,1,1,2,2,1,),=(,3,2,),1,(,1,2,),2,(,2,2,),0=(,3,2,),= (,3,1,1,2,2,2,),得,(4),类似地，,得：,(,i,=1,2,m,),1,2, ,m,是,一组正交,向量,组。,2,、单位化：,则,1,2, ,m,是一组,标准,正交向量组,。,取,例：证明1=(1,2,1)T,2=(1,3,1) T,3=(4,1,0) T,为R3的一组基并用施密特正交化方法构造R3的一组标准正交基。,解：,那么r(A)=3.从而1,2,3 线性无关, 构成R3的一组基.,令,1,=,1,= (1,2,1),T,(1),正交,化,1,=(1,2,1),T,2,=(1,3,1),T,3,=(4,1,0),T,1,=(1,2,1),T,3,=(2,0,2),T,.,(2),单位化,则,1,2,3,是一组标准正交基。,那么称 A 为一个正交矩阵.,假设ATA=E (或AAT =E),例：,设,A,为,n,阶实矩阵,，,证明：A 的列行向量为标准正交向量组.,提示：,