现代电路分析第六章

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,第六章 动态非线性电路的定性、定量方法,6-4,非线性方程线性化及平衡点类型,6-3,相空间、轨道、平衡点,6-2,一阶非线性电路,6-5,李雅普诺夫直接法,6-6,周期解与极限环,6-7,摄动法,6-8,平均法,6-9,谐波平衡法,用一阶非线性微分方程描述的电路称为,一阶段非线性电路,。,一阶非线性的方程可用状态方程的形式描述,6-2,一阶非线性电路,状态变量：电容电压或电感电流,一阶非线性电路,非动态元件为非线性,动态元件为非线性,两者均为非线性,6-2,一阶非线性电路,一、 只含非线性电阻的一阶动态电路,(b),N,v,+,_,L,i,N,v,+,_,(a),C,i,非线性一阶电路,解题思路：,将一端口,N,的驱动点特性用分段线性化表示，则,DP,图中的每段折线都可用戴维宁（诺顿）模型表示，从而每一段折线可形成,一个等效的线性一阶电路,。,二、 动态元件为非线性的一阶电路,6-2,一阶非线性电路,动态元件特性的分段线性化,电容：,电感：,v,+,_,(a),C,i,v,+,_,C,i,v,s,+,_,(b),v,+,_,L,i,v,+,_,L,k,i,I,s,6-3,相空间、轨道、平衡点,一、基本概念,1,自治系统和非自治系统,一般形式的状态方程为,若系统是时不变的，且激励也不随,t,变化，上述方程中的,t,不以显含形式出现，即,（,6-3,）,（,6-4,）,描述的系统为,自治系统,描述的系统为,非自治系统,6-3,相空间、轨道、平衡点,一、基本概念,2,相空间、轨道、相图,n,维状态向量组成了,n,维空间称为,相空间。,式,6-3,或,6-4,的解,x,i,(,t,),在空间随,t,运动，当,t,为某一确定值时，它是相空间的一个点,相点,（对应,n,个坐标,x,1,x,2,x,n,），当,t,变化时，它是相空间的一条有向曲线，称为,轨道,。,相空间与向量,x,在空间中的轨道总称为,相图,。,6-3,相空间、轨道、平衡点,一、基本概念,3,自治系统具有时不变性,右端不显含,t,，具有时不变性。轨道取决于初始位置,x,0,，而与初始时刻,t,0,无关。,（,6-3,）,（,6-4,）,相空间中由不同初值决定的式,6-4,的轨道永不相交或就是同一条轨道。,对,6-3,式可能无数条轨道通过相空间的同一点。,6-3,相空间、轨道、平衡点,二、二阶自治系统、平衡点,二阶自治系统,只含,两个,状态变量，因此相空间是二维的，可在一个平面上进行分析研究，称为,状态平面,或,相平面,。,二阶自治系统的状态方程为：,x,=,X,(,x,y,),y,=,Y,(,x,y,),或,二阶自治系统使,X,(,x,y,)=0,、,Y,(,x,y,)=0,的坐标点称为,平衡点,。,由于,X,(,x,y,）,、,Y,(,x,y,),为非线性函数，可存在多个平衡点,6-3,相空间、轨道、平衡点,二、二阶自治系统、平衡点,图,6-8,L,C,串联电路,设线性电感,L,与非线性电容串联的二阶非线性电路如图,6-8,所示，其中非线性电容的库伏特性为,v,=,kq,+,q,3,。试确定,k,=1,和,k,=-1,时电路的相图和平衡点。,列写状态方程：,O,q,k,=1,时的相图,k,=-1,时的相图,k,=1,和,k,=-1,时的相图如下图所示：,6-3,相空间、轨道、平衡点,6-4,非线性电路方程的线性化及其平衡点类型,非线性方程的线性化方法,就是把给定的非线性方程在其平衡点或奇点附近予以线性化，而用所得线性方程确定非线性方程的轨道的形状。,一、非线性方程的线性化,对角型,若当型,共轭型,6-4,非线性电路方程的线性化及其平衡点类型,二、线性方程解的形式取决于平衡点的类型,A,的特征值,平衡点类型,1,，,2,为实数，,1,0,2,0,2,0,不稳定结点,1,，,2,为实数，,1,2,0,不稳定焦点,1,，,2,为共轭复数，,Re,1,0,存在,(,)0,使得对任何起始点,x,0,=,x,(,t,0,),只要距离,|,x,(,t,0,)-,x,s,|,且对所有的,t,都有,|,x,(,t,)-,x,s,|0,，则原点是,不稳定平衡点,。,6-6,周期解与极限环,一、基本概念,1,周期解,线性,二阶自治系统当系数矩阵特征值为,纯虚数,时，电路中可能建立并维持特定周期的周期震荡。当电路的初始值连续变化时，在相平面上将形成一系列不同的闭合轨道，它们对应电路的,周期解,。,6-6,周期解与极限环,一、基本概念,2,极限环,对于某些,非线性,电路，其中会建立起一种稳定状态，它在相平面上的轨道是闭合曲线，但该闭合轨道,不随电路的初始值变化,，与它相邻的各轨道，或者卷向它，或者卷出。这种,孤立的闭合轨道对应电路的周期振荡解，称为极限环,。,6-6,周期解与极限环,1,单一极限环的稳定性,稳定的极限环,对应电路中的,持续周期振荡,二、极限环的性质,6-6,周期解与极限环,半稳定的极限环,二、极限环的性质,1,单一极限环的稳定性,6-6,周期解与极限环,二、极限环的性质,对应电路中不能持,续存在的周期振荡,不稳定的极限环,1,单一极限环的稳定性,6-6,周期解与极限环,二、极限环的性质,2,多个极限环的稳定性,当有多个极限环，一般是,稳定与不稳定交替出现,：若环内是一不稳定平衡点，最内部环是稳定的，否则是不稳定的。,6-6,周期解与极限环,二、极限环的性质,2,多个极限环的稳定性,不稳定平衡点,稳定平衡点,C,2,:,稳定,C,1,:,不稳定,C,2,:,不稳定,C,3,:,不稳定,C,1,:,稳定,C,3,:,稳定,6-6,周期解与极限环,二、极限环的性质,3,软激励,软激励的相图,无论初始值怎样选取，在电路中都会建立起稳定的周期振荡，振荡现象自发地从静止起始而达到其稳定状态，把这种振荡现象称为,软（自）激励,。,6-6,周期解与极限环,二、极限环的性质,4,硬激励,稳定平衡点,如果电路是一个晶体管振荡器，在一定条件下当开关闭和后，必须施加一定大小的脉冲振荡器才能起振。这种现象称为,硬（自）激励,。,6-6,周期解与极限环,三、极限环存在的必要条件,1,庞加莱指数的概念,假设向量场中有一简单闭曲线,C,，且,C,上无平衡点。如果点,P,沿,C,正转（顺时针）一圈，向量场,V,与某固定方向的夹角的改变量为,2,I,(,I,为正负整数,),，则称,I,为闭曲线,C,的,庞加莱指数,。若,C,内只包含一个平衡点，则闭曲线,C,的指数,I,称为该,平衡点的指数,。,图,6-23,庞加莱指数,三、极限环存在的必要条件,1,庞加莱指数的概念,6-6,周期解与极限环,（,a,）中心,j=+1,（,b,）焦点,j=+1,三、极限环存在的必要条件,1,庞加莱指数的概念,6-6,周期解与极限环,（,d,）鞍点,j=-1,（,c,）结点,j=+1,6-6,周期解与极限环,三、极限环存在的必要条件,2,庞加莱定理,如果,极限环存在,，则内部至少有一个平衡点；如果没有平衡点，则一定不存在极限环；如果只有一个平衡点，且指数不为,+1,，则不存在极限环；如果只有一个指数为,+1,的平衡点，且平面上每条轨线多趋向于它，则极限环也不存在。,6-6,周期解与极限环,三、极限环存在的必要条件,3,Bendixson,定理,当在相平面的一个单连通区域,D,内表达式不变号，或不恒等于零时，在,D,内将不存在闭合轨道。,设给定一组微分方程：,x,=,X,(,x,y,),y,=,Y,(,x,y,),6-7,摄动法,一、引言,高阶非线性动态电路的稳态解,共四种形式,平衡点,周期,拟周期,混沌,6-7,摄动法,一、引言,1,弱非线性电路,6-17,式中,F,1,，,F,2,为非线性函数，,r,1,，,r,2,为非线性函数。当式中,1,时，此电路就称为,若非线性电路,，否则称为,强非线性电路,。,保守电路：,其产生的振荡受初始值的影响，而振荡的振幅和周期可以是任意的，它属于,非等时振荡,自治非线性电路,非保守电路：,可能存在一种与初始值无关的稳定振荡，这种,振荡有确定的振幅和周期,，是近似解析方法求解的对象,6-7,摄动法,一、引言,2,保守电路和非保守电路,6-7,摄动法,二、正规摄动法,正规摄动法,是将电路的解,x,展开为小参数,的幂级数。即,x,=,x,0,+,x,1,+,2,x,2,+ (6-24),其中,x,0,x,1,x,2,分别称为,x,的零次、一次、二次、,近似。当,充分小时，级数就很快收敛，所以只需取前面的二次、三次近似就可获得一定程度的准确解决。,6-7,摄动法,二、奇怪摄动法的多尺度法,引入多尺度变量,1,x,不仅依赖于,和,t,，也依赖于,T,1,T,2,，,2,6-8,平均法,平均法,是以求解弱非线性电路的微分方程,而建立的一种方法。,(6-59),6-9,谐波平衡法,谐波平衡法,是一种常用于求解周期激励下非线性电路中稳态周期解的方法。,对于二阶弱非线性非自治电路，其方程可表示为,(6-74),一般情况下，方程的解可以展开成傅里叶级数,（,6-75,）,用,谐波平衡原理,来求,x,(,t,),就是将式（,6-75,）代入式（,6-74,），在方程的两边按同次谐波进行整理，求得系数,a,0,a,n,b,n,即完成了求解。,