第五章中心力场

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,即角动量,是守恒量。因而,也是守恒量。,第五章 中心力场,5.1 中心力场中粒子运动的一般性质,一、角动量守恒与径向方程,设质量为,的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：,对于势能只与,r,有关而与,无关的有心力场，使用球坐标求,解较为方便。于是,H,可改写为：,在求解中心力场中粒子的能量本征方程时，选用,为力学量完全集是很方便的。这是因为：当选用了守恒量完全集（,，,，,）来对态进行分类以后，属于同一个能级的诸简并态的正交性问题将自动得到保证。,能量本征方程为:,考虑到中心力场的特点：,球对称性,，选用球坐标系是方便的，,此时利用,x,z,球 坐 标,r,y,左边第一项称为,径向动能算符,，第二项称为,离心势能,。,H,的本征方程,此式使用了角动量平方,算符,L,2,的表达式：,取, :,分离变量,径向方程可写为：,径向波函数 或 的归一化条件可写成:,，（不慢于,）,求解方程时，可作以下替换，使得计算更方便，令：,代入式得：,由于波函数要求有限，所以要求,这就是,径向方程的一个定解条件,。,（,1,）不同的中心力场中粒子的能量本征波函数的差别仅在于径向波函数,R,l,(,r,),或,l,(,r,)，,它们由中心势,V,(,r,),的性质决定。一般而言，中心力场中粒子的能级至少为2,l,+1,重简并的。,注意：,（,2,）在一定边界条件下求解径向方程，即可得出能量本征值,E,。,对于非束缚态，,E,是连续变化的。对于束缚态，则,E,取离散值。,（,3,）在求解径向方程时，由于束缚态边界条件，将出现径向量子数,n,r,.,二、,两体问题化为单体问题,两个质量,分别为,m,1,和,m,2,的粒子，相互作用 只依赖于相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程为：,E,T,为体系的总能量。引入质心坐标 和相对坐标,1,x,+,r,1,r,2,r,R,2,O,y,z,二体运动可化为：,I,一个具有折合质量的粒子在场中的运动,II,二粒子作为一个整体的质心运动。,可以证明：,其中 体系的总质量，,约化质量或折合质量。,对两个粒子坐标的微商变换成对相对坐标和质心坐标的微商。,则二粒子体系的能量本征方程,可,化为：,此方程可分离变量，令,得：,分解为二个本征方程,:,描述,质心运动,，是能量为,E,C,的自由粒子的能量本征方程，,E,C,是质心运动能量。即质心按能量为,E,C,的自由粒子的方式运动。这没有提供与体系内部状态有关的任何信息。,描述,相对运动,，,E,是相对运动能量。可以看出与单粒子能量本征方程形式上相同，只不过应把,m,理解为约化质量，,E,理解为相对运动能量。,5.,4,氢原子,量子力学发展史上最突出得成就之一是对氢原子光谱和化学元素周期律给予了相当满意得解释。氢原子是最简单的原子，其,Schrodinger,方程可以严格求解，氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构的基础。,氢原子的原子核是一个质子，带电+,e,，,在它的周围有一个电子绕着它运动 。它与电子的库仑吸引能为（取无穷远为势能零点）,这是一个两体问题。,1,x,+,r,1,r,2,r,R,2,O,y,z,具有一定角动量的氢原子的径向波函数,满足下列方程：,边界条件：,为电子的约化质量，,m,e,和,m,p,分别为电子和质子的质量。,(1),一、氢原子的能级,氢原子的能量本征值：,(2),玻尔半径：,主量子数：,n,见110页：,氢原子的能级图,与,E,n,相应的归一化的径向波函数为：,二、氢原子的波函数,合流超几何函数,氢原子的束缚态能量本征函数为：,、,定态波函数,的共同本征函数。,是氢原子体系,和,主量子数,角动量量子数,磁量子数,1,、能级简并度,氢原子的能级,只与主量子数,n,有关，,对应的本征态,因此能级是简并的（除,n=1,外），简并度为,讨论：,2,、氢原子核外电子的几率分布,当氢原子处于,nlm,态时，在,点周围的体积元,内发现电子的几率为:,人们常常形象地把这个几率分布叫做“几率云”或“电子云”,.,（1,）在,(,r,r,+d,r,),球壳中找到电子的几率径向概率分布,称为,径向几率密度或径向分布函数,。,取最大值的半径称为,最可几半径,。,使,例如：氢原子处于基态,，求最可几半径?,解：,令,经检验,为最大值,时,是最可几半径,所以,1,，,0,2,，,0,3,，,0,4,，,0,0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36,r / a,0,a,0,W,n l,(r),0.6,0.5,0.4,0.3,0.2,0.1,W,n,l,(r) r,的函数关系,n,，,l,R,n,l,(r),的节点数,n,r,= n , 1,2,，,1,3,，,1,4,，,1,0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48,r / a,0,a,0,W,n l,(r),0.24,0.20,0.16,0.12,0.08,0.04,W,n,l,(r) r,的函数关系,n,，,l,R,n,l,(r),的节点数,n,r,= n , 1,讨论：,、关于描述氢原子核外电子分布问题,旧量子论：,电子在核外作轨道运动,量子力学：,由于电子的波粒二象性使轨道概念失去了意义，氢原子核外电子是以几率分布的形式出现。,、关于氢原子的第一玻尔轨道半径,量子力学几率分布的观点解释,a,的物理意义,：,当氢原子处于1,s,态时，在,r,=,a,处找到电子的几率最大，在,r,a,的区域仍有电子分布，只不过几率较小而已。,对,r,( 0,),积分,R,nl,(r,),已归一,电子在,(,),附近立体角,d,=,sin,d,d,内的几率,右图示出了各种,m,态下，,W,m,(,),关于,的函数关系，由于它与,角无关，所以图形都是绕,z,轴旋转对称的立体图形。,该几率与,角无关,例,1.,=0, m=0,，,有 ：,W,00,= (1/4,),，,与,也无关，是一个球对称分布。,x,y,z,(2),在,中找到电子的几率角向分布,方向的立体角,例,2.,=1, m=,1,时，,W,1,1,() = (3/8)sin,2,。,在,= /2,时，有最大值。 在,= 0,沿极轴方向（,z,向）,W,1,1,= 0,。,例,3.,= 1, m = 0,时，,W,1,0,(,) = 3/4 cos,2,。,正好与例,2,相反，在,= 0,时，最大；在,=/2,时，等于零。,z,z,y,x,x,y,Z,m = -2,m = +2,m = +1,m = -1,m = 0,= 2,证明：,的氢原子中的电子，在,的方向上被发现的几率最大。,解：,的电子，其,当,时,为最大值。即在,方向发现电子的几率最大。,在其它方向发现电子的几率密度均在,之间。,例题,1,3,、,类氢离子,以上结果对于类氢离子（,He,+,，Li,+,，Be,+,等，这些离子的原子核外，只有一个电子）也都适用。但需把核电荷+,e,换为+,Ze,（,Z,是核所带正电荷数），而,换为相应的约化质量。特别是类氢离子的能级公式为,设氢原子处于状态,求氢原子能量、角动量平方、角动量,z,分量的,可能值及其几率，并求其平均值。,例题,2,的可能值为： ，,解：能量的可能值为：,概率分别为：1/3，1/2，1/6,概率分别为：1/3，1/2，1/6,概率分别为：1/3，1/2，1/6,的可能值为： ，,平均值分别为：,设氢原子处于状态,求氢原子能量、角动量平方及角动量,Z,分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。,例题,3,氢原子处在基态,，求：,(1)r,的平均值；,(2),势能 的平均值；,(3),最可几半径；,(4),动能的平均值；,例题,4,解：,(1),(3),电子出现在,r+dr,球壳内出现的几率为,令,当,为几率最小位置,是最可几半径。,(4),解：,（,1,）三维谐振子,Hamilton,量,例,1.,求三维谐振子能级，并讨论它的简并情况,5.3 二维、三维各向同性谐振子 （105页）,（,2,）本征方程及其能量本征值,解得能量本征值为：,则波函数三方向的分量 分别,满足如下三个方程：,因此，设能量本征方程的解为：,如果系统,Hamilton,量可以写成,则必有：,（,3,）简并度,当,N,确定后，能量本征值确定，但是对应同一,N,值的,n,1, n,2, n,3,有多种不同组合，相应于若干不同量子状态，这就是简并。其简并度可决定如下：,当,n,1, n,2,确定后，,n,3,= N - n,1,- n,2,，,也就确定了，不增加不同组合的数目。故对给定,N,，,n,1, n,2, n,3,可能组合数即简并度为：,求二维各向同性谐振子的能级和简并度。,解：由,Shrodinger,方程，,例题,3,显然，这是两个一维谐振子的方程，它们的能级为：,由于，当,N,一定时,n,x,取,0,，,1,，,2.,，,而,n,y,相应取,N-,n,x,，,都对应同一能级。,因此此能级是,N+1,重简并的.,