第9章马尔科夫预测法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Market survey & Forecast,市场调查与预测,(9),第九章 马尔科夫预测法,武汉理工大学出版社,1,第九章 马尔科夫预测法,第一节 马尔科夫预测的基本概述,第二节 马尔科夫预测法的程序,第三节 市场占有率预测,第四节 期望利润率预测,2,马尔科夫预测法,马尔科夫预测,法,是应用,随机过程,中的,马尔科夫链,的理论和方法研究有关经济现象的变化规律及对未来预测的一种方法。,在市场预测中，有很多经济现象与自然现象中一样一种特性,“,无后效性,”。,3,无后效性,系统在,每一时刻的状态,仅仅,取决于前一时刻的状态,，而与其过去历史状态无关。,例如，随机过程中一个典型“无后效性”的例子,:,池塘里有三张荷叶，我们将它们编号为,1,，,2,，,3,，有一只青蛙随机地在荷叶上跳来跳去，假设在初始时刻,t,0,，它在第二张荷叶上。在时刻,t,1,，它有可能跳到第一张荷叶或第三张荷叶上，也有可能在原地不动。,4,我们将青蛙某个时刻所处于荷叶的位置称为青蛙所处的状态。这样，青蛙在未来,t,1,时刻所处于的状态，只与它现在时刻,t,0,有关，而与,t,0,以前所处的状态无关。,在经济领域中，也存在着这种大量的“,无后效性,”，因此，,马尔科夫预测法,是市场预测的常用的方法，同时这种方法被广泛的应用其他的各个领域。,下面，我们就应用,马尔科夫链,的这种特性来研究经济现象中的“,无后效性,”的问题。,5,第一节 马尔科夫预测的基本概述,一、马尔科夫链定义,是一种随机时间序列，它未来取值只与现在有关，而与过去无关，即,:,无后效性，系统在每一时刻的状态仅仅取决于前一时刻的状态，具备这一特性的离散型随机过程被称为马尔可夫链。,二、马尔科夫链特点,1.,无后效性；,2.,离散性。,6,三、马尔科夫预测法,是根据对事件的不同状态的,初始概率,以及状态之间的,转移概率，,来确定事件未来状态。,四、条件概率,(,转移概率,),定义：,在事件,B,已经发生的条件下，事件,A,在给定,B,下的条件概率，称为,A,对,B,的条件概率，记为,P,（,A|B,）,。把,P,（,A,）称为无条件概率。,7,概率基本概念回顾,1,盒子里有,15,件产品，其中次品,3,件，现作不回放随机抽样，每次取一件。试问：第一次取到次品的条件下，第二次仍取到次品的概率是多少？,解：,设第一次取到次品为事件,A,，第二次取到次品为事件,B,，则有：第一次取到次品为,P,（,A,）,=3/15,，,P,（,B|A,）,=2/14=1/7,8,四、全概率事件,当事件,A,1,，,A,2,，,A,3,，,，,A,i,，,构成一个完备事件组，则对任何一个事件,B,，有：,（,1,）称为全概率公式。,特别指出：,一般情况下，,9,概率基本概念回顾,2,全年级,100,名学生，有男学生（以事件,A,表示）,80,人，女生,20,人；来自北京的（以事件,B,表示）有,20,人；其中男生,12,人，女生,8,人；免修英语的（用事件,C,表示）,40,人中有,32,名男生，,8,名女生。试写出：,P,（,A,），,P,（,B,），,P,（,B|A,），,P(A|B),，,P,（,AB,）,P,（,C,）,P,（,C|A,）,P,（,AC,），,10,解：,P(A)=80/100=0.8,，,P(B)=20/100=0.2,P(B|A)=12/80=0.15,，,P(A|B)=12/20=0.6,，,P(AB)=12/100=0.12,，,P(C)=40/100=0.4,P(C|A)=32/80=0.4,，,P(AC)=32/100=0.32,A,B,AB,11,五、状态与状态转移概率,1,、状态,在前面的例子里，青蛙所处在的荷叶位置，称为青蛙所处的,状态,。在市场预测中，某一种经济现象在某一时刻,t,所出现的结果，则称之为在,t,时刻所处的,状态,。一般情况下，把随机系统里的随机变量,X,t,在,t,时刻所处的状态,i,表示为：,12,2,、状态转移概率,由于状态是随机的，因此，用概率来描述状态转移的可能性的大小，这个概率称为状态转移概率。,对于某事件由状态,E,i,转移到,E,j,的概率，称为从,i,到,j,的转移概率。记为：,13,实际问题应用,1,某地区有甲、乙、丙三家食品厂生产同一种食品有,1000,个用户，假定在研究期间无新用户加入也无老用户退出，只有用户的转移。,已知,2006,年,5,月份，甲、乙、丙三厂拥有用户的份额分别为,500,、,400,、,100,户。,6,月份，甲的原用户中有,400,户留在甲，有,50,户转移到乙，,50,户转移到丙；乙原,400,户中有,300,户留在乙，有,20,户转移到甲，有,80,户转移到丙；在丙厂原,100,户中有,80,户留在丙，有,10,户移到甲，有,10,户移到乙。试计算各厂的转移概率。,14,甲,500,乙,400,丙,100,50,50,400,20,80,300,10,10,80,状态转移图,解：,设甲、乙、丙原有用户所处的状态为,1,、,2,、,3,。则,P,11,=400/500=0.8,，,P,12,=50/500=0.1,，,P,13,=50/500=0.1,；,P,21,=20/400=0.05,，,P,22,=300/400=0.75,，,P,23,=80/400=0.2,P,31,=10/100=0.1,，,P,32,=10/100=0.1,，,P,33,=80/100=0.8,。,15,六、状态转移概率矩阵,设,某,事件有,E,1,、,E,2,，,E,n,种状态，而且每次只能处于一种状态中，则每一个状态都具有,n,个转向,(,含转向本身,),。即第,i,种状态,E,i,可以是,E,i,E,1,，,E,i,E,2,，,，,E,i,E,n,，,P(E,i,E,j,)=,P(E,j,|E,i,)=,P,ij,，,共有,n,个,转移概率：,P,i1,，,P,i2,，,P,ii,，,P,in,。,当把,P,ij,作为第,i,行，则,n,个,状态（,j=1,，,2,，,，,n,）,共有,n,行，其状态转移概率矩阵为：,16,状态转移概率矩阵,描述了事件的变化过程。,矩阵（,2,）是一步状态转移概率矩阵，对于多步状态转移概率矩阵，可假定：系统在时刻,t,0,处于状态,i,，经过,N,步状态转移后，在时刻,t,N,处于状态,j,，那么，对这种具有,N,步转移的概率的数量描述称为,N,步转移概率。,（3）,17,（4）,18,第,2,步,转移概率的计算可以由一步转移概率求出,即：,（5）,（,5,）的意义：系统从状态,i,出发，经,2,步转移到,j,的概率等于系统从状态,i,出发到状态,k,，其中,k=1,，,2,，,，,N,，然后再从状态,k,转移到,j,的,概率的总和，由此得到：,19,20,21,例,设一步转移矩阵为：,解：,22,某经济系统有三种状态,E,1,（,畅销）、,E,2,（,一般）、,E,3,（,滞销），系统状态转移情况如表所示，求系统的二步状态转移概率矩阵。,表,下步,状态,本步状态,E,1,E,2,E,3,合计,E,1,21,7,14,42,E,2,16,8,12,36,E,3,10,8,2,20,实际问题应用,2,23,24,第二节 马尔科夫预测法的程序,一、马尔科夫链预测未来趋势的步骤,马尔科夫链预测法通常是通过,现在所处的状态来预测下一期可能出现的状态,。其预测步骤如下：,第一步，,划分预测对象所出现的状态。,第二步，,计算初始概率。,在收集到的资料中，分析,历史数据,而得到的状态概率就是,初始概率,。,当有,n,个状态,E,1,，,E,2,，,，,E,n,，观察了,m,个时期,25,（6）,其中状态,E,i,(i,=1,，,2,，,，,n,),共出现了,m,i,次则有：,（,6,）的经济含义是,E,i,出现的频率，用,f,i,近似表示为,（,i=1,，,2,，,，,n,）,(7),第三步，计算状态转移概率,（用频率近似表示概率）,首先计算状态由状态,E,i,转移到状态,E,j,的概率： ，,。,再由第二步可得：,（,8,）,（,9,）,26,第四步，,根据初始状态及转移概率进行预测。,由第三步，可得到的状态转移概率矩阵,P,ij,。,当预测对象处于状态,E,i,时，,P,ij,表示目前状态,E,i,在未来转向状态,E,j,(j,=1,，,2,，,，,n),的可能性。,按最大可能性作为选择的结果，,即选择（,P,i1,，,P,i2,，,，,P,in,）中最大者作为预测的结果。,27,月,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,销售量,40,45,80,120,110,38,40,50,62,90,110,130,140,120,55,70,45,80,110,120,实际问题应用,表,9-3,商品销售量统计表,某商店在最近,20,个月的商品销售量统计数据见表，试预测第,21,个月的商品销售量的状态。,28,解：,第一步，,划分状态。以月销售量为标准：,（,1,）销售量,0,；亏损,r0,。,则,P,和,R,构成一个有利润的马尔科夫链，若已知销售状态转移矩阵和利润矩阵，就可对未来的利润进行预测。经过一步转移，求期望利润的公式如下：,47,i=1,，,2,，,(i=1,表示商品处于畅销状态，,i=2,表示商品处于滞销状态,),。,L,的上角（,1,）,经过一步转移，,L,期望利润。,（,1,）,48,二步,转移后的期望利润公式如下：,（,2,）,依次类推，经过,n,步转移后的期望利润公式如为：,（,3,）,注意：,N,为自然数，当,n=1,时，,当前期望利润。并且规定 。,49,经市场调查某商品销路变化状态由畅销,滞销、滞销,畅销、连续畅销和连续滞销等四种状态转移表及其利润表见表,(a),和表,(b),所示：,频率,f,状态,状态,畅销,1,滞销,2,1,畅销,0.5,0.5,2,滞销,0.4,0.6,利润,R,状态,状态,畅销,1,滞销,2,1,畅销,5,百万,1,2,滞销,1,-1,表,(a),表,(b),（,百万元,）,应用马尔科夫链预测期望利润,50,（,1,）由表,(a),可知：,产品连续畅销的概率为,50%,，由畅销,滞销也为：,50%,，由滞销,畅销的概率为,40%,，连续滞销的概率为,60%,。,（,2,）由表,(b),可知：,连续畅销能获利,500,万元；由畅销,滞销或由滞销,畅销均能获利,100,万元；连续滞销要亏损,100,万元。,预测：若当月处于畅销、滞销时，下一个月的期望利润各为多少？,51,解：,由表,(a),和表,(b),可得销售状态的转移矩阵和利润矩阵分别为：,由公式（,10,）、（,11,）得：,畅 滞,畅,滞,畅 滞,畅,滞,52,即当,本月处于畅销时，下一个月期望获利润,300,万元。当,n=2,时，由公式（,1,、,2,）得：,即本月处于畅销状态时，则下一个的期望利润为,440,万元。当处于滞销时，则下个月的期望利润为,88,万元。,53,案例,某地区市场上主要销售,A,、,B,、,C,三种品牌的产品，每月三种品牌的销售,总量,通常保持在,2,万支左右。其中,5,月份,A,、,B,、,C,三种品牌的销售量分别为,8500,、,6500,、,5000,支，假定,5,月份在该地区几个大型商场，对购买这三种品牌产品的,500,名顾客进行随机调查，调查结果是：,54,在购买,A,品牌的,200,名顾客中，打算,6,月份仍购买,A,品牌的有,140,人，转购,B,品牌的有,40,人，转购,C,品牌的有,20,人；在购买,B,品牌产品的,150,名顾客中，打算,6,月份仍购买,B,品牌的有,100,人，转购,A,品牌的有,30,人，转购,C,品牌的有,20,人；在购买,C,品牌产品的,150,名顾客中，打算,6,月份仍购买,C,品牌的有,120,人，转购,A,品牌的有,15,人，转购,B,品牌的有,15,人。,55,若以后各月顾客在这三个品牌之间的保留率、转出率和转入率与此相同，且估计今后一段时间这三种品牌产品都不会退出该市场，也没有新品牌产品在此市场销售。要求预测：,（,1,）,6,、,7,月份各月三品牌产品的市场占有率和销售量；,（,2,）达到市场竞争均衡状态的三种品牌产品的市场占有率和销售量。,56,分析：,1,、,首先应划分状态和计算初始状态概率。,由于该地区产品市场主要三个品牌的产品占领，因此有三种状态存在。,设状态,1,为购买,A,品牌产品，状态,2,为购买,B,品牌产品，状态,3,为购买,C,品牌产品。,5,月份各品牌的市场占有率为初始状态概率，且,57,2,、确定一步转移概率,P,11,=140/200=0.7,，,P,12,=40/200=0.2,，,P,13,=20/200=0.1,P,21,=30/150=0.2,，,P,22,=100/150=0.67,，,P,23,=20/150=0.13,P,31,=15/150=0.1,，,P,32,=15/150=0.2,，,P,33,=120/150=0.8,58,矩阵中，每一行元素表示各品牌产品顾客的保留率和转出率；没一列元素表示各品牌产品顾客的保留率和转入率。,59,3,、利用马尔科夫链预测模型进行预测,预测,6,月份三种品牌产品的市场占有率（,k=1,）,60,即,A,、,B,、,C,三种品牌,6,月份的市场的市场占有率分别为,38.75%,、,32.78%,和,28.4%,；,7,月份的市场占有率分别为,36.53%,、,32.56%,和,30.91%,；相应地，,6,、,7,月份各品牌产品销售量预测值为：,61,6,月份,A,：,2000038.75%=7750(,支,),B,：,2000032.78%=6556(,支,),C,：,2000028.47%=5694(,支,),7,月份,A,：,2000036.53%=7386(,支,),B,：,2000032.56%=6512(,支,),C,：,2000030.91%=6182(,支,),62,4,、求稳定状态下的各品牌产品的市场占有率,由上计算可以看出，随着时间的推移，,A,、,B,品牌产品的市场占有率趋于下降，,C,品牌的市场占有率趋于上升态势。由于顾客在各种品牌之间不断转入、转出，经过较长时间后，各品牌市场占有率将趋于稳定。,各品牌稳定状态的市场占有率为：,X,P=X,，即：,0.7x,1,+0.2x,2,+0.1x,3,=x,1,0.2x,1,+0.67x,2,+0.13x,3,=x,2,0.1x,1,+0.1x,2,+0.8x,3,=x,1,解之得,x,1,=32.72%,，,x,2,=30.86%,，,x,3,=36.42%,63,习题课,3,习题课3,64,补充题,有三家企业,A,、,B,、,C,，由于产品质量、服务质量、价格、促销、分销等原因，订购户的变化如下：,4,月份：,A,家,200,户，,B,家,500,户，,C,家,300,户。,5,月份：,A,家保留,160,户，而从,B,转入,20,户，从,C,转入,20,户；,B,家保留,450,户，而从,A,转入,30,户，从,C,转入,20,户，,C,家保留,255,户，而从,A,转入,20,户，从,B,转入,15,户。试求其转移矩阵。,65,解：,状态转移矩阵为,A,B,C,30,20,160,20,15,450,20,20,255,状态转移图,66,1,、,列举经济生活中，可以用马尔可夫链进行预测的例子。,经济生活中可用马尔可夫链进行预测的例子很多。,例如，,归还照相机只与现在租照相机的地址有关，而与下次租相机的地址无关。,67,2,、,对于竞争激烈，经常有企业加入或退出的产品，是否能用马尔科夫预测吗？为什么？ 不能。由于经常有企业加入或退出的产品，这样一来使得系统不稳定，就不能应用马尔科夫链了。,68,3,、,某商品,5,年来销售只有两种表现：畅销和滞销。每个季节的表现如表所示，试求市场的一步转移概率。,季度,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,状态,畅,滞,畅,畅,滞,畅,滞,滞,畅,滞,畅,畅,畅,滞,畅,滞,滞,畅,畅,畅,解：,一步转移矩阵为,：,69,5,、,A,、,B,、,C,、,D,四厂生产的电冰箱同时在某市销售，由于质量、价格、售后服务等因素的影响，每个月的订货数量都有所变化，现要求根据,2,、,3,月份的变化情况见表,，试分析预测本年后,3,个月的电冰箱订货市场占有率情况。,(,假设某市每个月对电冰箱的需求量基本保持不变,),表,A,、,B,、,C,、,D,厂,2,、,3,月份电冰箱订货数量变动表,厂家,A,B,C,D,2,月份拥有订货数量,500,450,600,700,3,月份失去原订货数量,50,90,120,70,3,月份保留原订货数量,450,360,480,630,订货数量保留率,90%,80%,80%,90%,70,厂家,A,B,C,D,二,月份订货数量,A,450,15,20,15,500,B,10,360,40,40,450,C,20,60,480,40,600,D,10,20,40,630,700,三月份订货数量,490,455,580,725,2250,表,A,、,B,、,C,、,D,厂,3,月份电冰箱订货数量转移表,71,5,、,解：,（方法一）,三月份初始市场占有率：,三月份的订货状态转移矩阵为：,72,=(0.215,，,0.185,，,0.268,，,0.31),同理可得：,73,（方法二）,74,75,6,、,现有,A,、,B,、,C,三种品牌的味精，已知其市场占有率变化按下列转移矩阵,P,发生：,试,预测三种品牌的味精,最终市场占有率。,解：,76,解此方程组得,x,1,= x,2,= x,3,=0.333,即三种品牌的味精最终市场占有率均为,33.3%.,77,7,、,某旅游胜地有三处可以出租照相机，旅客使用后可以在任意一处归还。估计其转移概率如表所示，现要选择其中之一设照相机维修点，问该点设在哪一处为好？,还,相机处,甲,乙,丙,租,相,机,处,甲,0.2,0.8,0,乙,0.7,0.1,0.2,丙,0.1,0.4,0.5,78,分析：,此问题实质上是要解决长期经营稳定状态下每一部照相机回到三个出租地的概率，即返回概率最大的租照相机点适宜设维修点。,对公司来说，租还照相机是一种转移过程，其转移矩阵由表可得：,79,解此方程组得,x,1,= x,2,= x,3,=0.333,即三处租还照相机概率均为,33.3%.,即可在三个中的任何一处设维修点。,80,8,、某种商品的销售状态转移矩阵为：,状态转移矩阵为：,求,即时期望利润和二步转移期望利润,解：,即时期望利润为：,81,二步转移期望利润为：,82,小 结,1,、了解马尔科夫链的概念及含义。,2,、掌握马尔科夫链的特征及应用条件。,3,、掌握用马尔科夫链预测未来的状态、市场占有率、期望利润等。,83,