弯曲应力的推导 1

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,弯曲应力的推导,纯弯曲时的正应力,纯弯曲,横力弯曲时的正应力,横力弯曲时的,切,应力,L,a,a,F,F,F,(+),(-),-F,Fa,(+),M-,图,纯弯曲,梁弯曲变形时，,横截面上只有弯矩而无剪,力（ ）。,横力弯曲,梁弯曲变形,时，横截面上既有弯矩又,有剪力（ ）。,纯弯曲,横力,弯曲,横力,弯曲,纯弯曲时，横截面上有正应力而无切应力,纯弯曲,等直梁纯弯曲梁正应力分析,前提,:,(a),小变形,在弹性变形范围内,(b),满足对称弯曲条件,(c),纯,弯曲,实验观察,:,2.,凹边缩短，凸边伸长,(d),纵向纤维间无挤压,1.,横向线保持为直线；纵向线与横向线依然垂直。,横向线保持为直线；纵向线与横向线依然垂直。,由现象,1,梁在纯弯曲时的,平面假设,：,梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。,由现象,2,中性层,中性轴,凹边缩短，凸边伸长,中性层,杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长又不缩短的层面。,中性轴,中性层与横截面的交线。,理论分析,（,1,）变形几何关系,变形后,P,曲率中心,y,任意纵向纤维至,中性层的距离,中性层的曲率半径,m,m,n,n,dx,a,b,y,a,b,n,m,P,纯弯曲时的正应力,纵向纤维,bb:,变形前,变形后,所以纵向纤维,bb,的应变为,:,横截面上距中性轴为,y,处的轴向变形规律。,m,m,n,n,dx,a,b,y,a,b,P,n,m,（,2,）物理关系,-,应力分布规律,在线弹性范围内，应用胡克定律,对一定材料，,E=,常数,；,对一定截面，,横截面上某点处的应力与此点距中性轴的距离,y,成比例。,中性轴,M,（,3,）静力平衡关系,z(,中性轴,),y(,对称轴,),x,M,M,由 得,=0,将,(*),式代入，得,因此,z,轴通过截面形心，即,中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面,。,dA,dA,截面对,z,轴的静矩,考虑平衡条件,z(,中性轴,),y(,对称轴,),x,M,M,dA,dA,截面对,y,、,z,轴的惯性积,Y,轴是截面的对称轴,所以,考虑平衡条件,z(,中性轴,),y(,对称轴,),x,M,M,dA,dA,截面对,z,轴,(,中性轴,),的惯性矩,可得,挠曲线的曲率方程,：,抗弯刚度,。,正应力的计算公式为,横截面上最大正应力为,抗弯截面模量,截面的,抗弯截面模量，,反映了截面,的几何形状、尺寸对强度的影响。,矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：,竖放：,z,b,h,z,h,b,平放：,z,d,d,z,D,纯弯曲,推导得到的结果可推广到,横力弯曲,的梁。,前提：,细长梁，即梁的跨高比,L,/,h,5,时，其误差,不大；,横力,弯曲时的正应力,有一模量为,E,1,的矩形截面悬臂梁,AB,，,A,端固定，,B,端自由。梁长为,L,，截面高度为,h,1,，宽度为,b,。梁上表面粘着模量为,E,2,= 2E,1,的增强材料层，该层高度,h,2,= 0.1h,1,，长度和宽度与梁,AB,相同。工作台面,D,距离,B,端下表面高度为,。,在,B,端作用垂直向下的载荷,F,P,。不考虑各部分的自重。,（,1,）求组合截面中性轴的位置。,（,2,）求使梁,B,端下表面刚好接触,D,台面所需的力,F,P,。,（,3,）求此时粘接面无相对滑动情况下的剪力。,（,4,）计算梁的剪应力值并画出其沿梁截面高度的分布图。,x,d,x,x,y,P,m,q(x),A,B,m,n,m,1,n,1,分几种截面形状讨论弯曲切应力,一、矩形截面梁,1,、横截面上各点的切应力方向平行于剪力,2,、切应力沿截面宽度均匀分布,关于切应力的分布作两点假设：,Fs,b,h,y,m,n,m,1,n,1,O,p,1,q,1,p,dx,x,y,z,弯曲切应力,d,x,m,1,n,1,n,m,M,M+,d,M,y,p,p,1,m,1,n,1,m,n,d,x,p,p,1,q,1,q,y,d,A,F,N,1,F,N,2,z,y,y,1,讨论部分梁的平衡,m,1,n,1,m,n,d,x,p,p,1,q,1,q,y,d,A,F,N,1,F,N,2,z,y,y,1,b,矩型截面的宽度,y,z,整个横截面对中性轴的惯性矩,距中性轴为,y,的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩,切应力沿截面高度的变化规律,沿截面高度的变化由静矩,与,y,之间的关系确定,max,可见,切应力沿 截面高度按抛物线规律变化,.,二、圆形截面梁,F,s,F,s,三、工字型截面梁,B,b,0,h,h,0,z,y,y,