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第三章,晶格振动,3.1,原子质量为,m,，间距为,a,的一维单原子链，如果原子的振动,位移为,试求：,（,1,）格波的色散关系；,（,2,）每个原子对时间平均的总能量。,解：,(1),式中，,为原子位移；,为恢复力常数。,个原子的运动方程可写成,（,1,）,在单原子晶格中，若只计相邻原子的互作用，第,n,依题设，原子的振动位移可表示为,(2),将,(2),式代入,(1),式，得,因为,因此,故得格波的色散关系为,（,2,）,原子链上总能量可写为,其中求和遍及链上的所有原子。,又因为一维单原子链的色散关系为,或者,所以,得平均总能量,3.2,证明：在由两种不同质量,M,、,m,(,M,m,),的原子所组成的一维,复式格子中，如果波矢,q,取边界值,(a,为相邻原子间,距,),，则在声学支上，质量为,m,的轻原子全部保持不动；在光学,支上，质量为,M,的重原子保持不动。,证明：如图所示，设质量为,m,的轻原子位于,2n-1,，,2n+2,，,2n+3,，,.,各点；设质量为,M,的重原子位于,2n-2,，,2n,，,2n+2,，,各点。,a,m,M,2n-3,2n-2,2n-1,2n,2n+1,2n+2,2n+3,设试探解为,和,式中，,A,为轻原子的振幅；,B,为重原子的振幅；,为角频率；,为波矢。,令,表示原子间的恢复力系数，运动方程写为,将试探解代入运动方程有,经整理变成,(1),要,A,、,B,有不全为零的解，方程,(1),的系数行列式必须等于零，,从中解得,(2),式中的“,+”“,”分别给出两种频率，对应光学支格波和声学支,格波。上式表明，,是,q,的周期函数,，,边界值，即,。当,q,取,时，从,(2),式得,将,和,依次代入,(1),式，得到两种原子的振幅比分别为,光学支：,声学支：,因为,而且 当,时，,cosaq=,0,由上式得到,由此可见，当波矢,q,取边界值时，声学支中轻原子保持不动,(,A,=0),，光学支中重原子也保持不动,(,B,=0),。,3.3,一维复式格子，原子质量都为,m,晶格常数为,a,，任一个原子与最近邻原子的间距为,b,若原子与最近邻原子和次近邻原子的恢复力常数为 和 ，试列出原子的运动方程并求出色散关系。,1,2,3,n-1,n,n+1,n+2,N-1,N,a,解：,此题为一维双原子链。,设第,个原子的,位移分别为,。,第,与第,个原子属,于同一原子，第,与第,个原子属于同一原子，,于是,第,和第,原子受的力分别为,其运动方程分别为,设格波的解分别为,代入运动方程，得,整理得,由于,A,和,B,不可能同时为零，因此其系数行列式必定为零，即,解上式可得,由上式可知，存在两种独立的格波。,声学格波的色散关系为,光学格波的色散关系为,3.4,由原子质量分别为 两种原子相间排列组成的一维复式格子，晶格常数为 ，任一个原子与最近邻原子的间距为 ，恢复力常数为 ，与次近邻原子间的恢复力常数 ，试求,（,1,）格波的色散关系；,（,2,）求出光学波和声学波的频率最大值和最小值。,解：,（,1,）只考虑最近邻原子的相互作用,得,将 的值代回方程得到色散关系,（,2,）,（,a,）当上式取,+,号时为光学波,当 时：,当 时：,（,b,）当取,-,号时为声学波,当 时：,当 时：,3.5,证明由,N,个质量为,m,的相同原子组成的一维单原子晶格，每单位频率间隔内的振动模式数为,证明：,一维单原子链只有一支格波,据模式密度的一般表示式,（,1,）,因为对一维单原子链波矢空间的波矢密度,，且只有一支,格波。,所以由（,1,）式得,得,3.6,设有一维连续介质，介质的弹性模量为,E,，线密度为,试建立一维波动方程并求弹性波传播的相速度。,，,解：设有一坐标为,x,与,x+dx,间的介质元,t,时刻,x,点处的位移为,u=u(x,t),x+dx,点处的位移为,u+du,。于是，应变为,以,E,表示弹性模量，按定义，,式中,f,是引起形变的力。作用在介质元,dx,上的净力为,设介质的线密度为,，介质元的质量为,，则有,即,(1),这就是连续介质的波动方程，其解为,式中，,为介质弹性波的角频率；,为波矢；,是波长。,将,u(x,t),代入,(1),式，得到,即,因此，一维介质弹性波传播的相速度为,3.7,证明一维单原子链的运动方程，在长波近似下，可以化成,弹性波方程,解：,如果只计及近邻原子间的相互作用，第,n,个原子的运动方程,为,因为,所以第,n,个原子的运动方程化为,在长波近似下，,运动方程又化为,（,1,）,在长波近似下，当,l,为有限整数时，,上式说明，,在长波近似下，邻近（在半波长范围内）的若干原子,以相同的振幅、相同的位相做集体运动。,因此（,1,）式可统一写成,第二章中固体弹性理论所说的宏观的质点运动，正是由这些,原子的整体的运动所构成。,这些原子偏离平衡位置的位移,，即是宏观上的质点位移,。,从宏观上看，原子的位置,可视为准连续的，原子的分离,可视为连续坐标,x,，即,于是,（,2,）式化为,其中,是用微观参数表示的弹性波的波速。,3.8,设有一个由相同原子组成的二维正方点阵，原子质量为,M,，晶格常数为,a,，取近邻原子间的恢复力系数为 ，设原子只作垂直表面的横向振动。试求,2),长波极限下格波的传播速度。,1),横向晶格振动的色散关系；,解：,1),设,垂直于晶格平面的位移，如图所示。当只考虑最近邻原子间的,互相作用时，由于（,l+1,，,m,）原子对它的作用力,代表第（,l,，,m,）个原子（第,l,行、,m,列的原子）,第（,l,1,，,m,）原子对它的作用力,而,和,方向是相反的。,（,l,，,m,1,）原子对（,l,，,m,）原子的,和,得第（,l,，,m,）个原子所受的力,，于是,同样处理（,l,，,m+1,）原子和,作用力,a,a,把,(1),式代入运动方程,(2),并把试探解,据此得色散关系,(3),2),长波极限下，,都是小量,同时代入，消去公因子后得,所以,格波的传播速度,可见，在长波极限下，格波的传播速度与波矢,q,无关。,(3),式变为,3.9,一维单原子链，原子质量为,m,，原子间距为,a,。计及所有原,子间的长程作用，且最近邻、,次近邻、次次近邻,原子间,恢复力,常数依次为,1,）求格波的色散关系；,2,）若恢复力常数取,式中，,常”现象：当,解：,1),设第,n,个原子对平衡位置的位移为,，第,n+p,和,n-p,个,原子的位移分别记为,和,，则第,n+p,为常数，,p,遍取所有的整数值，试证明“科恩,(Kohn),反,。,和第,n,p,个原子对第,n,个原子的作用力可写成,链上每个原子与第,n,个原子都有相互作用，故第,n,个原子的运动,方程应为,设试探解为,代入运动方程可得,故格波的色散关系为,(1),2),若,代入,(1),式得,当,时，由上式得到,(2),因为,，,(2),式的求和对无穷原子系列进行，故,必有,或,对,q,的关系曲线在,处有一条垂直的切线，即,曲线在,点处扭折，这就是“科恩反常”现象。,3.10,设晶格中每个振子的零点振动能为,，试用德拜模型,求晶体的零点振动能。,解：,由,所以,3.11,已知一个频率为,的简谐振动在温度,T,下的平均能量为,试用爱因斯坦模型求出由,N,个原子组成的单原子晶体晶格振,动的总能量，并求其在高温和低温极限情况下的表达式。,解：由,N,个原子组成的单原子晶体共有,3N,个自由度，独立晶格,振动方式数也等于,3N,，晶体振动的总能量便等于晶体振动的总,能量便等于这,3N,个谐振动的能量之和，即,依照爱因斯坦模型，,，于是上式变为,(1),；,式中,是爱因斯坦,特征温度。,在高温极限下，,x1,，,，从,(1),式得,3.12,试用德拜模型求 解上题。,解：按照德拜模型，频率在,之间的独立振动方式,数等于,(1),式中,是德拜截止频率。因为单原子晶体晶格振动的总能量,当,N,很大时，格波的频率分布是准连续的，故上式可用下列,积分计算：,，,令,（,是德拜特征温度）将,上式化简为,(2),对于高温极限，,x1,，,(2),式中的积分上限,，而且,此时,(2),式中的积分变为,因此，从,(2),式求得,上式表示，在德拜模型中，低温时晶格振动能与温度的,4,次方,成正比。,3.13,求频率在,到,间隔内的声子数，并写出固体振动,能的表达式。,解：按照德拜理论，在频率,间隔内的独立振动方式,数为,式中，,为截止频率；,N,为晶体包含的原子数。达到热平衡时，,频率为,v,的振动在温度,T,时平均激发的声子数,。,因此，在频率,间隔内的声子数为,每个声子的能量等于,hv,，,个声子所具有的总能量,由此求得晶体总振动能（略去零点能）,式中,，（,是德拜温度）。,上式中的积分一般的不能用解析方法求得，但在极限的情况下，,它有如下简单的结果：,在高温极限下：,在低温极限下：,代入上式，得到晶体在高温极限下的总振动能,低温极限下的总振动能,3.17,对于,NaCl,晶体，已知恢复力常数 ，试分别求出,NaCl,晶体中光学支格波和声学支格波的最高频率和最低频率。（已知,Cl,和,Na,的原子量分别为,35.5,和,23.0,）,解：因为一维双原子晶体的色散关系为,在本题设下，式中,m,、,M,分别代表,Na,、,CL,原子的质量。当括号,内取“,+”,号时代表光学支 ，取“”号时代表声学支 。从,上式得知，光学支的最大频率是,由于,，,，因而得,而光学支的最小频率是,声学支的最大频率是,（,1,）,NaCl,的恢复力常数；,（,2,）长声学波的波速；,（,3,）,NaCl,的弹性模量。,已知,Cl,和,Na,的原子量分别为,35.5,和,23.0,。,3.18,对 于,NaCl,晶 体，测 知 其 密 度 ，正 负 离子 的 平 衡 距 离,m,，光 学 支 格 波 的 最 高 频 率为 。试以一维双原子晶链模型计算：,解：,(1),对于一维双原子链，格波光学支的最高频率为,(1),式中， 为原子间的恢复力常数；,m,、,M,分别代表两种原子的质,量。对于,NaCL,，已知,Na,原子质量 ，,CL,原子质量 ，平衡时， 和 的距离为,， 。因此，从,(1),式可得其恢复力常数,(2),对于声学波，在长波极限下，其传播速度为,所以,(3),有弹性波理论知道，波速,式中，,E,是介质的弹性模量； 为介质密度。,，,故有,已知,3.19,设一维晶链由二价正离子组成，晶键靠离子之间的相互,斥力而达到平衡。离子的质量为,，平衡时的离子,间距为,。试求纵向格波的最高频率和最大波速。,解：,表示；,如图所示，离子的坐标由,na,由于热,运动，,。,库仑定律，两粒子间的互相斥力为,式中，,k,为静电衡量；,r,为离子间距。,(1),因为离子偏离平衡位置的热动动只是一种微振动，可将,(1),式,括号中的项在平衡位置附近按泰勒级数展开，并只计及一次项,它们离开平衡位置的位移记为,根据,相互作用，运动方程可表述为,如果只考虑相邻离子间的,则有,令试探解为,（,2,）,式中，,A,、,、,q,分别为振幅、角频率和波矢。,式得出,即,式中,为格波的最高角频率：,（,3,）,把上式代入,(2),把下列数据代入：,得到,最大波速对应于长波极限下的波速。,此时,q,很小，,(3),式给出,于是，得到最大波速为,3.20,题设,应用玻耳兹曼分布函数计算，平均位移应为,(1),对于小的位移,x,，,x,的高次项均为高阶小量，因而,(1),式的分子,(1),式的分母,代回,(1),式便得,从经典意义上说，一个谐振子的平均能量 ， 因此上式可写为,3.21,试用一维单原子链模型证明：格林爱森系数,是一,个常数。,证明：对于一维单原子链，格波的色散关系为,(1),式中，,为晶链近邻原子间的恢复力常数；,m,为晶格原子的质,量；,a,是原子间距；,q,为格波的波矢。,因而,aq=S/N,是一个与原子间距,a,无关的参量，可以把,(1),式写成,矢,q,只能取分立值,，且,（,S,为整数），,设晶链包含,N,个原子，波,(2),此处,是一个与,a,无关的量，频率,对原子间距,a,的关系是通过恢复力,常数,相关联的。,对于一维单原子链，格林爱森常数,(3),由,(2),式得,Na,为晶链的长度。把,(3),式代入即得,(4),注意到恢复力常数,是晶格原子互作用能,U,的二次微商，,即,因而,故,(4),式可写作,因为对于已知晶格，,和,是确定的数，因此,也是确定,的常数。此外，,的出现是由于互作用能中的非谐项引起的，,如果晶体做严格的谐振动，则,，必有,。,3.22,证明：固体的体胀系数,，体积,V,和体积弹性模量,K,间,满足格林爱森关系：,。式中，,为固体的定容,热容量；,是格林爱森常数。,证明：按定义，晶体的体胀系数,使用熟知的循环关系式,上式化为,(1),式中,是体积弹性模量。,对于晶体，有格林爱森常数状态方程：,(2),式中，,U(V),是,0K,时晶体的互作用能，,为晶体热振动的平均,总能量；,是格林爱森常数。,代回,(1),式即得,无关，则有,对,(2),式求微商，由于,U(V),与温度,3.23,由正负离子构成的一维离子链，离子间距为 ，离子质量都为 ，电荷交替变化，即第 个离子的电荷 ，,原子间的互作用势是两种作用势之和，其一为近邻两原子的短程,作用，力系数为 ；其二是所有离子间的库仑作用。证明：,（,1,）库仑力对力常数的贡献为,（,2,）色散关系为,其中,（,3,）,时，格波为软模。,证明：,（,1,）设离子链沿水平方向。,第 个离子右端的第 个,离子与第 个离子间的库仑力为,上式右端加一负号，是我们规定坐标的正方向指向右端。,考虑到,可将上式展成,级数，,取一级近似得,第 个离子左端的第 个离子与第 个离子间的库仑力为,取一级近似得,第 个离子和第 个离子对第 个离子间的库仑合力为,可见库仑力对力常数的贡献为,（,2,）,第 个离子的运动方程为,设格波解,则由离子的运动方程得,令,可得,（,3,）,当,有,记,则有,由此知，当,时，,由于格波的频率,因此,说明,此振动模式对应的恢复力系数,相当于弹簧振子系统,的弹簧丧失了弹性。,所以称 的振动模式为软模。,3.24一维,无限,长原子链，原子质量为,m,和,M,，,且,m,E,时，,(1),3.,高低温极限讨论,(2),低温时，当,T,D,时，,x,1,，,3.,高低温极限情况讨论,高温时与实验规律相吻合。,(2),低温时，当,T,D,时，,x,1，,3.高低温极限情况讨论,高温时与实验规律相吻合。,(2)低温时，当,T,D,时，,由上式看出，在极低温度下，比热与,T,成正比。,
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