1132多边形的内角和与外角和

观 察 多 边 形 你能从下列图形中找出一些平面图形吗? 多边形概念 在 平 面 内 ,由 一 些 线 段 首尾 顺 次 相 接 组 成 的 图 形叫 多 边 形 .如 果 多 边 形 由 n条 线 段 组成 ， 那 么 这 个 多 边 形 叫 做n边 形 如 :三 角 形 、 四 边 形 、 五 边形 等 等 . 三 边 形 五 边 形 你能说出上述平面图形的名称吗?三角形四边形四边形六边形八边形你知道吗？ 多 边 形 的 内 角 :多 边 形 相邻 两 边 组 成 的 角 叫 做 它 的 内角 .多 边 形 的 对 角 线 :连 接 多边 形 不 相 邻 的 两 个 顶 点 的线 段 叫 做 多 边 形 的 对 角 线 . ABC DE 在 图 1中 ,画 出 任 意 一 边 所 在的 直 线 ,整 个 多 边 形 都 在 直线 的 同 侧 ,这 样 的 多 边 形 叫做 凸 多 边 形 . 图 2中 ,多 边 形 ABCD不 在CD所 在 直 线 的 同 侧 ,就 不 是凸 多 边 形 ,叫 凹 多 边 形 . 没 有 特 别 说 明 ,我 们 研究 的 多 边 形 都 是 指 凸多 边 形 . AB C DAB C D图 1图 2 观 察 图 中 的 多 边 形 ， 他 们 的 边 、 角 有 什 么 特 点 ？ 在 平 面 内 ， 各 个 角 都 相 等 、 各 条边 都 相 等 的 多 边 形 叫 做 。正 三 角 形 正 四 边 形 正 五 边 形 正 六 边 形 正 八 边 形 1、三角形的内角和是 _ 2、你能够利用三角形的内角和求四边形的内角和吗？试试看？思路：多边形内角和问题转化为三角形 问题来解决四边形的内角和为3601800 做 一 做A B CD 完成下表试 一 试多 边 形 边 数 n从 一 个 顶 点 引 对角 线 的 条 数分 成 的 三 角 形个 数多 边 形 的 内 角和 n-23210 4321 n-31800 3600 5400 7200 (n-2) 180 0从n边形的一个顶点可以引对角线，把多边形分成个三角形n边形的内角和等于n-3n-2 (n-2) 1800 2、 n边 形 的 对 角 线 一共 有 条 。1、 n边 形 的 一 个 顶 点 可以 引 对 角 线 。n(n3) 2n3 求 多 边 形 的 内 角 和 有 哪 些 方 法 ?1)多 边 形 的 内 角 和 =所 有 内 角 之 和 A B C DEF如 :多 边 形 ABCDEF的 内 角 和 = A+ B+ C+ D+ E2） 正 多 边 形 的 内 角 和 =一 个 内 角 的 度 数 边 数 A B DF如 ： 正 六 边 形 ABCDEF的 内角 和 = 6=7201200 03） 多 边 形 的 内 角 和 =（ n2） 1800如 ： 七 边 形 ABCDEFG的 内 角 和 =（ 72） 180 =900 0 0 EAB C DFG 练 一 练 720 小 练 习 ：（ 2） 七 边 形 的 内 角 和 等 于 度 .填 空 题 ： 900 （ 7 2） 180（ 3） 一 个 多 边 形 的 内 角 和 等 于 720 ， 那 么 这 个 多 边 形 是 边 形 .六（ 4） 如 果 一 个 四 边 形 的 一 组 对 角 互 补 ， 那 么 另 一 组 对 角 .也 互 补（ 1） 多 边 形 的 内 角 和 随 着 边 数 的 增 加 而 ， 边 数 增 加 一 条 时 ， 它 的 内 角 和 增 加 度 .增 加 180 除 了 上 述 我 们 利 用 对 角 线 ，将 一 个 多 边 形 分 割 成 几 个 三角 形 外 ， 还 有 其 它 的 分 割 方法 吗 ? 想 一 想 ： A EDCB O1 5432 7.3.2 多 边 形 的 内 角 和 A EDCB O1 2 3 4 A EDCB O1 5432A EDCB O1 2 3 4A B C DE 7.3.2 多 边 形 的 内 角 和小 练 习 ：1. 判 断 题 ：（ 1） 当 多 边 形 的 边 数 增 加 时 ， 它 的 外 角 和 也 随着 增 加 .（ 2） 正 六 边 形 的 每 个 外 角 都 等 于 60度 .2. 填 空 题 ：（ 1） 正 九 边 形 的 每 一 个 外 角 都 等 于 度 . 40 （ 2） 一 个 多 边 形 的 每 一 个 外 角 都 等 于 30 ， 这 个 多 边 形 是 边 形 . 正 十 二 7.3.2 多 边 形 的 内 角 和（ 4） 如 果 多 边 形 的 内 角 和 等 于 外 角 和 ， 那 么 这 个 多 边 形 是 边 形 。（ 1） 八 边 形 的 内 角 和 等 于 度 .（ 2） 一 个 多 边 形 的 内 角 和 等 于 1260 ， 这 个 多 边 形 是 边 形 .1080九（ 3） 一 个 多 边 形 的 每 一 个 内 角 都 等 于 135 ， 则 这 个 多 边 形 是 边 形 .正 八2.填 空 题 ： 四 A BCD练 一 练360 720 1080 1440 9000七 9、 在 四 边 形 的 四 个 内 角 中 ， 最 多 有 几 个 钝 角 ？最 多 能 有 几 个 锐 角 ？ 10、 一 个 多 边 形 的 每 个 内 角 都 是 150 ， 求 它的 边 数 。 11、 已 知 一 个 多 边 形 ， 它 的 内 角 和 等 于 五 边形 的 内 角 和 的 2倍 ， 求 这 个 多 边 形 的 边 数 12、 已 知 一 个 多 边 形 的 边 数 恰 好 是 从 一 个 顶点 所 画 的 对 角 线 的 条 数 的 2倍 ， 则 此 多 边 形 的边 数 为 ； 13、 一 个 多 边 形 的 边 数 增 加 1， 则 内 角 和 增 加的 度 数 是 ( ) A.60 B.90 C.180 D.360练 一 练 3 312 86C 比 一 比15、 已 知 一 个 多 边 形 除 了 一 个 内 角 外 ， 其余 各 内 角 的 和 是 2750 ， 求 这 个 多 边 形 的边 数 。16、 如 图 ： 我 国 的 国 旗 上 的 五 星 是 正 五 角星 ， 正 五 角 星 中 的 五 边 形 ABCDE是 正 五 边形 ， 你 能 求 出 五 角 星 中 F的 度 数 ？ D CB EA18 F360 1.已 知 ABC的 外 角 度 数 之 比 是 2 3 4，求 这 个 三 角 形 的 内 角 度 数 之 比 . 2.在 n边 形 内 角 中 ， 至 多 出 现 几 个 锐 角 ？ 3 .一 个 多 边 形 的 所 有 内 角 和 一 个 外 角 之 和为 6000 ， 求 这 个 多 边 形 的 边 数 和 这 个 外 角的 度 数 。 4.把 图 中 的 五 边 形 剪 去 一 个 角 ， 此 时 ， 多 边形 的 内 角 和 与 外 角 和 有 什 么 变 化 ？ 课 外 作 业 AB C DE 5、 如 图 是 一 个 五 角 星 的 每 个 角 剪 去 一 部 分 所生 成 ， 求 M1+ M2+ M3+ M10的 度数 。 M1M10 M9 M 8 M7 M6M5M4M3M2 课 外 作 业 填 空 ： 如 图 ， 此 多 边 形 应 记 作 边 形 ， AB边 的邻 边 是 、 ， 顶 点 E处 的 内 角 为 ， 过 顶 点A画 出 这 个 多 边 形 的 对 角 线 ， 共 有 条 ， 它 们 把 多边 形 分 成 个 三 角 形 。 n边 形 有 个 顶 点 ， 条 边 ， 有 个 角 ，有 个 不 共 顶 点 外 角 四 边 形 有 条 对 角 线 。 五 边 形 有 条 对角 线 。 四 边 形 的 一 条 对 角 线 将 它 分 成 个 三 角 形 从 五 边 形 的 一 个 顶 点 出 发 可 以 画 条 对 角 线 ， 它们 将 五 边 形 分 成 个 三 角 形 正 多 边 形 的 相 等 ， 相 等 多 边 形 分 为 和 两 类 五ABCDEAE BC AED23 nnnn 2 523 2边角凸凹 E A B C D 试 一 试练 练 你 的 “ 本 领 ”有 一 把 锋 利 的 “ 小 刀 ” ， 把你 的 课 桌 （ 四 边 形 ） 一 个 角 削去 ， 剩 下 的 课 桌 是 一 个 几 边形 ？ 它 的 内 角 和 是 多 少 ？ A B CDE F M N 例 2： 在 六 边 形 的 顶 点 处 各 取 一 个 外 角 ， 这 些外 角 的 和 叫 做 六 边 形 的 外 角 和 ， 六 边 形 的 外 角和 等 于 多 少 ？ A B CDEF 1 2 34566x180 -（ 6-2） x180 =360 想 一 想 :如 果 将 例 2中 六 边 形 换 成 n边 形 （ n3）可 以 得 到 同 样 的 结 果 吗 ？180 n-（ n-2） x180= 180 n-180 n+360 =360 动 动 脑 :正 n边 形 的 每 一 个 外 角 的 度 数 为 360n 结 论 :多 边 形 的 外 角 和 等 于 360 练 一 练1、 已 知 一 个 四 边 形 的 四 个 内 角 的 度 数 比为 2： 3： 2： 5， 那 么 这 个 四 边 形 的 四 个角 下 列 说 法 正 确 的 是 ： （ ）A， 只 有 一 个 直 角 B， 只 有 一 个 锐 角C， 有 两 个 直 角 D， 有 两 个 锐 角D2， 一 个 多 边 形 的 各 个 内 角 都 等 于 ， 它 是 几 边 形 ？ 120 3， 一 个 多 边 形 的 内 角 和 与 外 角 和相 等 ， 它 是 几 边 形 ？解 ： 设 它 为 n边 形 。 由 题 意 列 方 程 得 ：（ n-2） x180 = 360解 得 ： n=4答 （ 略 ） 例 4 一 个 多 边 形 的 内 角 和 等 于 它 的 外角 和 的 3倍 ， 它 是 几 边 形 ？ 解 ： 设 这 个 多 边 形 是 n边 形 ， 则 它 的 内 角 和是 (n 2)180 ,外 角 和 等 于 360 ，所 以 ： (n 2)180=3 360解 得 ： n=8答 :这 个 多 边 形 是 八 边 形 . 课 堂 练 习 :1.一 个 多 边 形 的 外 角 都 等 于 60 ， 这 个 多 边形 是 几 边 形 ？ 解 ： 因 为 多 边 形 的 外 角 和 等 于 360 ，所 以 根 据 题 意 ， 可 知 道 这 个 多 边 形 的边 数 是 ：360 60=6 .答 :这 个 多 边 形 是 六 边 形 . 3、 已 知 一 个 多 边 形 ， 它 的 内 角 和 等 于 外 角和 的 2倍 ， 求 这 个 多 边 形 的 边 数 。 解 ： 设 多 边 形 的 边 数 为 n 它 的 内 角 和 等 于 (n-2)180 ， 多 边 形 外 角 和 等 于 360， (n-2)180 =2 360。 解 得 : n=6 这 个 多 边 形 的 边 数 为 6 一 、 填 空 题1. 十 二 边 形 的 内 角 和 是 （ ） 。2. 正 六 边 形 的 一 个 内 角 等 于 （ ） 。3. 一 个 多 边 形 当 边 数 增 加 1时 ， 它 的 内 角 和 增 加 （ ） 。4. 一 个 多 边 形 的 内 角 和 等 于 它 的 外 角 和 ， 这 个 多 边 形 是（ ） 边 形 。5. 一 个 多 边 形 的 内 角 和 是 720， 则 此 多 边 形 共 有 （ ）个 内 角 。6、 已 知 一 个 多 边 形 的 对 角 线 的 条 数 为 35条 ， 求 这 个 多 边形 的 边 数 。 1800120 180四 六 二 、 选 择 题1、 从 n边 形 的 一 个 顶 点 出 发 作 对 角 线 ， 把 这 个 多 边 形 分 成 三 角 形 的 个 数 是 （ ） 。 A、 n B、 n-1 C、 n-2 D、 n-32、 n边 形 所 有 外 角 的 个 数 是 （ ） 。 A、 n B、 2n C、 3n D、 不 能 确 定3、 下 列 说 法 中 ， 正 确 的 是 （ ） 。 A、 一 个 多 边 形 的 外 角 的 个 数 与 边 数 相 同 ； B、 一 个 多 边 形 的 外 角 的 个 数 是 边 数 的 2倍 ； C、 多 边 形 的 外 角 和 是 所 有 外 角 的 和 ； D、 多 边 形 的 外 角 和 是 内 角 和 的 一 半 。4、 一 个 多 边 形 每 个 外 角 都 是 30， 这 个 多 边 形 是 （ ） 。 A、 十 边 形 B、 十 一 边 形 C、 十 二 边 形 D、 十 三 边 形C BB C 拓 广 练 习 ：1、 在 多 边 形 的 所 有 外 角 中 最 多 有 几 个 钝角 ？ 在 多 边 形 的 所 有 内 角 中 最 多 有 几 个锐 角 ？ 2、 小 军 在 进 行 多 边 形 内 角 和 计 算 时 ， 求得 的 内 角 和 为 1125 ， 当 发 现 错 了 之后 ， 重 新 检 查 ， 发 现 是 少 加 了 一 个 内 角 ，求 :（ 1） 这 个 多 边 形 是 几 边 形 ？（ 2） 这 个 内 角 是 多 少 度 ？ A B CDE F M N