随机振动课件_1

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2011年3月,Random Vibration,*,随机振动,(Random Vibration),2011年3月,1,Random Vibration,1,随机变量及其统计分析,2011年3月,2,Random Vibration,定义：,取值具有不确定性（例：投骰子）,取值有范围限制（例：骰子,1,2,3,4,5,6,）,取值具有一定统计规律,离散型、连续型（例：离散,-,投骰子，连续,-,测一批灯泡寿命）,数学描述：,1.1,随机变量,(Random Variable),2011年3月,3,Random Vibration,定义：一随机变量的取值不超过某一给定值的概率（可能 性）。例：某草坪上的草低于,1,米的概率,数学描述：,设连续型随机变量,X,(,)(,可理解为随机变量所有可能取值的集合,),，,概率分布函数用,P,(x,),表示，则,1.2,概率分布函数和概率密度函数,2011年3月,4,Random Vibration,典型概率分布函数图,MATLAB,代码,x=-10:0.2:10;,y=normcdf(x,0,1);,y1(1:length(x)=1;,plot(x,y,x,y1),2011年3月,5,Random Vibration,涵义：描述概率的分布密度特性。,例：某草坪上的草高度在,510,厘米范围内的概率较大，在其他范围的概率较小。,数学表达：,设概率密度函数用,p(x,),表示,则,概率密度函数,2011年3月,6,Random Vibration,典型概率密度函数图,MATLAB,代码,x=-10:0.2:10;,y=normpdf(x,0,1);,plot(x,y,),2011年3月,7,Random Vibration,1.3,几种典型分布之一：均匀分布,2011年3月,8,Random Vibration,1.3,几种典型分布之二：正态（高斯）分布,x=-10:0.2:10;,y1=normpdf(x,0,1);,y2=normpdf(x,1,1);,y3=normpdf(x,0,3);,plot(x,y1,x,y2,x,y3),2011年3月,9,Random Vibration,1.3,几种典型分布之三：瑞利分布,x=0:0.1:10;,y1=raylpdf(x,1);,y2=raylpdf(x,2);,y3=raylpdf(x,3);,plot(x,y1,x,y2,x,y3),2011年3月,10,Random Vibration,1.3,几种典型分布之四：泊松分布,x=0:0.1:10;,y1=raylpdf(x,1);,y2=raylpdf(x,2);,y3=raylpdf(x,3);,plot(x,y1,x,y2,x,y3),2011年3月,11,Random Vibration,仅针对两随机变量（二维），其他可类推。,二维联合概率分布函数定义：,1.4,多维随机变量,二维联合概率密度函数,2011年3月,12,Random Vibration,1.5,随机变量统计特征之一：均值（,Mean Value),又称为,:,数学期望,(Mathematical Expectation),一阶原点矩,n,阶原点矩,:(,n-th,Moment ),n,阶中心矩,:(,n-th,Central Moment ),2011年3月,13,Random Vibration,1.5,随机变量统计特征之二：均方值（,Mean Square Value),又称为,:,二阶原点矩,均方根值,(Root Mean Square,RMS),，又称有效值：,2011年3月,14,Random Vibration,1.5,随机变量统计特征之三：方差（,Variance),又称二阶中心矩,标准差,(Standard Deviation),2011年3月,15,Random Vibration,1.5,随机变量统计特征之四：协方差（,Covariance),相关系数,(Correlation Coefficient),反映随机变量,X,Y,的线性相关程度,2011年3月,16,Random Vibration,1.6,例,1,正弦波统计特征,在一个周期内处于,aa+dx,的概率为：,2011年3月,17,Random Vibration,1.6,例,1,正弦波统计特征（续）,正弦波均值：,正弦波均方值（等于方差）：,正弦波均方根值（等于标准差）：,2011年3月,18,Random Vibration,1.6,例,2,均匀分布统计特征,均值：,方差：,2011年3月,19,Random Vibration,2,随机振动统计分析,2011年3月,20,Random Vibration,2.1,随机场与随机过程,随机变量的自变量是空间,随机场,随机变量的自变量是时间,随机过程,随机振动是一种随机过程,在给定的时间点上振动的值不能事先确定，而是随机出现，是一随机变量。,2011年3月,21,Random Vibration,2.2,随机振动的样本,给定时刻点处值形成随机变量,2011年3月,22,Random Vibration,2.3,随机振动的概率描述,一维情形,方差函数,均方值函数,均值函数,概率密度函数,概率分布函数,2011年3月,23,Random Vibration,自协方差函数,自相关函数,二维情形,概率分布函数,2.3,随机振动的概率描述（续）,2011年3月,24,Random Vibration,互协方差函数,互相关函数,规范化互协方差函数,2.3,随机振动的概率描述（续）,2011年3月,25,Random Vibration,2.4,平稳随机振动,n,阶平稳（,n,任意时为强平稳）：,二阶平稳（弱平稳，工程中常称为平稳）：,理论上：平稳随机振动样本时间无限长！,2011年3月,26,Random Vibration,2.5,各态历经（遍历）过程,对各统计特征：集合中所有样本的平均等于任意单一样本,X,i,的时间平均。（所有样本的时空平均等于单一样本的时间平均）,令时间平均为：,2011年3月,27,Random Vibration,2.6,各态历经（遍历）过程检验条件,注意：工程实际中处理随机振动时，常使用各态历经假设，此时仅有一个样本记录，且常以,x,（,t,）或,y,（,t,）等小写字母表示。此时：,2011年3月,28,Random Vibration,2.7 Gauss,随机过程,若一随机过程的任意维分布都是正态分布，则该随机过程为,Gauss,随机过程。,Gauss,随机过程的一维分布,例如，,Gauss,随机过程任一给定时刻的样值是一个一维,Gauss,随机变量。其概率密度函数为：,2011年3月,29,Random Vibration,2.8,平稳随机过程相关函数与谱的特性,注意，平稳随机过程的样本函数在无限长时间内其统计特性都保持不变（不随时间衰减），因此它,不满足,绝对可积条件：,因此，无法对其样本函数进行傅里叶变换研究其频谱特性。但前人发现，研究样本函数的相关函数频谱特性是可行的。,2011年3月,30,Random Vibration,2.9,自相关函数（自协方差函数）的特性,注意，以下讨论线性系统的平稳随机响应过程，假设系统的激励和响应均为零均值，此时自协方差函数与自相关函数相同，即：,自相关函数部分性质：,（,1,）偶函数,由平稳性可知：,2011年3月,31,Random Vibration,（,2,）极大值（完全自相关）,（,3,）零值（完全不相关）,结论：一般而言，自相关函数满足傅里叶变换条件。,相关时间：,（,4,）同一时刻一平稳随机过程与其导数不相关,2.9,自相关函数（自协方差函数）的特性（续）,2011年3月,32,Random Vibration,2.10,功率谱密度,自功率谱密度函数：自相关函数的傅里叶变换。,由傅里叶逆变换可得：,以下讨论将主要针对各态历经过程：,2011年3月,33,Random Vibration,利用欧拉公式，上两式可化为：,2.10,功率谱密度（续）,2011年3月,34,Random Vibration,信号,x,（,t,）的全部能量为：,平均功率为：,平均功率为：,2.10,功率谱密度（续）,2011年3月,35,Random Vibration,2.11,功率谱密度：,Parseval,定理,利用功率谱密度函数的定义可得：,2011年3月,36,Random Vibration,2.12,功率谱密度：例题，验证,Parseval,定理,信号：,信号时域总能量：,信号傅里叶变换：,信号频域总能量：,2011年3月,37,Random Vibration,平均功率：,为,x,(t,),功率谱密度,2.12,功率谱密度：例题，验证,Parseval,定理（续）,2011年3月,38,Random Vibration,2.12,功率谱密度：证明,2011年3月,39,Random Vibration,自谱密度函数性质：,偶函数,非负性,2.12,功率谱密度：证明（续）,2011年3月,40,Random Vibration,2.13,功率谱密度：单边谱与双边谱,工程中无负频率，常用单边谱，且频率单位用,Hz,此时有：,其中：,在对应的频率处，单边谱值是双边的两倍。,2011年3月,41,Random Vibration,2.13,功率谱密度：单边谱与双边谱（续）,2011年3月,42,Random Vibration,2.14,功率谱密度,:,白噪声,自谱密度函数为常数。,白噪声的相关函数：,2011年3月,43,Random Vibration,2.15,白噪声例题,计算有限带宽白噪声的相关函数。,相关函数为：,2011年3月,44,Random Vibration,2.15,白噪声例题（续）,-,带通滤波法的基础,2011年3月,45,Random Vibration,窄带白噪声的相关函数,相关函数为：,2.15,白噪声例题（续）,2011年3月,46,Random Vibration,2.16,功率谱密度,:,导数关系,2011年3月,47,Random Vibration,2.17,功率谱密度,:,测量方法,带通滤波法（多用于宽带噪声）,第,k,个频带内信号的均方值,第,k,个频带宽度,第,k,个频带内信号的平均自谱密度,2011年3月,48,Random Vibration,2.17,功率谱密度,:,测量方法：噪声频带,倍频程,频带：,中心频率,1/3,倍频程,宽频噪声总频带范围：,20Hz20kHz,，中心频率为：,2011年3月,49,Random Vibration,2.17,功率谱密度,:,测量方法：滤波法框图,2011年3月,50,Random Vibration,2.18,功率谱密度,:,测量方法：离散傅里叶变换法,-,信号在时域的第,n,个时刻采样值,-,信号在时域采样总点数,-,信号在频域第,m,个频率点处的傅里叶谱（复数 值，包含幅值和相位）,-,信号采样总时间长度 （,s,）,-,相邻两个信号采样点间时间间隔,DFT,正变换：,2011年3月,51,Random Vibration,2.18,功率谱密度,:,测量方法：离散傅里叶变换法（续）,-,信号在频域的分辨率，即相邻两根谱线间的频率间隔（,Hz,）,-,信号在时域的采样速率（每秒采集,f,s,个点），单位：,Hz,，采样定理要求：,f,s,2f,max,，,f,max,是信号中所含的最高频率。,自谱密度：,2011年3月,52,Random Vibration,例题，求下列信号的傅里叶谱：,dt,=0.01;,T=10-dt;,df,=1/T;,t=0:dt:T;,x1=sin(2*pi*10*t);,x2=sin(2*pi*20*t);,x3=sin(2*pi*25*t);,x=x1+x2+x3;,y=fft(x)/(T/dt+1);,subplot(3,1,1),plot(t,x,),xlabel(time(s,),ylabel(amplitude(Unit,of A),subplot(3,1,2),plot(1:500)*df,abs(y(1:500),xlabel(frequency(Hz,),ylabel(amplitude(Unit,of A),subplot(3,1,3),plot(1:500)*df,angle(y(1:500)/2/pi*360),xlabel(frequency(Hz,),ylabel(phase(deg,),2.18,功率谱密度,:,测量方法：离散傅里叶变换法（续）,2011年3月,53,Random Vibration,2.19,功率谱密度,:,测量方法：离散傅里叶逆变换,离散傅里叶逆变换：,Parseval,定理：时域平均功率等于频域功率,dt,=0.001;,T=10-dt;,df,=1/T;,t=0:dt:T;,x1=sin(2*pi*10*t);,x2=sin(2*pi*20*t);,x3=sin(2*pi*25*t);,x=x1+x2+x3;,tx2=x.2*,dt,;,y=fft(x)/(T/dt+1);,sx2=sum(tx2)/T,y2=(abs(y).2;,sy2=sum(y2),sx2-sy2,2011年3月,54,Random Vibration,2.19,功率谱密度,:,测量方法：离散傅里叶逆变换（续,),注意：,MATLAB,做信号,FFT,时，正变换要除以采样点数。,否则谱线高度会随采样点数线性上升。例如对同一时间长度,的正弦波，若采样点数增加一倍，则谱线高度也增加一倍。,因此，,正变换除以采样点数后所得的傅里叶谱代表的是平均功,率，它不随采样的总时间长度变化。（采样的总时间长度加长后,信号在时域内的总功率增加。例如两个周期的正弦波的总功率,是一个周期正弦波总功率的,2,倍。，注意信号总功率与平均功率的差别。,FFT,给出的是平均功率结果。,2011年3月,55,Random Vibration,2.20,功率谱密度,:,测量方法：自相关函数,离散序列自相关函数：,其中，,一般要求：,2011年3月,56,Random Vibration,2.21,功率谱密度,:,测量方法：,Welsh,法,在自谱密度估计中：,要求,T,无限长，这在实际中不可行。常采用,Welsh,的分段重叠法进行谱估计。,2011年3月,57,Random Vibration,2.21,功率谱密度,:,测量方法：,Welsh,法（续）,先对各分段加窗计算其谱：,再进行平均处理：,其中，,2011年3月,58,Random Vibration,2.22,功率谱密度,:,随机振动的数字模拟,给定,PSD,后，一个平稳随机振动可如下形成：,其中,为,0,2,均匀分布随机相位,2011年3月,59,Random Vibration,2.23,功率谱密度,:,随机振动的数字模拟,:,认识,PSD,一个典型的加速度,PSD,谱图：,（,1,）双对数坐标,（,2,）分贝定义：,（,3,）,Oct,倍频程,（,4,）总均方根值（有效值）：,2011年3月,60,Random Vibration,