向量积的行列式计算法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,表示法,:,向量的模,:,向量的大小,向量,:,(,又称矢量,).,既有大小,又有方向的量称为向量,向径,(,矢径,):,自由向量,:,与起点无关的向量,.,起点为原点的向量,.,单位向量,:,模为,1,的向量,零向量,:,模为,0,的向量,有向线段,M,1,M,2,或,a ,第二节 矢量代数,1,规定,:,零向量与任何向量平行,;,若向量,a,与,b,大小相等,方向相同,则称,a,与,b,相等,记作,a,b,;,若向量,a,与,b,方向相同或相反,则称,a,与,b,平行,a,b,;,与,a,的模相同,但方向相反的向量称为,a,的,负向量,记作,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称,两向量,共线,.,若,k,(3),个向量经平移可移到同一平面上,则称,此,k,个向量,共面,.,记作,a,;,2,6.2.1,矢量运算,1.,矢量的加法,三角形法则,:,平行四边形法则,:,运算规律,:,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加,.,3,4,2.,矢量的减法,三角不等式,5,3.,数量与矢量的乘法,是一个数,规定,:,可见, 与,a,的乘积是一个新向量,记作,总之,:,运算律,:,结合律,分配律,因此,6,空间一点在轴上的投影,4.,矢量的射影,7,空间一向量在轴上的投影,8,关于向量的,投影定理（,1,）,证,9,定理,1,的说明：,投影为正；,投影为负；,投影为零；,(4),相等向量在同一轴上投影相等；,10,5.,矢量的分解与矢量的坐标,在空间直角坐标系下,设点,M,则,沿三个坐标轴方向的,分向量,.,的坐标为,此式称为向量,r,的,坐标分解式,任意向量,r,可用向径,OM,表示,.,11,6.,矢量的模方向余弦方向数,1.,向量的模与两点间的距离公式,则有,由,勾股定理得,因,得,两点间的距离公式,:,对,两点,与,12,方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取,空间一点,O,称,=AOB,(,0,),为向量,的,夹角,.,类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角,.,与三,坐标轴的夹角,为其,方向角,.,方向角的余弦称为其,方向余弦,.,记作,13,方向余弦的性质,:,14,作业：,p-25,习题,6.1-6.2,10,，,18,，,15,沿与力夹角为,的直线移动,1.,定义,设向量,的夹角为,称,记作,数量积,(,点积,) .,引例,.,设一物体在常力,F,作用下,位移为,s,则力,F,所做的功为,6.2.2,两矢量的数量积,16,记作,故,数量积的基本性质,为两个非零向量,则有,17,2),交换律,3),结合律,4),分配律,事实上,当,时,显然成立,;,18,例,1.,证明三角形余弦定理,证,:,则,如图,.,设,19,例,2.,已知三点,AMB,.,解,:,则,求,故,20,引例,.,设,O,为杠杆,L,的支点,有一个与杠杆夹角为,符合右手规则,矩是一个向量,M,:,的力,F,作用在杠杆的,P,点上,则力,F,作用在杠杆上的力,6.2.3,两矢量的矢量积,21,定义,定义,向量,方向,:,(,叉积,),记作,且符合右手规则,模,:,向量积,称,引例中的力矩,思考,:,右图三角形面积,S,22,4.,数量积的坐标表示,设,则,当,为非零向量时,由于,两向量的夹角公式,得,23,2.,性质,为非零向量,则,5),分配律,4),结合律,证明,:,24,4.,向量积的坐标表示式,设,则,25,向量积的行列式计算法,26,例,4.,已知三点,角形,ABC,的面积,解,:,如图所示,求三,27,一点,M,的线速度,例,5.,设刚体以等角速度,绕,l,轴旋转,导出刚体上,的表示式,.,解,:,在轴,l,上引进一个角速度向量,使,其,在,l,上任取一点,O,作,它与,则,点,M,离开转轴的距离,且,符合右手法则,的夹角为,方向与旋转方向符合右手法则,向径,28,1.,定义,已知三向量,称数量,混合积,.,记作,几何意义,为棱作平行六面体,底面积,高,故平行六面体体积为,则其,6.2.4,两矢量的混合积,29,2.,混合积的坐标表示,设,30,3.,性质,(1),三个非零向量,共面的充要条件是,(2),轮换对称性,:,(,可用三阶行列式推出,),31,例,6.,已知一四面体的顶点,4 ) ,求该四面体体积,.,解,:,已知四面体的体积等于以向量,为棱的平行六面体体积的,故,32,例,7.,证明四点,共面,.,解,:,因,故,A,B,C,D,四点共面,.,33,内容小结,设,1.,向量运算,加减,:,数,乘,:,点积,:,叉积,:,34,混合积,:,2.,向量关系,:,35,