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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第六章数列,第一节数列的概念与简单表示法,(,全国卷,5,年,3,考,),【,知识梳理,】,1.,数列的有关概念,(1),数列的定义,:,按照,一定,_,排列的一列数,称为数列,.,(2),数列的项,:,数列中的每一项叫做数列的项,.,(3),数列的表示法,:_.,顺序,列表法、图象法、解析法,2.,数列的分类,分类原则,类型,满足条件,按项数分类,有穷数列,项数,_,无穷数列,项数,_,有限,无限,分类原则,类型,满足条件,按项与项间,的大小关系,分类,递增数列,a,n+1,_a,n,其中,nN,*,递减数列,a,n+1,_a,n,常数列,a,n+1,=a,n,摆动数列,从第,2,项起,有些项大于,它的前一项,有些项小,于它的前一项的数列,3.,两种给出数列的方法,(1),通项公式,:,如果数列,a,n,的第,n,项与,_,之间的关,系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列,的通项公式,.,序号,n,(2),递推公式,:,如果已知数列,a,n,的第,1,项,(,或前几项,),且从第二项,(,或某一项,),开始的任一项与它的前一项,(,或前几项,),间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,.,【,常用结论,】,1.,数列中,a,n,与,S,n,的关系,已知数列,a,n,的前,n,项和,S,n,则,2.,数列中最大,(,小,),项满足的条件,在数列,a,n,中,若,a,n,最大,则,若,a,n,最小,则,【,基础自测,】,题组一,:,走出误区,1.,判断正误,(,正确的打“”,错误的打“,”.),(1),所有数列的第,n,项都可以用公式表示出来,.(,),(2),依据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止,一个,.(,),(3),任何一个数列不是递增数列,就是递减数列,.(,),(4),如果数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,则对于任意,nN,*,都,有,a,n+1,=S,n+1,-S,n,.(,),答案,:,(1),.,因为数列是按一定顺序排列的一列数,如,我班某次数学测试成绩,按考号从小到大的顺序排列,这个数列肯定没有通项公式,所以,(1),错误,.,(2).,比如数列,1,0,1,0,的通项公式为,:a,n,=,或,a,n,=,或,a,n,= ,所以,(2),正确,.,(3),.,因为数列有递增数列、递减数列、常数列、摆,动数列,所以,(3),错误,.,(4).,由数列前,n,项和的定义可知,当,nN,*,都有,a,n+1,=S,n+1,-S,n,所以,(4),正确,.,2.,已知数列,a,n,: ,则数列的一,个通项公式为,_.,【,解析,】,这个数列的前,4,项的绝对值都等于序号与序号,加,1,的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的,一个通项公式,a,n,=(-1),n,答案,:,a,n,=(-1),n,3.,已知数列的通项为,a,n,= (nN,*,),则数列,a,n,的,最小项是第,_,项,.,【,解析,】,因为,a,n,= ,数列,a,n,的最小项必为,a,n,0,即,0,3n-160,从而,n0,所以,ta,n,+3,恒成立,t(a,n,+3),min,=a,1,+3=3,所以,t,max,=3.,【,状元笔记,】,在涉及参数的最值问题时,常常与已知数列的单调性有,关,因此解决这类问题,需要先判断该数列的单调性,.,命题角度,2,数列的周期性问题,【,典例,】,(2018,黄冈模拟,),已知数列,a,n,中,a,1,= ,a,n+1,= ,则,a,2 018,=,世纪金榜导学号,(,),A.-2B. C.- D.3,【,解析,】,选,D.,因为,a,1,= ,所以,a,2,= =3,a,3,= =-2,a,4,= =- ,a,5,= = ,所以数列,a,n,是周期数列且周期,T=4,所以,a,2 018,=a,2,=3.,【,状元笔记,】,在求数列中某一项的值,特别是该项的序号较大时,应该考虑该数列是否具有周期性,利用周期性即可求出该数列中的某一项,.,命题角度,3,数列中的最值问题,【,典例,】,数列,a,n,的通项为,a,n,= (nN,*,),若,a,5,是,a,n,中的最大值,则,a,的取值范围是,_.,世纪金榜导学号,【,解析,】,当,n4,时,a,n,=2,n,-1,单调递增,因此,n=4,时取最,大值,a,4,=2,4,-1=15.,当,n5,时,a,n,=-n,2,+(a-1)n,因为,a,5,是,a,n,中的最大值,所以,解得,9a12.,所以,a,的取值范围是,9,12.,答案,:,9,12,【,状元笔记,】,解决数列的最值问题,经常将数列看作某个函数,利用函数的最值来求数列的最值,.,【,对点练,找规律,】,1.,已知数列,a,n,满足,a,1,=1,a,n+1,= -2a,n,+1(nN,*,),则,a,2 020,等于,(,),A.1,B.0C.2 017,D.-2 017,【,解析,】,选,B.,因为,a,1,=1,所以,a,2,=(a,1,-1),2,=0,a,3,=(a,2,-1),2,=1,a,4,=(a,3,-1),2,=0,可知数列,a,n,是以,2,为周期的数列,所以,a,2 020,=a,2,=0.,2.,已知数列,a,n,中,a,n,=1+ (nN,*,aR,且,a0).,(1),若,a=-7,求数列,a,n,中的最大项和最小项的值,.,(2),若对任意的,nN,*,都有,a,n,a,6,成立,求,a,的取值范围,.,【,解析,】,(1),因为,a,n,=1+ (nN,*,aR,且,a0),又,a=-7,所以,a,n,=1+ (nN,*,).,结合函数,f(x)=1+,的单调性,可知,1a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,a,6,a,7,a,n,1(nN,*,).,所以数列,a,n,中的最大项为,a,5,=2,最小项为,a,4,=0.,(2)a,n,=1+ =1+ ,已知对任意的,nN,*,都有,a,n,a,6,成立,结合函数,f(x)=1+,的单调性,可知,5 6,即,-10a0,故,(n+1)a,n+1,-na,n,=0,即,故,把以上各式分别相乘得,即,a,n,= .,答案,:,【,技法点拨,】,两种常见递推数列及解法,(1)a,n+1,=pa,n,+q(p0,1,q0),的求解方法是,:,设,a,n+1,+,=p(a,n,+),即,a,n+1,=pa,n,+p-,与,a,n+1,=pa,n,+q,比较即可,知只要,= .,(2)a,n+1,=pa,n,+qp,n+1,(p0,1,q0),的求解方法是两端,同时除以,p,n+1,即得,=q,数列 为等差数列,.,提醒,:,对于有些递推公式要注意参数的限制条件,.,【,即时训练,】,已知数列,a,n,满足,a,1,=-2,且,a,n+1,=3a,n,+6,则,a,n,=_.,【,解析,】,由,a,n+1,=3a,n,+6,可得,: a,n+1,+3=3 ,所以,是以,1,为首项,3,为公比的等比数列,所以,a,n,+3=3,n-1,故,a,n,=,3,n-1,-3.,答案,:,3,n-1,-3,
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