水资源供需分析

,单击此处编辑母版标题样式,河海大学水文及水资源学院,城市水资源利用与管理,城 市 水 资 源 利 用,与 管 理,LU Baohong,SUN Yingying,水文及水资源学院,2024年9月25日,第四章 水资源供需分析,供需分析的概念及分类,区域可供水量的计算,区域水资源供需平衡,区域水资源供需分析方法,水利工程可供水量计算,4.1,供需分析的概念及分类,在特定的水资源条件和需水要求下，充分发挥水利工程的作用，通过水利工程的调节计算可得到水利工程供水和需水之间的关系，即水资源供需分析,供需分析的概念,水资源时空分布不均与社会经济及生态需水不匹配,水利工程调节满足需求,Q,t,q,工程供水能力：,工程措施充分发挥其设计能力时可提供的水量,Q,日平均河道可引,Q,c,渠道,，全引,Q,日平均河道可引,Q,c,渠道,，,q,引,Q,c,渠道,水资源供需分析,未来社经需求预测需水拟定方案实现平衡,可供水量：,给定来水条件下，考虑供水对象的需水要求，水工程可提供的水量,Q,需,Q,下,Q,（,t,）,Qt,t,从分析范围分,供需分析的分类,计算单元的供需分析,河道流域的供需分析,整个区域的供需分析,河道外用水的供需分析：,消耗性水,河道内用水的供需分析：非消耗性水,4.1,供需分析的概念及分类,现状水平年供需分析,规划水平年供需分析,一次供需分析,二次供需分析,三次供需分析,从分析深度分,从用水发展分,从用水性质分,划分平衡区和计算单元,分析水资源供需现状和存在的一些问题,分析不同发展阶段（不同水平年）水资源,供需情况和实现供需平衡的方向,分析实现本区域水的长期稳定供给的措施和方案计划,4.1,供需分析的概念及分类,供需分析的流程,来水条件：,来水的大小及来水年内分配,用水条件：,不同的用水特性及合理用水、节约用水情况,水质条件：,不同的水源、泥沙和污染程度,工程条件,：现有工程设施的能力及调节运用方式的变化,水资源管理水平,4.2,水利工程可供水量计算,在不同的来水频率或保证频率下，为满足不同水平年的需水要求，各项水利工程设施可提供的水量。,可供水量的影响因素,可供水量的定义,“不同水平年”,中的水平，指的是水资源开发利用程度，表现在各类供水工程措施的多少、工程状况和管理水平等方面,“,不同保证率”,可视作供水工程措施对用户供水的保证程度。同一供水工程措施在不同的丰、枯年份可供水量是不同的。同一灌溉面积在不同丰、枯年份的需水量也是不同的,“,考虑需水要求”,指的是在计算可供水量时，要把供水和需水结合考虑，弃水和不能为用户所利用的水量不能算作可供水量。,“可供水量的可,”,字，表示某种计算条件下，供水工程设施“可能”、或“可以”提供的水量。供水工程措施的可供水量与工程的供水能力是不同的，供水能力为工程措施充分发挥作用可提供的水量，未考虑需水要求，可供水量只是供水能力中为用户利用了的那部分水量,“,供水工程措施可提供的”,是指可供水量一定是供水工程措施所提供的，没有通过供水工程措施直接为用户所利用的水量，如农作物利用的天然降水量、农作物根系吸收的土壤水分和地下水，都不能算作可供水量（灌溉定额是指扣除农作物利用的天然水量后需要补充的水量）。所以，供水工程措施未控制的集雨面积上的水资源量是不可能成为可供水量的。,可供水量的内涵,4.2,水利工程可供水量计算,引水工程：,指从河道或其它地表水体能够自流取水的水利工程。,4.2,水利工程可供水量计算,单项工程的可供水量,蓄水工程：,在时间上对水资源重新分配，在来水多时把水蓄起来，在来水少是根据用水要求适时适量的供水。,提水工程：,包括地表水提水工程和地下水提水工程。地表水提水工程可供水量是指通过动力机械设备从江河、湖泊中提取的水量。地下水提水工程可供水量指通过提水设备从地下提取为用户所用的水量。,系列调节计算法,4.2,水利工程可供水量计算,单项工程的可供水量计算,典型年法,区域的可供水量，一般先单项工程着手，而后综合计算。,区域的可供水量计算,引水工程：,指从河道或其它地表水体能够自流取水的水利工程,可供水量：,许可的引水量必须从年最大引水量中减去用户不用的水量，剩余部分才是引水工程可以供给的水量,供水能力：,工程措施充分发挥作用时可提供的水量,4.2,水利工程可供水量计算,引水工程,大、中型引水工程,河道无调节能力,约束条件,渠道过水能力,下游河道流量要求,用户的用水要求,小型引水工程,4.2,水利工程可供水量计算,引水工程可供水量计算,供水系数法,W,可供,某一水平年某一来水频率引水工程的可供水量；,n,p,某一来水频率引水工程的供水系数；,A,引水工程的灌溉面积；,W,某一来水频率毛灌溉定额,例,1,（一用户情形）,已知,: (1),表中单位为,m,3,/s,(2),用水户为单用户情形,(3),渠道过水能力为,70m,3,/s,，下游流量要求为,60 m,3,/s,求解：各时段可供水量？,4.2,水利工程可供水量计算,例,1,计算结果,问题：如果用水户为多用户情形，如何分配水量？,4.2,水利工程可供水量计算,a.,不考虑取水口下游流量限制,b.,不考虑引水渠道过水能力,例,2,（两用户情形）,方法,1,：属地优先原则,用户,1,：可供水量,Q,1,=100 m,3,/s,用户,2,：可供水量,Q,2,=120-100+100*20%+60= 100 m,3,/s,4.2,水利工程可供水量计算,4.2,水利工程可供水量计算,缺点,:,未考虑用水户重要性,用户,2,用户,1,=20,%,Y,区,=60,D,1,=100,D,2,=200,Y,1,=120,Q,1,Q,2,方法,2,：均衡受益原则，两者缺水率相等,用户,1,：可供水量,Q,1,=64.28 m,3,/s;,用户,2,：可供水量,Q,2,=128.59 m,3,/s,用户,1,：可供水量,Q,1,=44.44 m,3,/s,；用户,2,：可供水量,Q,2,=144.44 m,3,/s,用户,2,用户,1,=20,%,Y,区,=60,D,1,=100,D,2,=200,Y,1,=120,Q,1,Q,2,方法,3,：均衡受益原则，考虑用户重要性,假设用户,2,的重要性是用户,1,的,2,倍，即,4.2,水利工程可供水量计算,多用户供水模式,考虑用户重要性,属地优先权模式,4.2,水利工程可供水量计算,均衡受益模式,先满足上游需水，再考虑下游用户,从河道提水,河道来水情况,下游河道流水要求,提水设备能力,提水工程可供水量计算,4.2,水利工程可供水量计算,从湖泊、大江、大河中提水,提水量不太大时，基本不考虑需水限制,提取地下水,应以不致造成不良后果为前提,蓄水工程,4.2,水利工程可供水量计算,中小型水库,年调节水库,大型水库,水库具有调节能力，可以根据需水对天然径流再分配,资料允许情况下，根据水库来水、用水及水库有效蓄水量逐时段调节计算,不同的调节模式，有不同的结果,多年调节水库,量多且缺乏实测资料,已知：（,1,）表中水量单位为万立米,（,2,）假设水库始、末水位均为死水位,（,3,）水库调节库容为,200,万立米,例,3,求解： 水库各时段可供水量,4.2,水利工程可供水量计算,大型水库,（,3,）“相对缺水率最小”模式,需水约束,水量平衡约束,有效蓄水量约束,多用户重要性,（,1,）“有水就用”模式,（,2,）“过程相似”模式,4.2,水利工程可供水量计算,例,3,计算结果,问题：若调节库容为,100,万立方，计算结果如何？,4.2,水利工程可供水量计算,0,模式,2,：,V,调节,200,模式,3,：,V,调节,100,不同计算模式示意图,库容有限时供水过程示意图,4.2,水利工程可供水量计算,水量利用系数法：,利用,关系进行推求,4.2,水利工程可供水量计算,库容系数,利用系数,关系曲线,(,某省实际资料计算分析得出,),复蓄指数法,:,水库、塘坝年可供水量与有效库容之比值。,中型水库,小型水库,4.3,区域可供水量计算,基于模拟的可供水量计算,基于优化的可供水量计算,系统概化,用户概化,水源划分,工程安排,系统网络图,水资源系统：,是指在一定范围或环境下，为实现水资源开发利用目标，由相互联系、相互制约、相互作用的若干水资源工程单元和管理技术单元组成的有机体。,区域可供水量的计算：,就是在各种用水户需水要求下，对区域内部所有水利工程的可供水量进行计算。,4.3,区域可供水量计算,系统概化,4.3,区域可供水量计算,研究区域分区：,按行政区划分区,按自然地理单元分区,按社会经济单元划分,按流域水资源分区与区域行政分区相结合的方法划分,(1),用户概化,蓄水工程,引水工程,提水工程,调水工程,中水回用,当地水,当地地表水,当地地下水,再生水,外来水,4.2,水利工程可供水量计算,(2),水源分类,(3),工程安排,水源与分区分类型用户之间，通过各种供水工程相联系。,按照供水工程、概化用户在流域水系上和自然地理上的拓扑关系，把水源与用户连接起来，形成系统网络图。,系统网络图是对真实系统的抽象概化，由概化元素构成。概化元素包括,计算单元,、,水利工程,、,分汇水节点,以及各种,输水通道,等。,4.2,水利工程可供水量计算,(4),系统网络图,计算单元,是划分的最小一级计算分区，是各类资料收集整理的基本单元，也是水资源利用的主体对象；在网络图上用长方形框表示，属于“面”元素。,4.2,水利工程可供水量计算,概化用户,分汇水节点,包括天然节点和人为设置的节点两类，前者是重要河流的交汇点或分水点，后者主要是对水量水质有特殊要求或希望掌握的控制断面，在网络图上属于“点”元素。,输水通道,是对不同类别输水途径的概化，包括河流水系，水利工程到计算单元的供水传递关系，计算单元退水的传递关系、水利工程之间或计算单元之间的联系等，在网络图上属于“线”元素。,水利工程,是网络图上标明的水库及引提水工程等。,4.3,区域可供水量计算,水利系统可供水量计算,分类,一个区域，有各种水利工程构成一个或多个水利系统，共同为用户提供水源。通常情况下，可供水量应包括部分水量：,蓄：当地径流通过水库湖洼河网调节可提供的水量,引：计算区以外，通过天然或人工河道自流引入的那部分客水,提：从河道或地下，通过动力机械设备提取的那部分客水,调：从外流域调入补给的那部分水量,回：工农业和城镇居民生活用水的回归废弃水中，可调蓄利用的水量,先是用小工程的水，再使用大工程的水,先用自流水，再用蓄水和提水,先近后远,先用地表水，再用地下水，尽量维持地下水采补平衡,先用当地水（包括过境水），再调外流域水,优水优用，自来水和地下水用于生活和一部分工业，其他水用于水质要求低的农业和部分工业,4.3,区域可供水量计算,调节计算原则,水利系统可供水量计算的具体调度原则应根据各系统的具体情况制定，应力求做到统筹兼顾，合理安排，有利于缓解供需矛盾，有利于使有限的水资源取得较好的社会经济生态效益，有利于区域可持续发展。,以概化的系统网络图为基础，以事先拟定的各种调配规则为依据，按一定次序，对各水源、各计算单元进行各水利工程调节计算的方法。,地表水,地下水,4.3,区域可供水量计算,基于模拟的可供水量计算,统筹兼顾各分区各种类型的用水需求、合理安排各种水源各类工程的供水策略，有利于系统内的供需平衡。,总要求,计算方法,（,1,）计算程序,可供水量的计算：先支流后干流，自上游到下游，逐计算单元计算。,每一计算单元的计算遵循水量平衡的原则。,（,2,）供水次序,对计算单元，谁先供？,先用自流水，后用蓄水和提水；先用地表水，后用地下水；,先用本流域的水（包括过境水），后用外流域调水；,水质优的水用于生活等用户，其它水用于水质要求较低的农业或部分工业用户。,（,3,）用水次序对供来的水，谁先用？,先尽量满足生活需水，再依此是河道内最小生态需水、工业和第三产业需水、农业需水、河道外生态需水等。,4.3,区域可供水量计算,区域水资源一般性的调配规则,4.3,区域可供水量计算,计算单元内部分配，包括对当地地表水及地下水等水源的分配：这类水源原则上只对所在计算单元内部各类用户进行供水，不跨单元利用。,一个水源对多个单元间联合分配，包括大型水库、外流域调水、处理后污水等水源或水量的分配与传递：这类水源可为多个计算单元所使用，其水量的传递和利用关系由系统网络图传输线路确定,如一条河流上有上下两个计算单元，可以应用“分散余缺”方式进行计算等。后者也是系统模拟的重点和难点,水源间、计算单元间相互关系,反映,需水结构调控方案,的变量。如各区域各部门的发展规模，节约用水方案，生态需水调控方案等。隐含在模型的需水变量中起作用。,反映,供水结构调控方案,的变量。如水利工程的布局、规模及建设次序等。隐含在模型中的水利工程运行约束域中起作用。,反映,运行管理策略方案,的变量。如水量宏观调配、工程运行策略的变量。以不同水源向不同用户的供水量反映。,4.3,区域可供水量计算,基于优化的可供水量计算,决,策,变,量,的,分,类,4.3,区域可供水量计算,根据区域水源的来源形式，可将水源分为外调水源和自产水源。设区域中有,I,种供水水源（,i,=1,2,，,，,I,）。,区域用水部门的划分，设区域中有,K,个用水部门（,k,=1,2,，,，,K,），对于水资源分区,j,，一般情况下有,K,个用水部门。,不同的季节用水部门（特别是农业用水）对水的需求会有所增减，因此，将规划水平年按月进行时段划分，,t,=1,2,，,，,T,。,由此可见，在特定规划水平年，对整个区域而言是一个拥有,I,J,K,T,个决策变量的水资源优化配置问题。,根据可供水量的涵义，供水系统优化是解决水资源的短缺问题。为了更好地满足生活、工农业生产以及生态等的需求，确定,模型的目标为区域供水系统相对总缺水量最小,。模型形式为：,为区域在第,j,分区第,k,用水部门第,t,时段的需水量；,为区域第,i,供水水源给第,j,分区第,k,用水部门第时段的供水量；,为第,j,分区第,k,用水部门相对其他用水部门优先得到供给水资源的重要程度系数。,4.3,区域可供水量计算,目标函数,（,1,）可供水量约束,（,2,）需水量约束,（,3,）供水能力约束,（,4,）工程运行可行域约束,（,5,）变量非负约束,4.3,区域可供水量计算,约束条件,4.3,区域可供水量计算,模型求解,结合模型的特点，选择优化方法进行求解,例,4,一座年调节水库，若自蓄水期到供水期末，一个完整的计算期,T,为一年，划分为,12,个相等的时段，每个时段长,T,为一个月，每月入库水量为,Q,1,，,Q,2,，,Q,12,，且相应的需水量为,D,1,，,D,2,，,D,12,。,目标函数,水量平衡约束,水库蓄水量限制,供水量限制,因此，水库优化的数学模型为：,4.3,区域可供水量计算,动态规划方法优化,阶段变量,t,：可取,1,个月或旬,状态变量：月初水库,V,t-1,为状态变量。离散时，取水库蓄水量的变化量为步长,V,，将库蓄水量分成,m-1,个网格，共有,m,个库蓄水量。,决策变量：选用各时段的供水量,X,t,，相应于一个决策，就有一个阶段效应（如相对缺水率）,状态转移方程：,Q,t,为环境输入变量，则输入状态变量,V,t-1,，决策变量,Xt,，输出状态变量,V,t,之间的关系为：,V,t,=V,t-1,+Q,t,-X,t,递推方程：顺推、逆推,逆推算法，得到的动态规划的递推方程：,4.3,区域可供水量计算,4.3,区域可供水量计算,动态规划方法求解,原模型转化为动态规划模型：,动态规划算法包括两步,（逆推法）,（,1,）根据最优化原理按照递推方程自最后阶段向前逐时段求出相对缺水率平方和最小的逆时序递推过程；,（,2,）求出最优策略及相应的个状态的回代过程。,4.3,区域可供水量计算,Dynamic Programming (DP),分级系统,动态规划方法是分级决策方法和“最优化原理”相结合而产生的一种有效的优化方法。它的基本思想是把一个可以分级决策的问题按照“最优化原理”逐级寻求最佳决策序列，达到整体优化的目标,为说明分级决策的概念，用下面例子进行分析。下图是从,P,到,Q,的路径图。,A、B、C、D、E、F,是路径的中结点，图上的数字表示该路径的长度。现在的问题 是要求出,P,到,Q,的最短路径,P,Q,共有8条路经,P,Q,最短为:,P-D-B-F-Q,长度21,这是穷举法,24,23,28,25,22,21,25,22,当可行方案较多时，计算工作量很大。如有,n,级，在前,n1,级中从每点出发有,M,条路，而第,n,级的每一点（除,Q,点）出发只有一条路，则可行路径共有,M,n1,条,“,穷举法”为分级决策提供了一个基础，仍以上图的最短路径问题为例，按图把问题分为四个阶段，,x,i,称为状态变量，,d,i,称为决策变量，,g,i,称为级收益,方框中的编号表示级,第一级表示从,P,到,A,或,D,的过程,取第一级的输入状态变量,x,1,P，,表示该级是从,P,出发的,从,P,可以走向,A，,也可以走向,D，,即可以在走向,A,或,D，,要在两者中进行决策:,d,1,=A,或,D,而第一级的收益则是这一过程中走过的路径的长度。它是输入状态变量,x,1,与决策变量,d,1,的函数，,g,1,(x,1, d,1,)，,当,d,1,=A,时，,x,1,=P，,则,g,1,(P,A)10，,当,d,1,=D,时，有,g,1,(P,D)=12,求从,P,到,Q,的最短路径，第一级不能确定最佳决策，要考虑到后面各级的影响,考虑第一级,不知道,d,1,取,A,优，还是取,D。,无法确定第二级最优出发点是,A,/,D,因此第二级的输入状态取决于第一级的决策，,x,2,d,1,。,当,d,1,确定之后,x,2,即随之确定。这就是为什么称其为状态“变量”的原因,该级的收益函数,g,2,（x,2,，d,2,）,则有四个可能值,当,x,2,A，d,2,B，,则第二级的收益,g,2,（A，B）6,当,x,2,A，d,2,E，,则第二级的收益,g,2,（A，E）7,当,x,2,D，d,2,B，,则第二级的收益,g,2,（D，B）2,当,x,2,D，d,2,E，,则第二级的收益,g,2,（D，E）2,第二级,输入状态变量,x,2,不论为,A,或,D,，,决策变量,d,2,只可能选,B,或,E,第三级,的输入状态变量，应取,x,3,d,2,，,即第三阶段的出发点取决于第二阶段的决策值。但不论第三阶段的出发点为,B,或,E，,可能通往的点将为,C,或,F,该级收益函数,g,3,(x,3,，d,3,),的值有以下四种可能：,g,3,(B，C)3 g,3,(B，F)3,g,3,(E，C)6 g,3,(E，F)4,第四级,的输入状态变量,x,4,应取,d,3,，,第四阶段的出发点取决于第三阶段的决策值：,d,3,取,C,或,F。,但,C,或,F,只可能通往,Q,.,g,4,(C，Q)5 g,4,(F，Q)4,因本问题是第一级输入状态变量,(,x,1,),已知，对初始状态已知的初值问题，计算程序一般是逆推计算,通向,Q,点的路径有两条，当,x,4,C,时,，,g,4,(C，Q),*,=5,x,4,F,时,， ,g,4,(F，Q),*,=4, ,*,表示余下部分的最佳收益,输入状态变量,x,3,B,或,E,，,而决策变量,d,3,C,或,F，,通往,Q,的路径有四种,(1),x,3,B，d,3,C，,则从,B,到,Q,的总长度为,g,3,（B，C）+g,4,（C，Q）*3+58,(2),x,3,B，d,3,F，,则从,B,到,Q,的总长度为,g,3,（B，F）+g,4,（F，Q）*3+47,(1)，(2),两方案都是自,B,通往,Q,的路径。显然,BFQ,较,BCQ,短，因此，只要路径通到,B,点，必将选,BFQ,，,而不应选,BCQ,路径,求,P,到,Q,的最短路径，可采用“分级决策方法”，即分级求出最佳决策,第二步：分析第三级,第一步：从第四级开始计算,选择,（,面临阶段效益+余留阶段效益)最优的路径,(3) x,3,E，d,3,C，,则从,E,到,Q,g,3,(E, C)+g,4,(C, Q)*6+511,(4) x,3,=E，d,3,=d，,则从,E,到,Q,g,3,(E, F)+g,4,(F, Q)*4+48,因此，,E,到,Q,必选,EFQ,输入,x,2,A,或,D,，,而决策,d,2,B,或,E,，,因此通往,Q,的路径也有四种方案,(1),x,2,A，d,2,B，,即从,A,经过,B,到,Q，,考虑到第二步从,B,到,Q,应选,EFQ,才可能使所选路径最短。于是有,g,2,（A，B）+g,3,（B，F）+ g,4,（F，Q）*6+713,(2) x,2,A，d,2,E，,即从,A,经,E,到,Q，,其长度为,g,2,（A，E）+ g,3,（E，F）+ g,4,（F，Q）,*,7+815,比较,(1)，(2),可知，从,A,到,Q,的最短路径应为,ABFQ,第三步：分析第二级,x,2,D，d,2,B，,如前法有,g,2,(D，B)+ g,3,(B，F)+ g,4,(F，Q),*,2+79,x,2,D，d,2,E，,同理有,g,2,(D，E)+ g,3,(E，F)+ g,4,(F，Q),*,2+810,比较,(3)，(4),得，凡经,D,到,Q,的最短路径都应选,DBFQ,在前面几步中，我们可以看到：采用分级决策方法，可以在逐级计算中不断淘汰一些较差的方案，减少计算工作量输入状态变量仅可取一个值,x,1,P,，,而决策的变量,d,1,A,或,D,通往,Q,的方案有两个,(1),x,1,P，d,1,A，,其长度为,g,1,(P，A)+ g,2,(A，B)+ g,3,(B，F)+ g,4,(F，Q),*,10+1323,(2) x,1,P，d,1,D，,其长度为,g,1,(P，D)+ g,2,(D，E)+ g,3,(E，F)+ g,4,(F，Q),*,12+9=21,(4),第四步：分析第一级,由(,1)，(2),结果可知，从,P,到,Q,的最短路径应为：,PDBFQ,其长度为,21,，这就是要求的最佳解。相应的各级的决策值,d,1,D，d,2,B，d,3,F，d,4,Q,写成序列形式,d,1,，d,2,，d,3,，d,4,D，B，F，Q，,称为该问题的“最优决策序列”,这种分级决策方法所需加法10次，比较运算6次，较穷举法计算工作量为少,动态规划方法就是以分级决策方法为基础的,5.2,分级决策的数学模型,分级决策求解最短路径问题，其模型可用图表示如下,图中,x,1,，x,2,，.，x,N,，x,N+1,，,为状态变量。可以看出它们常常是一个级的输出而又是下一级的输入，因此状态变量在相连的上、下两级之间起着信息传递的作用。,d,1,，d,2,，.，d,N,为,N,个决策变量，分级决策问题就是在一定条件下（如,x,1,已给的初值问题），确定决策序列，使问题的总收益,G,为最佳,图中,g,1,，g,2,，.，g,N,，,为,N,个级的收益的“和”为该问题的总收益,Gg,1,g,2,.g,N,。,如果“和”为通常意义下的和，则有,Gg,1,+g,2,+.+g,N,如果“和”为通常的乘积，则有,Gg,1,g,2,g,N,一个满足分级条件的问题，按照一定的要求将问题分成,N,级，把一个原是一个多个变量的问题，在采用了分级决策后转成为一个在每一级仅含单个变量的问题。求解容易，这是分级决策的优越性,将一个问题转换为分级决策，这个问题应满足什么条件？,它们是：状态变量的转移性和收益函数的可分性,一个问题分级后，每一级的输入状态变量应是前一级输出状态变量,每一级的输出状态是该级的输入状态与决策变量的共同作用的结果,状态转移方程：,x,i+1,y,i,(x,i, d,i,),输入输出函数关系,当决策序列,d,1,，d,2,，.，d,N,和初始状态变量,x,1,已知时,x,2,y,1,(x,1,，d,1,),x,3,y,2,(x,2,，d,2,)=y,2,(y,1,(x,1,，d,1,), d,2,),x,i+1,y,i,(x,i,，d,i,),y,i,(y,i-1,(x,i-1,，d,i-1,)，d,i,）,y,i,(y,i-1,(.y,2,(y,1,(x,1,，d,1,)，d,2,).，d,i-1,)，d,i,) ( i1，2，N,),上式说明了级间状态变量之间的关系，还说明了已知初始状态,x,1,的初值问题，当决策序列,d,1,，d,2,，.，d,N,已给，就可以求得,x,i,(i2),的值,状态变量的转移性,2. 总收益函数的可分性,为了采用分级决策的方法，须把问题划分为,N,个级，各级收益,g,i,的“和”为总收益（,G）。,如果总收益函数为下列形式，即可满足这一要求,一个问题采用分级决策的方法，其状态变量应具有转移性，而总收益函数具有可分性。由此，可得分级决策的一个重要性质,=g,K,(x,K,，d,K,)+ g,K+1,(x,K+1,，d,K+1,)+ g,M,(x,M,，d,M,) +,g,N,(x,N,，d,N,),又因,x,K+i+1,y,K+i,(x,K+i, d,K+i,)，i1，2，N-1,G,K,M,=g,K,(x,K,，d,K,)+g,K+1,(y,K,(x,K,，d,K,),d,K+1,)+.+g,M,(y,M-1,(y,M-2,(.(y,K,(x,K,，d,K,)，d,K+1,).)，d,M,),由递推公式可以看出第,KN,级的收益仅与第,K,级的输入状态变量,x,k,和第,K,级到第,N,级的决策有关, 与第,K,级以前的状态变量和决策无关.该性质称为分级决策的 “无后效”性 ，数学上称马尔可夫性（过去,现在,未来）,设,d,1,，d,2,分别为,A、B,各应生产的单位数，则可列出如下数学模型：,s. t4d,1,+2d,2,30,d,1,0d,2,0,O. fmax G1d,1,+0.8d,2,d,1,+0.8d,2,显见有解：,d,1,0， d,2,15,max G0.81512,（,亿元）,上述的静态规划亦可用动态规划方法求解,例1 某水库有,30(,m,3,/s)month,的水用于灌溉,A、B,两种作物，已知每生产单位产量的,A,作物需,4 (,m,3,/s)month,水，生产单位产量的,B,作物需,2 (,m,3,/s)month,的水。而,A、B,产品在市场上单位产量售价分别为,1,亿元和,8,千万元，求如何分配两种作物的种植量，使总收益最大。这是线性（静态）规划问题,建立分级决策模型,1,2,x,1,=30,d,1,d,2,x,2,=x,1,-4d,1,x,3,=x,2,-2d,2,1d,1,0.8d,2,d,1,，d,2,为可控制、可调整的变量，可选其为决策变量，可以提供的水量作为输入状态变量,第一级可供水为30，即第一级输入,x,1,30,，,实际供水量为,4,d,1,，,还剩,x,1,-4d,1,为第一级输出,x,2,（x,1,-4d,1,）,第二级输入状态为,x,2,而在第二级中用去,2,d,1,，,故该级输出,x,3,x,2,-2d,2,第一级的级收益为：,g,1,1d,1,；,第二级的级收益为：,g,2,0.8d,2,。,建立分级决策模型,1,2,x,1,=30,d,1,d,2,x,2,=x,1,-4d,1,x,3,=x,2,-2d,2,1d,1,0.8d,2,得分级决策模型：,极大化,Gg,1,（x,1,，d,1,）+ g,2,（x,2,，d,2,）,d,1,+0.8d,2,约束条件,x,1,30,x,2,y,1,（x,1,，d,1,）x,1,-4d,1,x,3,y,2,（x,2,，d,2,）x,2,-2d,2,x,i,0，i1，2，3；d,j,0，j1，2,例2 在三个电网中共建四座规模相同的电站。电网中电站增加，电网供电区的社会收益也增加，具体数据如下表所示。为使三个电网总的社会受益最大，每个电网应建多少座电站？,上表中数字，例如，第一行第三列的,16,表示在第一个电网中修建一座水电站，其供电区社会收益为,16,亿元/年，表中其它数字的含义与此类似,记,d,i,为在第,i,电网修建电站数，,g,i,(d,i,),为第,i,电网相应社会效益，则有下述,max,约束条件,4,d,i,是0的整数,把三个电网作为三级。对于第一个电网，其输入变量,x,1,为可提供修建4座电站，即,x,1,4,，,若修建了,d,1,座电站，因,d,1,是可选择的，可控制的量，把它作为决策变量。电网1的供电区收益为,g,1,(x,1, d,1,),在电网1中修建了,d,1,座电站，由状态转移方程,x,2,y,1,(x,1, d,1,)x,1,-d,1,，,即还剩,x,1,-d,1,座电站，这是电网1的输出状态变量，即电网2的输入状态变量，在电网2中可以修建的电站数为,x,2,，,若电网2修建了,d,2,座电站，获得收益,g,2,(x,2,，d,2,)，,还剩,x,3,x,2,-d,2,座电站可供电网3修建,在电站3中修建了,d,3,座电站，获得收益,g,3,(x,3,，d,3,)，,这时还剩,x,4,x,3,-d,3,座电站，由于题意，有,x,4,0,1,3,2,d,1,d,2,d,3,x,1,=4,x,2,=x,1,-d,1,x,3,=x,2,-d,2,x,4,=x,3,-d,3,=0,g,1,(x,1,d,1,),g,2,(x,2,d,2,),g,3,(x,3,d,3,),G,1-3,分级决策数学模型如下,：,极大化,约束条件,x,1,4,x,i+1,x,i,-d,i,i1，2，3,x,4,0,x,i,，d,i,0,的整数，,i1，2，3,1,3,2,d,1,d,2,d,3,x,1,=4,x,2,=x,1,-d,1,x,3,=x,2,-d,2,x,4,=x,3,-d,3,=0,g,1,(x,1,d,1,),g,2,(x,2,d,2,),g,3,(x,3,d,3,),G,1-3,在例,1,中我们选取生产,A、B,两种作物单位数为决策变量，例,2,中选取三个电网修建电站数为决策变量，把问题划为分级决策数学模型。将一个较为复杂的实际问题划为分级决策问题，如果可能的话，适当地选取决策变量往往是一个关键。如何选取决策变量并没有一定的方法可循，这除解题经验外，主要还是靠对实际问题的理解,5.3,动态规划方法,为了建立动态规划的基本方程收益函数递推方程，先介绍动态规划方法中常用的术语、符号及其含义,动态规划模型和前面分级决策模型是一样的,1,3,2,d,1,d,2,d,3,x,1,x,2,x,3,x,N+1,g,1,(x,1,d,1,),g,2,(x,2,d,2,),g,3,(x,3,d,3,),G,1-N,N,g,N,(x,N,d,N,),d,3,级：,动态规划方法的特点是先将一个复杂的问题分解成相互联系而又相对独立的若干小问题。每一问题即为“级”，把这些小问题按顺序编号，如上图，分别记以,1,2,N,共有,N,级。编号一般由前向后，或由后向前（特殊情形）。级变量常以,K,表示,状态变量：,图中每一级的输入,x,K,称为状态变量。一般第,K,级的输入状态变量,就是第,K-1,级的输出变量。状态变量可以取一个数，一组数，一函数等,当状态变量取一数时，其取值范围可用“状态集合”表示：,X,K,x,k,(1), x,k,(2),. x,k,(p),有时也称,x,k,(i),为状态。还有时为条件集合，如,X,K,r,x,k,1,r,，x,k,2,r,，. X,k,p,r,即当第,K-2,级输出状态（,K-1,级输入状态）为,x,r,k-1,时，第,K-1,级输出状态（第,K,级输入状态）的集合为,x,k,，.,决策变量：,决策变量是在某级状态变量给定之后，在该级可能给出的可控制量。图中,d,1, d,2,，d,k,d,N,为决策变量。决策变量与状态变量一样，可以为一个数、一组数、一函数等。决策变量的取值范围称作：允许决策集合。为说明决策变量取决于状态变量，记作,d,k,(x,k,)，,亦称作参数决策变量，,d,k,(x,k,)D,k,(x,k,),D,k,(x,k,),第,K,级的输入状态为,x,k,时的允许决策集合,状态转移方程,x,k+1,y,k,(x,k,，d,k,),把各级的状态及决策变量联系起来,1,3,2,d,1,d,2,d,3,x,1,x,2,x,3,x,N+1,g,1,(x,1,d,1,),g,2,(x,2,d,2,),g,3,(x,3,d,3,),G,1-N,N,g,N,(x,N,d,N,),d,3,策略：,由各级决策组成的决策序列称为该问题的策略,若初始状态,x,1,已给，由参数决策变量,d,k,(x,k,)D,k,(x,k,),与状态转移方程,x,i+1,y,i,(x,i,，d,i,),设各级的决策变量,d,k,(x,k,)(k1，2,N),均已确定，则整个决策过程也就完全确定。决策序列,(,d,1,(x,1,)，d,2,(x,2,),d,k,(x,k,),d,N,(x,N,),就是一个策略，而且是可行的策略，记作,P,1,N,(x,1,)，,一个动态规划问题，可能有多种可能策略，即策略中每一决策为允许决策的策略。可行策略之集合称作“可行策略集合”。对于,x,1,已给的可行策略集合记作,P,1,N,(x,1,),同样地，若第,K,级输入状态,x,k,已确定，则称决策序列,d,k,(x,k,), d,k+1,(x,k+1,)，d,N,(x,N,),为从,x,k,出发的一个子策略，记作,P,k,N,(x,k,)。,相应之子策略集合记作,P,k,N,(x,k,),收益函数,记,g,k,为第,K,级的收益，,g,k,输入状态变量,x,k,和决策,d,k,的函数，称作第,K,级收益函数,g,k,g,k,（x,k,，d,k,）,动态规划方法与分级决策方法一样，只能用于求解其总收益可分为级收益的这类问题，如有下列形式：,G,1，N,= ,或,G,1，N, ,G,1，N,为从第一级到第,N,级收益的“和”。记,G,K，N,为从第,K,级到第,N,级各级收益的“和”，接上式有,G,K，N,= ,G,K，N, ,当决策不同，策略亦不同，各级的收益函数的值也随之而改变，因此总收益,G,K,N,的值也不相同。可以用收益作为衡量一个策略方案的优劣的主要目标。如,x,1,初值已知，若选取了某一可行策略,P,K,N,d,1,d,2,d,N,P,K,N,(x,1,)，,总收益也随之而定。总收益,G,K,N,是,x,1,与,P,K,N,的函数，记作,f,K,N,，,用动态规划方法解问题，就是在可行策略集合中寻求一个最佳策略,p,*,1,N,P,K,N,，,使总收益函数值为最佳：,1,N,Opt G,1,N,(x,1,，p,1,N,)= G,1，N,(x,1,，p,*,1,N,),“,最佳收益“可以是最小成本（费用），也可以是最大获利.因此在使用最佳收益这一名词不应只理解为收益函数的最大值。,K,N,为第,K,级到第,N,级的收益和。动态规划中常要用到,K,N,的最佳值,K,N,OptG,K,N,（ ，p,K,N,）G,K,N,( , p,*,K,N,),式中 表示第,K,级的输入状态变量不能任意选取，它是由,x,k-1,与,d,k-1,唯一确定的，,p,*,K,N,为以 为始点的最佳子策略,1957,年,Bellman.R.,提出了,最佳化原理,，它是奠定动态规划方法的最基本的原理。该原理为：,作为分级决策过程的最佳策略具有这样的性质：不论过去的状态和决策如何，对于由前面的决策所形成的状态而言，后面各级的决策也必然构成最佳策略。换句话说，即为每个最佳策略只能由最佳子策略所组成,最佳化原理和动态规划递推公式,1,N,k,3,2,x,1,x,2,x,3,x,4,x,k,x,k+1,x,N,x,N+1,d,1,d,2,d,3,d,k,d,N,+,+,g,1,g,2,g,3,g,k,g,N,1,N,k,N,对于问题的最佳策略,p,*,1，N,d,1,*,，d,2,*,，. ，d,K,*,，. ，d,N,*,总收益则为最佳收益,f,1,N,Opt G,1,N,(x,1,，p,1,N,)= G,1,N,(x,1,，p,*,1，N,)。,初值,x,1,已给，从第1级到第,K,级，各级状态变量由前面的决策所决定：由,x,1,到,d,1,*,有,x,2,*,y,1,(x,1,*,d,1,*,);,再由,d,2,*,有,x,3,*,y,2,(x,2,*,d,2,*,);,x,K,*,y,K-1,(x,K-1,*,d,K-1,*,),那么，对于,x,K,*,，,从第,K,级到第,N,级决策必然是最佳（子）策略，即,p,K，N,p,*,K，N,d,K,*,，. ，d,N,*,这一点可由前面最短路径问题清除地看出。从,P,到,Q,的最短路径为,PDBFQ。,对于,B,到终点,Q，,其最短路径一定是,BFQ,1,N,k,3,2,x,1,x,2,x,3,x,4,x,k,x,k+1,x,N,x,N+1,d,1,d,2,d,3,d,k,d,N,+,+,g,1,g,2,g,3,g,k,g,N,1,N,k,N,利用最佳化原理，可以把一个多级决策的问题的求解过程看成是一个连续递推过程，由后向前逐步推算。在求解时，各级以前的状态和决策，对其后面的子问题来说，只不过相当于该级的初始条件，它并不影响后面过程对最优（子）策略的选择。这样，就把一个,N,级决策问题按级从后面向前分成,N,个相互联系的子问题，其中每一个子问题均是一个比原问题简单得多的优化问题，且每一个子问题的求解仅利用它的下一阶段（即下一级到末级）子问题的优化结果。对,N,个子问题依次求解，最后即可求得原问题的最优解。据此讨论，可以给出动态规划递推方程,为了使递推方程的关系一致，对第,N,级的输出状态变量,x,N+1,，,规定有,N+1，N,(x,N+1,)C,边界条件,这里,C,是一个常数，其值可由边界条件来确定，在最短路径问题中第四级的输出状态,x,4,只能取终点,Q,，,此时有,5,4,(Q)0,对于收益函数的和为通常意义下的和,G,K，N,1KN,则有,K，N,(x,k,)Opt (g,k,(x,k,，d,k,)+f,k+1，N,(x,N+1,),d,k,(x,k,)D,k,(x,k,)x,k,X,K,再加上状态转移方程,x,k+1,y,k,（x,k,，d,k,（x,k,）,动态规划解法,因此本例应从第,2（,N2）,级开始求解。,当,N2,时,，,第,2,级是这样一个规划问题。即在约束条件为,x,2,-2d,2,0,(,不应出现剩余水为负值),d,2,0,(,供水量不为负值),解得：,d,2,d,2,0d,2,0.5x,2,要使第,2,级收益函数,g,2,(x,2, d,2,)0.8d,2,为最大,d,2,max d,2,=,0.5x,2,，,d,2,*,(x,2,)0.5 x,2,，,而第2级的最佳收益,2,2,(x,2,)0.80.5x,2,0.4 x,2,现以上节中的例,1,说明，很显然，这是一个初值问题。对于初值问题，一般采用逆推求解,1,2,x,1,=30,d,1,d,2,x,2,=x,1,-4d,1,x,3,=x,2,-2d,2,1d,1,0.8d,2,动态规划是分级决策方法和最优化原理相结合,当,N1,时,第,1,级受约束于,x,1,-4d,1,0, d,1,0,即,d,1,d,1,0d,1,0.25x,1,使1，2级的总收益最大,G,1,2,g,1,(x,1,，d,1,)+,1,2,(x,2,)d,1,+0.4x,2,为了求出第一级的最佳决策,d,1,，,利用动态转移方程,x,2,x,1,-4d,1,代入,G,1,2,g,1,(x,1,，d,1,)+,1,2,(x,2,)d,1,+0.4x,2,得:,G,1,2,d,1,+0.4x,2,0.4x,1,-0.6d,1,在,d,1,的允许决策集合之内：,0,d,1,0.25x,1,，,使,G,1,2,最大，则应选取,d,1,(x,1,)0,，,为此有,1,2,(x,1,)max G,1,2,0.4x,1,因,x,1,30, d,1,(x,1,)0，,则,x,2,x,1,-4d,1,30-030,而,d,2,(x,2,)0.5x,2,0.53015,总最佳收益,1,2,(x,1,)0.4x,1,0.43012,（,亿元）,根据上述求解过程，,N,级决策变量的动态规划方法可以归纳如下：,将问题按决策变量分成,N,级，各级的状态变量，决策变量和级收益函数如,下图,：,2. 当给定了初值,x,1,，,计算从最后一级向前逐级进行。对于第,N,级，则是确定第,N,级的最佳决策值,d,*,(x,N,)，,以使第,N,级的收益为最佳，即满足,N,N,(x,k,)Opt g,N,(x,N,，d,N,),1,N,k,3,2,x,1,x,2,x,3,x,4,x,k,x,k+1,x,N,x,N+1,d,1,d,2,d,3,d,k,d,N,g,1,g,2,g,3,g,k,g,N,1,N,注意:,由于第,N,级前面各级的决策尚未作出，第,N,级的输入状态变量,x,N,亦未定，因此由上式求第,N,级的最佳决策值,d,N,只能是,x,N,的函数，或称为参数最佳决策,d,*,N,(x,N,)，,而只当,x,N,定后，才能最终定出决策值,d,N,*,d,N,*,(x,N,),是,x,N,的函数，故,N,N,也为,x,N,的函数。可写为,N,N,(x,N,),（3）,在求出第,N,级的参数最佳决策,d,*,N,(x,N,),和最佳收益,N,N,(x,N,),后，同理可求出第,N-1,级的参数最佳决策,由第,N-1,级,状态转移方程,x,N,y,N-1,(x,N-1,),和 从第,N-1,到,N,级的收益和函数,G,N-1,N,g,N-1,(x,N-1, d,N-1,),N,N,(x,N,),利用“最佳化原理”，上式第二项为第,N,级的最佳收益，也就在确定第,N-1,级的最佳决策,d,*,N-1,(x,N-1,),时，认为,N-1,级以后的子策略（即第,N,级的决策构成的策略）已为最佳策略。通过,可求最佳参数决策,d,*,N-1,(x,N-1,),(4),按照由后向前的次序逐级计算，到,K+1,级，则有从,K1,级到,N,级的最佳收益函数,K+1,N,(x,K+1,),和参数最佳决策序列,d,*,K+1,(x,K+1,), d,*,K+2,(x,K+2,),由此可列出从,K,级到,N,级的收益函数,G,K,N,g,K,(x,K,d,K,),K+1,，,N,(x,K+1,),通过第,K,级的收益函数和状态转移方程，可求得第,K,级的参数最佳决策,d*,N,(x,N,),和,K,级的最佳收益函数,K,N,(x,K,),即,动态规划基本方程递推方程,(5),当计算到第一级时，则有,G,1,N,g,1,(x,1, d,1,)f,2,N,(x,2,),求出,d,*,1,(x,1,)，,因初值,x,1,是已知的，这样第一级决策,d,*,1,(x,1,),就可确定，通过状态转移方程，可逐个确定,d,*,2,d,*,3,，d,*,N,从而得到最佳策略,d,*,2, d,*,3,，d,*,N,。,对于初值问题，,x,1,已给，亦可按由前向后的顺算法求出最佳决策序列,第一步（,逆推）,K=N,d,*,N,(x,N,),K=N-1,d,*,N-1,(x,N-1,),K=1,d,*,1,(x,1,),第二步（,顺推）,x,1,d,*,1,x,i+1,=,y,i,(x,i,d,i,),d,*,2,d,N,x,i+1,y,i,(x,i,),N+1，N,(x,N+1,)C,边界条件,递推方程,状态转移方程,余留阶段收益,面临阶段收益,K-N,级最佳收益,初值问题动态规划模型,初值问题动态规划求解过程逆推,得参数最优决策：,d,*,1,(x,1,)， d,*,2,(x,2,)， d,*,N,(x,N,),1,3,2,d,1,d,2,d,3,x,1,=4,x,2,=x,1,-d,1,x,3,=x,2,-d,2,x,4,=x,3,-d,3,=0,g,1,(x,1,d,1,),g,2,(x,2,d,2,),g,3,(x,3,d,3,),G,1-3,例2 在三个电网中共建四座规模相同的电站。电网中电站增加，电网供电区的社会受益也增加，具体数据如下表。为使三个电网总的社会受益最大，每个电网应建多少座电站？,x,i+1,y,i,(x,i,),N+1，N,(x,N+1,)C,边界条件,递推方程,状态转移方程,表1,令：,4，3,(x,4,)0,当,k3,时，有,x,3,表2,当,K2,时，有递推关系,以状态转移方程,x,3,x,2,d,2,代入得,对于,x,2,得每一个给定值，可求出,d,2,得取值范围,D,2,(x,2,)；,然后对于,d,2,的每一个可能值，求得,x,3,x,2,d,2,，,在上表中查出相应的,