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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,11.12.20,#,课前篇自主预习,课堂篇探究学习,8.1,成对数据的统计相关性,8.2,一元线性回归模型及其应用,激趣诱思,知识点拨,你知道,“,乌鸦叫,没好兆,”,这样的迷信说法的原因吗,?,日常生活中类似这样的谚语,如,“,名师出高徒,”“,龙生龙,凤生凤,老鼠的孩子会打洞,”,又能说明什么样的相关关系呢,?,激趣诱思,知识点拨,一、变量的相关关系,1,.,相关关系,:,两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度,这种关系称为相关关系,.,2,.,散点图,:,将样本中的每一个序号下的成对样本数据都用直角坐标系中的点表示出来,由这些点组成的统计图叫做散点图,.,3,.,正相关与负相关,:,如果从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现增加的趋势,我们就称这两个变量正相关,;,如果当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现减少的趋势,则称这两个变量负相关,.,激趣诱思,知识点拨,4,.,线性相关,:,一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线附近,我们就称这两个变量线性相关,.,5,.,非线性相关,:,一般地,如果两个变量具有相关性,但不是线性相关,那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关,.,激趣诱思,知识点拨,微练习,下列两个变量具有相关关系的是,(,),A.,角度和它的余弦值,B.,正方形的边长和面积,C.,人的年龄与身高,D.,人的身高和体重,解析,:,A,B,具有确定性的函数关系,;C,无相关关系,;,一般地,身高越高,体重越重,是相关关系,.,故选,D,.,答案,:,D,激趣诱思,知识点拨,微思考,相关关系与函数关系有什么异同点,?,提示,:,相同点,:,两者均是指两个变量的关系,.,不同点,:,函数关系是一种确定的关系,如圆的面积,S,与半径,r,的关系,它可以用函数关系式,S=,r,2,来表示,;,相关关系是一种非确定的关系,如人的体重,y,与身高,x,有关,一般来说,身高越高,体重越重,但不能用一个函数关系式来严格地表示它们之间的关系,.,函数关系是两个非随机变量的关系,而相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系,.,函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系,.,激趣诱思,知识点拨,二、样本相关系数,对于变量,x,和变量,y,设经过随机抽样获得的成对样本数据为,(,x,1,y,1,),(,x,2,y,2,),(,x,n,y,n,),其中,x,1,x,2,x,n,和,y,1,y,2,y,n,的均值分别为,我们称,r,为变量,x,和变量,y,的样本相关系数,.,激趣诱思,知识点拨,名师点析,样本相关系数,r,的性质,(1),当,r,0,时,称成对数据正相关,;,当,r,0,时,称成对数据负相关,.,(2),当,|r|,越接近,1,时,成对数据的线性相关程度越强,;,当,|r|,越接近,0,时,成对数据的线性相关程度越弱,.,(3),样本相关系数,r,的取值范围为,-,1,1,.,激趣诱思,知识点拨,微练习,对于样本相关系数,r,叙述正确的是,(,),A.,|r|,(0,+,),|r|,越大,相关程度越强,反之,相关程度越弱,B.,r,(,-,+,),r,越大,相关程度越强,反之,相关程度越弱,C.,|r|,1,|r|,越接近于,1,相关程度越强,;,|r|,越接近于,0,相关程度越弱,D.,以上说法都不对,解析,:,由样本相关系数的性质知,r,-,1,1,排除,A,B;,|r|,越接近于,1,相关程度越强,|r|,越接近于,0,相关程度越弱,故选,C,.,答案,:,C,激趣诱思,知识点拨,三、一元线性回归模型,我们称该式为,Y,关于,x,的一元线性回归模型,.,其中,Y,称为因变量或响应变量,x,称为自变量或解释变量,;,a,和,b,为模型的未知参数,a,称为截距参数,b,称为斜率参数,;,e,是,Y,与,bx+a,之间的随机误差,.,如果,e=,0,那么,Y,与,x,之间的关系就可用一元线性函数模型来描述,.,激趣诱思,知识点拨,四、一元线性回归模型参数的最小二乘估计,1,.,经验回归方程,激趣诱思,知识点拨,2,.,残差与残差分析,对于响应变量,Y,通过观测得到的数据称为观测值,通过经验回归方程得到的,称为预测值,观测值减去预测值称为残差,.,残差是随机误差的估计结果,通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果,以及判断原始数据中是否存在可疑数据等,这方面工作称为残差分差,.,3,.,在残差图中,当残差比较均匀地分布在横轴的两边,说明残差比较符合一元线性回归模型的假定,是均值为,0,、方差为,2,的随机变量的观测值,.,可见,通过观察残差图就可以直观判断模型是否满足一元线性回归模型的假设,.,激趣诱思,知识点拨,激趣诱思,知识点拨,微思考,在回归分析中,利用经验回归方程求出的值一定是真实值吗,?,为什么,?,提示,:,不一定是真实值,.,利用经验回归方程求出的值,在很多时候只是预测值,例如,人的体重与身高存在一定的线性相关关系,但体重除了受身高的影响外,还受其他因素的影响,如饮食、是否喜欢运动等,.,激趣诱思,知识点拨,微练习,(1),如果记录了,x,y,的几组数据分别为,(0,1),(1,3),(2,5),(3,7),那么,y,关于,x,的经验回归直线必过点,(,),A,.,(2,2),B,.,(1,.,5,2),C,.,(1,2),D,.,(1,.,5,4),经验回归直线必过点,(1,.,5,4),.,答案,:,D,激趣诱思,知识点拨,(2),若一个样本的总偏差平方和为,80,残差平方和为,60,则,R,2,为,.,答案,:,0,.,25,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,样本相关系数的应用,例,1,现随机抽取了某中学高一,10,名在校学生,他们入学时的数学成绩,x,与入学后第一次考试的数学成绩,y,如下表,:,学生号,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,x,120,108,117,104,103,110,104,105,99,108,y,84,64,84,68,69,68,69,46,57,71,请问,:,这,10,名学生的两次数学成绩是否具有线性相相关关系,?,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,由此可看出这,10,名学生的两次数学成绩线性相关,.,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,反思感悟,利用样本相关系数判断线性相关的求解策略,先计算样本相关系数,r,的值,再用,|r|,与,0,或,1,比较,进而对变量,x,与变量,y,的相关关系作出判断,.,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,变式训练,1,已知两个变量,x,和,y,的七组数据如下表,:,x,21,23,25,27,29,32,35,y,7,11,21,24,66,115,325,试判断,x,与,y,之间是否具有线性相关关系,.,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,求经验回归方程,例,2,某研究机构对高三学生的记忆力,x,和判断力,y,进行统计分析,得下表数据,:,x,6,8,10,12,y,2,3,5,6,(1),请画出上表数据的散点图,;,(2),请根据上表提供的数据,建立,y,关于,x,的经验回归方程,;,(3),试根据求出的经验回归方程,预测记忆力为,9,的同学的判断力,.,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,解,:,(1),散点图如图,:,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,反思感悟,1,.,求经验回归方程,:,2,.,利用经验回归方程进行预测,:,把经验回归方程看作一次函数,求函数值,.,3,.,利用经验回归方程判断正、负相关,:,决定正相关还是负相关的是,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,变式训练,2,随着我国经济的发展,居民储蓄存款逐年增长,.,设某地区城乡居民人民币储蓄存款,(,年底余额,),如下表,:,年份,2015,2016,2017,2018,2019,时间代号,t,1,2,3,4,5,储蓄存款,y/,千亿元,5,6,7,8,10,(1),建立,y,关于,t,的经验回归方程,;,(2),用所求经验回归方程预测该地区的居民,2020,年,(,t=,6),的人民币储蓄存款,.,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,解,:,(1),根据数据画出散点图,(,略,),由散点图可知,y,与,t,线性相关,.,列表计算如下,:,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,回归分析,例,3,某运动员训练次数,x,与成绩,y,的数据如下,:,次数,x,30,33,35,37,39,44,46,50,成绩,y,30,34,37,39,42,46,48,51,(1),作出散点图,;,(2),建立成绩,y,关于次数,x,的经验回归方程,;,(3),作出残差图,;,(4),计算,R,2,并用,R,2,说明拟合效果的好坏,.,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,解,:,(1),该运动员训练次数,x,与成绩,y,之间的散点图如图所示,由散点图可知,它们之间具有线性相关关系,.,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,(3),某运动员训练次数与成绩之间的数据及相应的残差数据为,残差图如图所示,.,由图可知,残差比较均匀地分布在横轴的两边,说明选用的模型比较合适,.,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,(4),计算得,R,2,0,.,985,5,.,说明拟合效果较好,.,反思感悟,1,.,解答本类题目应先通过散点图来分析两个变量是否线性相关,再利用求经验回归方程的公式求解经验回归方程,并利用残差图或,R,2,来分析模型的拟合效果,.,2,.,“,R,2,、残差图,”,在回归分析中的作用,:,(1),R,2,是用来刻画回归效果的,由,R,2,=,1,-,可知,R,2,越大,意味着残差平方和越小,也就是说模型的拟合效果越好,.,(2),残差图也是用来刻画回归效果的,判断依据是,:,残差比较均匀地分布在横轴的两边,说明残差比较符合一元线性回归模型的假定,.,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,变式训练,3,在一段时间内,某种商品的价格,x,(,单位,:,元,),和需求量,y,(,单位,:,件,),之间的一组数据如下,:,x/,元,14,16,18,20,22,y/,件,12,10,7,5,3,已知,x,与,y,线性相关,求出,y,关于,x,的经验回归方程,并用,R,2,说明拟合效果的好坏,.,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,求非线性经验回归方程,例,4,某地区六年来轻工业产品利润总额,y,(,单位,:,亿元,),与年次,x,的数据如下,:,年次,x,1,2,3,4,5,6,利润总额,y/,亿元,11,.,35,11,.,85,12,.,44,13,.,07,13,.,59,14,.,41,由经验知,年次,x,与利润总额,y,(,单位,:,亿元,),近似有如下关系,:,y=ab,x,e,0,.,其中,a,b,均为正数,求,y,关于,x,的经验回归方程,.,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,解,:,对,y=ab,x,e,0,两边取自然对数,得,ln,y=,ln,ae,0,+x,ln,b.,令,z=,ln,y,则,z,与,x,的数据如下表,:,x,1,2,3,4,5,6,z,2,.,43,2,.,47,2,.,52,2,.,57,2,.,61,2,.,67,由,z=,ln,ae,0,+x,ln,b,及最小二乘法,得,ln,b,0,.,049,1,ln,ae,0,2,.,371,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,反思感悟,非线性经验回归方程的求法,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,变式训练,4,某展会一天上午,9,点半到下午,2,点的即时参观人数如下表,:,时间,9,.,5,10,10,.,5,11,11,.,5,12,12,.,5,13,13,.,5,14,人数,y/,万,12,.,39,20,.,02,25,.,57,30,.,26,35,.,77,37,.,57,40,.,23,40,.,95,41,.,73,43,.,71,已知时间与参观人数具有很强的相关关系,试求出这段时间内即时参观人数关于时间的经验回归方程,.,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,解,:,根据题表中的数据画出散点图如图所示,.,由图可以看出,样本点分布在某条对数型函数曲线,y=a+b,ln,x,的周围,.,令,z=,ln,x,则,y=a+bz,故,y,与,z,具有线性相关关系,.,可知,y,与,z,的数据如下表,:,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,z,2,.,25,2,.,30,2,.,35,2,.,40,2,.,44,2,.,48,2,.,53,2,.,56,2,.,60,2,.,64,人数,y/,万,12,.,39,20,.,02,25,.,57,30,.,26,35,.,77,37,.,57,40,.,23,40,.,95,41,.,73,43,.,71,由表中数据可得,y,关于,z,的经验回归方程为,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,方法优化,求经验回归方程的方法和技巧,典例,某地粮食需求量逐年上升,部分统计数据如下表,:,年,份,2011,2013,2015,2017,2019,需求量,/,万吨,236,246,257,276,286,(1),利用所给数据求年需求量,y,关于年份,x,的经验回归方程,;,(2),利用,(1),中所求出的经验回归方程预测该地,2021,年的粮食需求量,.,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,解,:,(1),由所给数据看出,年需求量与年份之间具有线性相关关系,.,下面来求经验回归方程,先将数据处理如下,:,年份,-,2015,-,4,-,2,0,2,4,需求量,-,257,-,21,-,11,0,19,29,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,由上述计算结果,可知所求经验回归方程为,(2),利用所求得的经验回归方程,可预测,2021,年的粮食需求量为,6,.,5,(2 021,-,2 015),+,260,.,2,=,6,.,5,6,+,260,.,2,=,299,.,2(,万吨,),.,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,方法点睛,求经验回归方程时,重点考查的是计算能力,.,若本题用一般方法去解,则计算比较烦琐,(,如年份、需求量不做如上处理,),所以平时训练时遇到数据较大时要考虑有没有更简便的方法解决,.,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,跟踪训练,某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此做了四次试验,根据试验数据得到如图所示的散点图,其中,x,表示零件的个数,y,表示加工时间,则,y,关于,x,的经验回归方程是,.,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,1,.,(2020,陕西西安高三模拟,),北极冰融是近年来最引人注目的气候变化现象之一,白色冰面融化变成颜色相对较暗的海冰,被称为,“,北极变暗,”,现象,.,21,世纪以来,北极的气温变化是全球平均水平的,2,倍,被称为,“,北极放大,”,现象,.,若北极年平均海冰面积,(,单位,:10,6,km,2,),与年平均,CO,2,(,单位,:ppm),浓度图如图所示,则下列说法正确的是,(,),探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,A.,北极年海冰面积逐年减少,B.,北极年海冰面积减少速度不断加快,C.,北极年海冰面积与年平均二氧化碳浓度大体成负相关,D.,北极年海冰面积与年平均二氧化碳浓度大体成正相关,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,解析,:,由统计图可知北极年海冰面积既有增加又有减少,故选项,A,B,错误,;,由统计图可知随着年平均二氧化碳浓度增加,北极年海冰面积总体呈下降趋势,所以北极年海冰面积与年平均二氧化碳浓度大体成负相关,故选项,C,正确,选项,D,错误,.,故选,C.,答案,:,C,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,2,.,已知甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量,x,y,的模型时,分别选择了,4,种不同模型,计算它们的,R,2,分别如下表,:,学生,甲,乙,丙,丁,R,2,0,.,98,0,.,78,0,.,50,0,.,85,则建立的模型拟合效果最好的是,(,),A.,甲,B.,乙,C.,丙,D.,丁,解析,:,因为,R,2,的值越大,模型拟合效果越好,所以甲的拟合效果最好,.,答案,:,A,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,3,.,已知一组样本数据,(,x,1,y,1,),(,x,2,y,2,),(,x,n,y,n,)(,n,2,x,1,x,2,x,n,不全相等,),若所有样本点,(,x,i,y,i,)(,i=,1,2,n,),都在直线,y= x+,1,上,则这组样本数据的样本相关系数为,.,解析,:,根据样本相关系数的定义可知,当所有样本点都在一条直线上时,样本相关系数为,1,.,答案,:,1,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,4,.,某课题组调查了某地若干户家庭的年收入,x,(,单位,:,万元,),和年饮食支出,y,(,单位,:,万元,),的情况,调查结果显示年收入,x,与年饮食支出,y,具有线性相关关系,并由调查数据得到,y,关于,x,的经验回归方程为,=,0,.,254,x+,0,.,321,.,由经验回归方程可知,家庭年收入每增加,1,万元,年饮食支出平均约增加,万元,.,解析,:,设年收入为,x,1,万元,对应的年饮食支出为,y,1,万元,家庭年收入每增加,1,万元,则年饮食支出平均增加,答案,:,0,.,254,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,5,.,某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此做了四次试验,得到的数据如下,:,零件的个数,x/,个,1,2,4,5,加工的时间,y/,小时,2,3,5,6,已知零件的个数,x,与加工的时间,y,具有线性相关关系,.,(2),试预测加工,10,个零件需要多少时间,.,探究一,探究二,探究三,探究四,素养形成,当堂检测,
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