结构力学 第17章 结构的塑性分析与极限荷载

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,15,章 结构的塑性分析与极限荷载,第,17,章 结构的极限荷载,17-1,概述,弹性设计方法,没有考虑材料超过屈服极限后的这一部分承载力。事实上，由塑性材料组成的结构当某一局部的,max,达到了屈服极限时,结构还没破坏,还能承受更大的荷载。因而弹性设计有时不够经济合理。,塑性设计方法,塑性分析考虑材料的塑性，按照结构破坏时的极限状态来计算结构所能承受的荷载的极限值（极限荷载）。,在塑性设计中，假设材料为理想弹塑性材料，其应力与应变关系：加载时材料为线弹性阶段和塑性流动阶段。,理想弹塑性模型,A,B,o,理想弹塑性模型,残余应变,当应力达到屈服应力后在,C,点卸载，卸载时材料为线弹性的。当应力减小为零时，应变为,P,，,P,是,塑性应变,，又称,残余应变,。,A,B,C,D,o,17-2,极限荷载、塑性铰和极限状态,M,M,b,h,随着,M,的,增大，梁截面应力的变化为：,屈服弯矩、极限弯矩,以理想弹塑性材料的矩形截面纯弯曲梁为例：,a),h,b),c),y,0,y,0,b,图,a,）,弹性阶段,，最外纤维处应力达到屈服极限,s,，弯矩,M,为：,屈服弯矩,a),h,b),c),y,0,y,0,b,图,b,）,弹塑性阶段,，,y,0,部分为弹性区,称为弹性核。,图,c,）,塑性流动阶段,，,y,0,0,。,相应的弯矩,M,为：,极限弯矩,是截面所能承受的最大弯矩。,可见，极限弯矩与外力无关,只与材料、截面几何形状和尺寸有关。,设塑性流动阶段截面上受压区和受拉区的面积分别为,A,1,和,A,2,，并且此时受压区和受拉区的应力均为常量，又因为梁是没有轴力的，所以,:,可见，塑性流动阶段的中性轴应等分截面面积。,由此，极限弯矩的计算方法,:,极限弯矩的计算,例,已知材料的屈服极限 ，试求图示截面的极限弯矩。,解,:,A,1,的面积形心距等面积轴,45mm,A,2,的面积形心距等面积轴,:,100,mm,20,mm,90mm,A,1,A,2,等面积轴,图中简支梁随着荷载的增大，梁跨中弯矩达到极限弯矩,M,u,。,跨中截面达到塑性流动阶段，跨中两个无限靠近的截面可以产生有限的相对转角，,因此，当某截面弯矩达到极限弯矩,M,u,时，就称该截面产生了“塑性铰”。,这时简支梁已成为,机构,，这种状态称为,“极限状态”,，此时的荷载称为,“极限荷载”,，记作,F,Pu,。,塑性铰、极限荷载,F,P,l,/2,l,/2,F,Pu,M,u,塑性铰和普通铰有区别。塑性铰是单向铰，,塑性铰只能沿弯矩增大的方向发生有限的转角，,卸载时消失。,都江堰市都江之春大厦,底层柱顶塑性铰,侧移机构,柱端塑性铰比较严重,结构由于出现足够多的塑性铰,成为机构,(,几何可变体系,),失去继续承载的能力,称为破坏机构。,破坏机构可以是整体性的，也可能是局部的。,该结构整体变为机构而破坏,结构局部变为机构而破坏。,破坏机构,不同结构在荷载作用下，成为机构，所需塑性铰的数目不同。,对于静定结构，只要一个截面出现塑性铰，结构就成为了具有一个自由度的机构，丧失承载能力以至破坏。,超静定结构，具有多余约束，必须出现足够多的塑性铰，结构才能成为机构，丧失承载能力以至破坏。,结构的极限受力状态应满足的条件（,P,273,）：,平衡条件：结构的整体或任一局部都能维持平衡；,局限条件：任一截面弯矩绝对值都不超过其极限弯矩；,单向机构条件：结构成为机构能够沿荷载方向作单向运动。,【,例,17.1 】,图示为矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载，试求极限荷载。,解：,（,1,）唯一性定理：极限荷载,F,Pu,值是唯一确定的。,（,2,）极小定理：极限荷载是可破坏荷载中的极小者。,可破坏荷载：,基本定理：,对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值，称为可破坏荷载，常用,F,P,+,表示。,确定极限荷载的方法：,静力法,利用静力平衡求极限荷载的方法。,虚功法（机动法）,沿荷载方向假设单向破坏机构，利用虚位移原理计算出极限荷载的方法。,多采用机动法。,A,B,C,(a),(b),一单跨超静定梁的极限荷载,17-3,超静定梁的极限荷载,为了求得极限荷载，需要确定结构的破坏形态，确定塑性铰的位置及数量。塑性铰首先出现在弯矩最大的截面。,弹性阶段，,A,截面弯矩最大。,塑性阶段，,A,截面形成第一个塑性铰。,A,C,B,F,P,继续增大，第二个塑性铰出现在,C,截面，梁变为机构。弯矩增量图相应于简支梁的弯矩图（如图）。,例,求梁的极限荷载,F,Pu,截面极限弯矩为,M,u,。,结构在,A,、,C,截面出现塑性铰。,解：,计算极限荷载只需要考虑最后的破坏机构,F,P,C,l,/2,l,/2,A,B,F,Pu,M,u,C,A,B,M,u,极限状态的弯矩图,静力法,1,虚功法,2,令机构产生虚位移，,C,截面竖向位移和荷载,F,Pu,同向，大小为,。,F,Pu,C,A,B,M,u,M,u,l/,2,l/,2,设破坏机构,得,:,列出刚体虚功方程：,例,求梁的极限荷载，已知极限弯矩为,M,u,。,虚功方程：,解：,A,C,B,q,l/,2,l/,2,瞬变体系机构,q,u,A,C,B,M,u,M,u,M,u,计算刚体虚功：,由于,AB,段、,BC,段,截面极限弯矩不同，故塑性铰不仅可以出现在产生最大弯矩的,A,、,D,截面,，也可能出现在,截面改变处,B,，可能的破坏机构有两种。,解,:,出现两个塑性铰时梁成为破坏机构。,A,B,C,D,【,例,】,AB,段极限弯矩为 ，,BC,段极限弯矩为,M,u,。,求图示梁的极限荷载。,A,B,C,D,F,Pu,M,u,M,u,如果,B,、,D,截面出现塑性铰,1,此时,M,图如图，,M,A,=3,M,u,A,B,C,D,F,Pu,M,u,M,u,l/6,l/3,由虚功方程可得：,当截面,D,和,A,出现塑性铰时的破坏机构,2,A,C,D,F,Pu,M,u,弯矩图如图，弯矩,M,B,=,时，此破坏形态就可实现。,A,B,C,D,F,Pu,M,u,计算超静定结构的极限荷载，关键是确定破坏机构，即塑性铰的数量及位置。,综上，,当 时，两种破坏形态都可能出现，此时，塑性铰出现在位置,A,、,B,、,D,三个截面。,A,B,C,D,二多跨连续梁的极限荷载计算（重点）,连续梁只可能在各跨独立形成破坏机构，而不可能由相邻几跨联合形成一个破坏机构。,(a),(b),(c),（,c),图不可能出现,连续梁在竖向向下荷载作用下，每跨内的最大负弯矩只可能在各跨两端出现。,A,B,C,D,45KN,15KN/m,40KN,6m,8m,8m,2m,i,1.5i,i,3m,A,B,C,D,25.26,49.49,74.67,60,120,75,(c),（,c),图不可能出现,【,例,17.3,】,解：,分别求出各跨独自破坏时的破坏荷载,(,穷举法,),1,图示连续梁，每跨为等截面。设,AB,和,BC,跨的正,极限弯矩为 ，,CD,跨的正极限弯矩为 ；又各跨负极限弯矩为正极限弯矩的,1.2,倍。试求连续梁的极限荷载,A,B,C,D,(a),(b),AB,跨破坏时,A,B,C,D,(a),BC,跨破坏时,A,B,C,D,(a),(c),CD,跨破坏时,A,B,C,D,(a),(d),此处极限弯矩取左右两段的极限弯矩中的较小者。,极限荷载取各跨独自破坏时的破坏荷载的,最小值,2,连续梁极限荷载的计算方法：,对每一跨独立破坏机构分别求出相应的破坏荷载；,取其中的最小值为极限荷载。,例,试求连续梁的极限荷载。,1),第一跨破坏时,解：,A,B,C,2,F,P,M,u,1.2,M,u,F,P,A,B,C,F,Pu,1,M,u,M,u,2),第二跨破坏时,A,B,C,M,u,2F,Pu,2,1.2,M,u,1.2,M,u,A,B,C,2,F,P,M,u,1.2,M,u,F,P,17-4,比例加载时判定极限荷载的一般定理,所有荷载变化时都彼此保持固定的比例。,荷载只是单调增大，不出现卸载现象。,1,）,平衡条件：,在极限受力状态下，结构的整体或任一局部都保持平衡。,2,结构的极限状态应当满足的条件,1.,比例加载,2）,内力局限条件（屈服条件）：,在极限受力状态下，结构任一截面的弯矩绝对值都不大于其极限弯矩，即,M,M,u,。,3,）单向机构条件：,在极限状态，结构中已经出现足够数量的塑性铰，使结构成为机构，该机构能够沿荷载方向作单向运动。,解：,【,例,17.4,】,试求图示梁在均布荷载作用下的极限荷载。,A,B,C,x,(b),A,B,EI,常数,A,端出现塑性铰,另一个塑性铰有待确定。设坐标为,x,，列虚功方程,求,q,的最小值,1.,极限分析的目的是什么？,答：寻找结构承载能力的极限，充分利用材料。,2.,试说明塑性铰与普通铰的异同。,答：当截面弯矩达到极限弯矩时，这种截面可称为塑性铰；塑性铰是单向铰，塑性铰只能沿弯矩增大的方向发生有限的转角；塑性铰可传递弯矩，普通铰不能传递弯矩。,极限荷载复习题,1,、,静定结构只要产生一个塑性铰即发生塑性破坏，,n,次超静定结构一定要产生,n,+1,个塑性铰才产生塑性破坏。,2,、,塑性铰与普通铰不同，它是一种单向铰，只能沿弯矩增大的方向发生相对转动。,3,、,超静定结构的极限荷载不受温度变化、支座移动等因素影响。,4,、,结构极限荷载是结构形成最容易产生的破坏机构时的荷载。,答案：错误,答案：正确,答案：正确,答案：正确,5,、,塑性铰处的弯矩值可以小于极限弯矩值,。,6,、,当截面的弯矩达到极限值,极限弯矩时，该截面的应力,（,）,。,A,继续增加；,B,不再增加,C,迅速增加,D,缓慢增加,7,、当结构中最大弯矩所在截面的边缘应力达到屈服应力时，如果继续加载，则结构,（ ）,。,A.,处于弹性阶段,B.,进入塑性阶段,C.,进入弹塑性阶段,D.,处于弹性阶段终点,答案：错误,B,C,8,、,塑性铰的性质是,（,）,。,A,单向铰，不能传递弯矩；,B,单向铰，能够传递弯矩；,C,双向铰，能够传递弯矩；,D,双向铰，不能传递弯矩,B,9,、极限荷载应满足的条件是（ ）。,A,单向机构条件、屈服条件；,B,屈服条件、平衡条件；,C,单向机构条件、平衡条件；,D,单向机构条件、屈服条件、平衡条件,10,、在计算超静定结构的极限荷载时，需要考虑的因素有（ ）。,A,变形条件；,B,温度变化；,C,支座移动；,D,平衡条件,答案：,D,答案：,D,则：,F-12.3,试验证工字型截面的极限弯矩为,由图可得静矩：,解：,忽略高阶项可得：,b,h,F-12.7(,类似题目,),试计算图示梁的极限荷载,F,Pu,。,若第一跨出现破坏，则破坏机构如下图所示。,M,u,常数,2F,P,F,P,解：,1,1,2,3,M,u,M,u,2F,P,F,P,用虚功方程可得：,可解得可破坏荷载为：,1,1,2,3,M,u,M,u,2F,P,F,P,M,u,常数,2F,P,F,P,若第二跨出现破坏，则破坏机构如下图所示。,用虚功方程可得：,可解得可破坏荷载为：,综上,则极限荷载为,:,1,1,2,3,M,u,M,u,2F,P,F,P,M,u,解,：,机构一：,AC,跨破坏,.,机构二：,CD,跨破坏。,C,端出现塑性铰,另一个塑性铰有待确定。设坐标为,x,。,计算极限荷载,.,【,练习,】,试,计算图示结构的极限荷载,q,u,。,机构一,机构二,虚功方程：,矩阵位移法,结构的动力计算,结构的稳定计算,结构的极限荷载,本学期目录,:,掌握单元刚度矩阵（局部坐标系、整体坐标系）、连续梁的整体刚度矩阵、刚架的整体刚度矩阵及等效结点荷载的求解,.,熟悉对连续梁、刚架、桁架进行整体分析,.,理解组合结构整体分析,.,矩阵位移法主要考点,动力自由度的判断,单自由度体系的相关计算,固有频率、周期的计算；,强迫振动中动内力、动位移的计算；,两个自由度体系的相关计算,固有频率、主振型的计算；,对称性的应用；,动力计算的基本方法,刚度法,柔度法,结构的动力计算主要考点,稳定分析中的几个基本概念,失稳、临界状态、临界荷载、两类失稳问题、稳定自由度,.,稳定自由度的判断,静力法计算临界荷载,一个自由度结构；,两个自由度结构；,无限个自由度结构,.,能量法计算临界荷载,一个自由度结构；,两个自由度结构,.,复杂体系的简化,结构的稳定计算主要考点,极限荷载分析中的几个基本概念,屈服弯矩、极限弯矩、塑性铰、破坏机构、极限荷载,.,比例加载时有关极限荷载的几个定理,极小定理；,唯一性定理,.,单跨梁极限荷载的计算,静力法利用静力平衡条件；,机动法利用虚功原理,.,连续梁极限荷载的计算,机动法利用虚功原理,.,结构的极限荷载主要考点,复 习,(),第九章 矩阵位移法,1,、单元刚度矩阵的形式,2,、转角方向的规定,是整体坐标系以按顺时针转至局部坐标系为正。,1,2,3,1,2,3,3,、转换矩阵的形式,P-9.9,图示连续梁，各杆刚度为,EI,，忽略轴向变形，写出其整体刚度矩阵。,连续梁单元的刚度矩阵,.,解：,B,D,C,8,m,4,m,A,3,m,B,D,C,A,单元定位向量,.,单元集成整体刚度矩阵,.,B,D,C,A,P-9.10,图示刚架，各杆刚度为,EA,、,EI,，写出其整体刚度矩阵。,局部坐标系下的单元刚度矩阵,.,解：,A,B,C,A,B,C,单元定位向量,.,整体坐标系下的单元刚度矩阵,.,A,B,C,单元集成整体刚度矩阵,.,F-9.4,计算图示连续梁的刚度矩阵,K,（忽略轴向变形影响）。,2,解：,分析：上述结构有四个位移，因此总刚矩阵为,44,阶。,计算单元刚度矩阵：,1,3,4,形成总刚矩阵：,各杆单元定位向量：,2,1,3,4,F-9.7,试求图示刚架的等效结点荷载列阵。,15,kN/m,15,kN/m,解：,计算综合等效结点荷载,.,编总码,.,直接等效结点荷载：,综合等效结点荷载：,固端力列阵：,间接等效结点荷载：,F-9.8,计算图示连续梁的结点转角和杆端弯矩。,解：,分析：总刚矩阵为,2,阶。,（,1,）计算单元刚度矩阵,( ),（,2,）各杆单元定位向量：,2,q,=10,kN/m,1,0,（,3,）形成总刚矩阵：,（,4,）计算等效结点荷载：,单元,上无荷载，对单元,有：,（,5,）解方程求位移：,可解得：,2,q,=10,kN/m,1,（,6,）计算杆端弯矩：,对单元,有：,（,7,）弯矩图如下：,M,图（,kNm,）,对单元,有：,25.71,12.86,2,q,=10,kN/m,1,局部坐标系下刚架单元的刚度矩阵,.,例,试,求图示结构总刚度矩阵中的元素,k,11,、,k,22,、,k,13,，各杆,EI,相同,（忽略轴向变形影响）,。,解,：,定坐标系，编码,.,单元定位向量,.,所求元素,.,整体坐标系下刚架单元的刚度矩阵,.,1 0 2 1 0 3,1,0,2,1,0,3,1 0 2,0 0 0,1,0,2,0,0,0,1.,单自由度体系的自振频率、自振周期：,3.,简谐动荷载作用在质量体上的相关计算,2.,单自由度体系的自由振动的方程,:,动荷载,动力系数,荷载幅值引起的静位移,第十章 结构动力学,4.,体系阻尼比的确定,5.,对强迫振动，阻尼起着减小动力系数的作用；,简谐荷载作用下有阻尼共振时的动力系数为,:,6.,二自由度体系的自由振动,刚度法,其系数行列式等于零,:,频率的计算公式为,:,第一主振型：,第二主振型：,7.,二自由度体系的自由振动,柔度法,其系数行列式等于零,:,频率的计算公式为,:,8.,二自由度体系的自由振动,主振型,解,：,两个动力自由度，采用刚度法,.,例,试,求图示结构的频率和振型。,计算刚度系数,.,计算结构自振频率,.,可解得：,例,试,求图示体系的自振频率。,解,：,两个动力自由度,.,利用对称性，取半边结构，分解为两个单自由度体系,.,反对称,正对称,因此：,计算两个单自由度体系的自振频率,.,反对称,正对称,谢 谢 大 家,