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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.3.3,平面向量的坐标运算,2.3.4,平面向量共线的坐标表示,复习引入,如果 是同一平面内的,两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,使,对于确定的一组基底,平面内的任一向量会和一对实数对应,平面向量基本定理,平面向量的坐标表示,O,x,y,平面内的任一向量,有且只有一对实数,x,y,使 成立，,则称（,x,，,y,）是向量 的坐标。,如图,在平面直角坐标系中,分别取与,x,轴、,y,轴正方向,同向的两个,单位向量,作基底,.,记作：,(4),如图以原点,O,为起点作 ，点,A,的位置,被 唯一确定,.,O,x,y,平面向量的坐标表示,(,x, y,),A,此时点,A,的坐标即为 的坐标,（,5,）区别点的坐标和向量坐标,相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同,（,1,）与 相等的向量的坐标均为（,x, y,),注意：,（,3,）两个向量,相等的充要条件：,(6),平面向量的坐标运算,解：,两个向量的和（差）的坐标,分别等于这两向量相应坐标的和（差）,1.,已知 ， ，求,例,3,已知 求,x,y,O,解：,一个向量的坐标等于,表示此向量的有向线段的终点坐,标减去起点坐标,实数与向量的积的坐标等于,这个实数乘以原来向量的,相应坐标,平面向量的坐标运算,平面向量的坐标运算,例,（,-1,，,5,）,平面向量坐标运算法则应用,（,5,，,-3,）,（,-6,，,19,）,平面向量的坐标运算,思考,1,已知,ABCD,的三个顶点,A,、,B,、,C,的坐,标分别为,(,2,，,1,),、,(,1,，,3,),、,(,3,，,4,),，,求顶点,D,的坐标。,平面向量的坐标运算,1,2,3,4,5,x,y,5,0,1,2,3,4,1,1,2,2,3,4,5,C,A,B,D,6,6,思考,1,已知,ABCD,的三个顶点,A,、,B,、,C,的坐,标分别为,(,2,，,1,),、,(,1,，,3,),、,(,3,，,4,),，,求顶点,D,的坐标。,平面向量的坐标运算,A,B,C,D,x,y,O,解：,设点,D,的坐标为（,x,y,）,解得,x=2,y=2,所以顶点,D,的坐标为（,2,，,2,）,思考,1,已知,ABCD,的三个顶点,A,、,B,、,C,的坐,标分别为,(,2,，,1,),、,(,1,，,3,),、,(,3,，,4,),，,求顶点,D,的坐标。,平面向量的坐标运算,思考,1,已知,ABCD,的三个顶点,A,、,B,、,C,的坐,标分别为,(,2,，,1,),、,(,1,，,3,),、,(,3,，,4,),，,求顶点,D,的坐标。,A,B,C,D,x,y,O,另解：,由平行四边形法则可得,而,所以顶点,D,的坐标为（,2,，,2,）,平面向量的坐标运算,小结回顾,请回顾本堂课的教学过程，你能说说你学了哪些知识吗？,1.,平面向量坐标的加,.,减运算法则,=,( x,1, y,1,) + (x,2, y,2,)= (x,1,+x,2, y,1,+y,2,),=,( x,1, y,1,) - (x,2, y,2,)= (x,1,- x,2, y,1,-y,2,),2.,平面向量坐标实数与向量相乘的运算法则,3.,平面向量坐标,若,A(x,1, y,1,) , B(x,2, y,2,),则,=(x,2,-,x,1, y,2,y,1,),=,( x,1, y,1,) + (x,2, y,2,)= (x,1,+x,2, y,1,+y,2,),a,=(,x,1,y,1,),，,b,=(,x,2,y,2,),4,、 其中,a,0,有且只有一个实数,，使得,a,b=,即：,（,x,2,y,2,),=,(,x,1,y,1,),=,(,x,1,y,1,),所以,x,2,=x,1,y,2,=y,1,消去,得：,x,1,y,2,-,x,2,y,1,=0,a,=(,x,1,y,1,),，,b,=(,x,2,y,2,),其中,x,1,y,2,-,x,2,y,1,=0,a,b,a,b,平面向量,共线,的坐标表示,向量共线的充要条件,的两种表示形式,:,x,1,y,2,-,x,2,y,1,=0,(2),a,=(,x,1,y,1,),，,b,=(,x,2,y,2,),有且只有一个实数,使得,a,b=,(1),口诀：交叉相乘相等！,例,6,已知,a,=,（,4,，,2,）,b=,（,6,，,y,）,且,a,b,，求,y,的值,.,解：,a,b,4y-2,6=0,解得,y=3,典型例题,例,7,已知点,A(1,，,3),，,B(3,，,13),，,C(6,，,28),求证：,A,、,B,、,C,三点共线,.,证明：,AB=(3-1,13-3)=(2,10),BC=(6-3,28-13)=(3,15), 2,25=5,10,ABBC,又 直线,AB,、直线,BC,有公共点,B, A,、,B,、,C,三点共线,典型例题,例,8:,设点,P,是线段,P,1,P,2,上的一点，,P,1,、,P,2,的坐标分别是,。,（,1,）当点,P,是线段,P,1,P,2,的中点时，求点,P,的坐标；,（,2,）当点,P,是线段,P,1,P,2,的一个三等分点时，求点,P,的坐标。,x,y,O,P,1,P,2,P,(1),M,解,: (1),所以，点,P,的坐标为,x,y,O,P,1,P,2,P,(2),x,y,O,P,1,P,2,P,例,3:,设点,P,是线段,P,1,P,2,上的一点，,P,1,、,P,2,的坐标分别是,。,（,1,）当点,P,是线段,P,1,P,2,的中点时，求点,P,的坐标,；,（,2,）当点,P,是线段,P,1,P,2,的一个三等分点时，求点,P,的坐标,。,x,y,O,P,1,P,2,P,x,y,O,P,1,P,2,P,x,y,O,P,1,P,2,P,设 ， ，,P,分 所成的比为 ，如何,求,P,点的坐标呢？,有向线段 的,定比分点坐标公式,有向线段 的,中点坐标公式,小 结,1.,熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式,；,2.,会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行；,3.,明白判断两直线平行与两向量平行的异同。,
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