选修系列：数列与差分

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数列与差分,1.,引言,数列是描述客观世界的重要数学模型,差分是描述数列变化的主要工具,客观世界许多变量本身就是离散的,:,如酵母细胞的分裂,股市的开盘或收盘价的按日记录等,.,现实世界中存在着大量的连续函数关系难以用解析式表示,:,如河流水位的高低作为时间的函数等,.,函数关系尽管能用解析式表示,但其解析式比较复杂,:,如捕食与被捕食种群数的变化、接触性传染病的传播等,.,在不妨碍研究结果有效性的前提下,为了方便,人们也愿意把对连续函数的研究转化为对数列的研究,.,而计算机技术的发展,更为数列的研究提供了方便,使数列模型的应用也日趋广泛,.,1.2.,差分是描述数列变化的主要工具,差分与数列通项的关系,1:,对数列,a,n, = 2,2,2,2,2,其一阶差分,a,n,=0,0,0,0.,一般地,常数列的一阶差分为各项是零的常数列,(,注意,:,每施行一次差分运算,所得新数列的总项数都会减少,1,),关系,2:,对数,列,a,n, = 3,n,-5 = -2,1,4,7,10,13,16,19,其一阶差分,a,n,= 3,3,3,3,3,3,3,为常数列,其通项,a,n,=3,n,-5,是一个线性函数,.,一般地,当数列,a,n,是,由一个线性函数定义的等差数列时,其一阶差分为常数列,.,关系,3:,对数,列,a,n, = ,n,2,-3,n,+5 = 3,3,5,9,15,23,其一阶差分,a,n,= 0,2,4,6,8,其二阶差分,2,a,n,=2,2,2,2,为常数列,其通项,a,n,=,n,2,-3,n,+5,是一个二次函数,.,一般地,当数列,a,n,是由一个二次函数定,义时,其二阶差分为常数列,.,关系,4:,对数列,a,n, = 3,n, = 3,9,27,81,243,729,2187,其一阶差分,a,n,=6,18,54,162,486,1458,二阶差分,2,a,n,= 12,36,108,324,972,都不是常数列,而都是公比为,3,的等比数列,.,一般地,当数列,a,n,是由一个指数函数定义时,其一阶、二阶差分都是以该指数函数的底数为公比的等比数列,.,差分对数列的描述,一阶差分对数列增减的描述,一阶差分对数列极值的描述,二阶差分对数列图形凸凹的描述,例,2.,构造,数列,n,2,-4,n,+3,前,7,个值,a,1,a,7,的差分表,并据该表确定数列在何处,增加、何处减少、何处达到相对极大或极小、图像上凸或下凸,.,解,:,构,造差分表如下,.,据差分表,:,因,a,1,0,数列在,n,=2,3,6,处为增,;,a,1,0,故在,n,=2,处达到相对极小,;,对这,7,项而言,数列无相对极大,;,因为二阶差分,2,a,n,0,故数列图像是下凸的,.,n,1,2,3,4,5,6,7,a,n,0,-1,0,3,8,15,24,a,n,-1,1,3,5,7,9,2,a,n,2,2,2,2,2,2.,差分方程有关的基本概念,3.,差分方程,(,一阶,),的解、通解与特解,差分方程的解是一个数列,.,当把它代入差分方程时,得到一个恒等式,它满足任何一个初始值,.,差分方程的通解,差分方程的特解,例如,:,用数列,x,n, = (1.05),n,c,(,c,为任意常数,),代入差分方程,x,n,+1,=,x,n,+0.05,x,n,有,:(1.05),n,+1,c,= (1.05),n,c,+0.05(1.05),n,c,这是一个恒等式,.,称数列,x,n, = (1.05),n,c,是差分方程,x,n,+1,=,x,n,+0.05,x,n,的解,.,我们注意到,上式解中含有一个常数,c,并且方程是一阶的,.,一般地,如果差分方程的解中含有与方程的阶数相同个数的相互独立的任意常数,就称它为差分方程的通解,.,按此定义,x,n,= (1,05),n,c,也是一阶差分方程,x,n,+1,=,x,n,+0.05,x,n,的通解,.,对上式通解,x,n,= (1.05),n,c,若给定初值,x,0,=1000,代入通解得,:1000= (1.05),0,c,求得常数,c,=1000,称,x,n,= (1.05),n,1000,为方程相应于初值,x,0,=1000,的特解,.,注意,:,这样求出的特解是用解析式表示的,.,显然,相应于不同的初值,方程有不同的特解,而求特解只要将给定初始值代入通解求出待定常数即可,.,迭代法,对差分方程,(,组,),来说,迭代法是用于求特解的重要方法,.,重点,:,对一阶齐次线性方程组,在给定初始值的条件下,可以利用某种迭代程序在计算机上方便地求得它的数值解序列,并根据数值解序列掌握解的变化趋势,.,此点在新课标该专题中作重点要求,.,用方程含未知数列项相同个数的初始值代入方程,(,组,),求得第一个,(,组,),数值,将所得第一个,(,组,),数值又代入方程,(,组,),求得第二个,(,组,),数值,将此过程不断重复,求得在该初始条件下满足方程,(,组,),的特解,.,例,3:,例,4:,例,5:,3.1.,求一阶齐次差分方,程,x,n,+1,=,kx,n,(3),的通解,3.2.,探索一阶非齐次差分方程,x,n,+1,=,kx,n,+,b,通解的结构,3.3.,求一阶非齐次差分方程,(1),的通解,4.,差分方程在数学建模中的一些应用,差分方程是描述客观事物的数量关系的一种重要的数学模型,.,在科学研究和生产实际中,经常碰到处理对象涉及的变量,(,如时间,),是连续的,但是从建模的目的考虑,把连续变量离散化更为合适,将连续变量作离散化处理,从而将连续模型,(,微分方程,),化为离散型,(,差分方程,),问题,.,在实际建立差分方程模型时,往往要将变化过程进行划分,划分成若干时段,根据要解决问题的目标,对每个时段引入相应的变量或向量,然后通过适当假设,根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系,建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系,从而建立起差分方程,.,或者对事物系统进行划分,划分成若干子系统,在每个子系统中引入恰当的变量或向量,然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式,从而建立起差分方程,.,在这里,过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的,应当结合已有的信息和分析条件,从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分,同时,对划分后的时段或子过程,引入哪些变量或向量都是至关重要的,要仔细分析、选择,尽量扩大对过程或系统的数量感知范围,包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式,目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程,.,在下面所举的实际例子中,这方面的内容应当重点体会,.,4.1.,金融问题的差分方程模型,1.,设现有一笔,p,万元的商业贷款,如果贷款期是,n,年,年利率是,r,1,今采用月还款的方式逐月偿还,建立数学模型计算每月的还款数是多少,?,模型分析,:,在整个还款过程中,每月还款数是固定的,而待还款数是变化的,找出这个变量的变化规律是解决问题的关键,.,模型假设,:,模型建立,:,模型求解,:,模型的进一步拓广分析,:,2.,养老保险模型问题,:,养老保险是保险中的一种重要险种,保险公司将提供不同的保险方案以供选择,分析保险品种的实际投资价值,.,即分析如果已知所交保费和保险收入,按年或按月计算实际的利率是多少,也就是说,保险公司需要用你的保费实际获得至少多少利润才能保证兑现你的保险收益,.,下面的应用实例中,模型举例分析,:,假设每月交,费,p,元至,60,岁开始领取养老金,男子若,25,岁起投保,届时养老金每月,2282,元,;,如,35,岁起保,届时月养老金,1056,元,;,试求出保险公司为了兑现保险责任,每月至少应有多少投资收益率,这也就是投保人的实际收益率,.,模型假设,:,这应当是一个过程分析模型问题,.,过程的结果在条件一定时是确定的,.,整个过程可以按月进行划分,因为交费是按月进行的,.,假设,:,设投保人到第,k,月止所交保费及收益的累计总额为,F,k,;,设,r,为每月收益率,;,记,p,、,q,分别为,60,岁前每月交费数和,60,岁后每月领取数,;,记,N,为停交保险费的月份,M,为停领养老金的月份,.,模型建立,:,在整个过程中,离散变量,F,k,的变化规律满足,:,在这里,F,k,实际上表示从保险人开始交纳保险费以后,保险人帐户上的资金数值,.,我们关心的是,在第,M,个月时,F,M,能否为非负数,.,如果为正数,则表明保险公司获得收益,;,如为负数,则表明保险公司出现亏损,;,当为零时,表明保险公司最后一无所有,所有的收益全归为保险人,.,从这个分析来看,引入变量,F,k,很好地刻画了整个过程中资金的变化关系,特别是引入收益率,r,虽然它不是我们所求的保险人的收益率,但是从问题系统环境中来看,必然要考虑引入另一对象,:,保险公司的经营效益,以此作为整个过程中各种量变化的表现基础,.,模型计算,:,4.2.,人口的控制与预测模型,背景分析,:,人口数量的发展变化规律及特性可以用偏微分方程的理论形式来表现和模拟,.,但在实际应用中不是很方便,需要建立离散化的模型,以便于分析、应用,.,人口数量的变化取决于诸多因素,比如,:,女性生育率、死亡率、性别比、人口基数等,.,试建立离散数学模型来表现人口数量的变化规律,.,模型假设,:,模型建立,:,模型分析,:,4.3.,蛛网模型,经济背景与问题,:,在自由竞争的市场经济中,商品的价格是由市场上该商品的供应量决定的,供应量越大,价格就越低,.,另一方面,生产者提供的商品数量又是由该商品的价格决定的,价格上升将刺激生产者的生产积极性,导致商品生产量增加,;,反之,价格降低会影响生产者的积极性,导致商品生产量下降,.,经营者要取得良好的经济效益,就必须把握好这两个因素的规律,避免市场供求出现混乱,.,模型假设与模型建立,:,模型的几何分析,:,模型的差分方程分析,:,模型推广,:,