多元正态分布均值向量和协差阵的检验

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第三章 多元正态分布均值向量和协差阵的检验,2024/9/23,1,第三章 多元正态分布均值向量和 协差阵的检验,第一节 均值向量的检验,第二节 协差阵的检验,2024/9/23,2,补充：,到底什么是假设检验？,让我们先看一个例子,2024/9/23,3,生产流水线上罐装可乐不断地封装，然后装箱外运。,怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢？,把每一罐都打开倒入量杯,看看容量是否合于标准？,罐装可乐的容量按标准应在,350,毫升和,360,毫升之间。,2024/9/23,4,每隔一定时间，抽查若干罐 。如每隔,1,小时，抽查,35,罐，得,35,个容量的值,X,1,，,，,X,35,，根据这些值来判断生产是否正常。,这就产生两种可能（假设）：,通常的办法是进行,抽样检查,生产正常,？,生产不正常,？,2024/9/23,5,这就需要根据,X,1,X,35,的样本信息，检验上述的两个,假设哪个正确：,H,0,：,称,H,0,为原假设（或零假设）,它的对立假设是：,H,1,：,称,H,1,为备选假设（或对立假设）。,生产正常,生产不正常,2024/9/23,6,那么，如何判断原假设,H,0,是否成立呢？,由于,是正态分布的期望值，它的估计量是样本均值 ，因此可以根据 与,的差距,来判断,H,0,是否成立。,当,时，可以认为,H,0,是成立的；,当,时，应认为,H,0,不成立，即生产已不正常。,2024/9/23,7,怎么来确定？合理的界限在何处？应由什么原则来确定？,小概率原则：小概率事件在一次试验中基本上不会发生。,2024/9/23,8,下面我们用一例说明这个原则。,这里有两个盒子，各装有,100,个球。,小概率事件在一次试验中基本上不会发生。,99,个,1,个,一盒中有,99,个红球和,1,个白球,另一盒中装有,99,个白球和,1,个红球。,99,个,2024/9/23,9,？,现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子里是白球,99,个还是红球,99,个？,我们不妨先假设：,这个盒子里有,99,个白球,。,现在我们从中随机摸出一个球，发现是,此时应该如何判断这个假设是否成立呢？,？,2024/9/23,10,假设其中真有,99,个白球，摸出红球的概率只有 ，,这是小概率事件。,小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不使人怀疑所作假设的正确性，因此可以认为这个盒子应该不是装有,99,个白球的那个盒子。,这个例子中所使用的推理方法，称为“,带概率性质的反证法,”，或“,概率反证法,”。,1/100,2024/9/23,11,在假设检验中，称这个小概率为,显著性水平,，用,表示。,的选择要根据实际情况而定。常取,假设检验所以可行，其理论背景即为,“,小概率原理,”。,假设检验的理论依据：,2024/9/23,12,现在回到我们前面罐装可乐的例中：在提出原假设,H,0,后，如何作出接受和拒绝,H,0,的结论呢？,罐装可乐的容量按标准应在,350,毫升和,360,毫升之间。,一批可乐出厂前进行抽样检查，现抽查了,n,罐，测得容量为,X,1,X,2,X,n,，问这一批可乐的容量是否合格？,可乐的假设检验,2024/9/23,13,提出假设,:,假定,已知，构造,检验统计量,z,：,对给定的显著性水平,，可以在,N,(0,1),表中查到分位点的值 ，使,由原来观察,大小，转变为观察,的大小。,2024/9/23,14,也就是说，“ ”是一个,小概率事件,。,故我们可以取拒绝域为：,如果由样本值算得该统计量的实测值落入区域,，则拒绝,H,0,；否则，不能拒绝,H,0,。,拒绝域,如果,H,0,是对的，那么衡量差异大小的某个统计量落入红色区域,(,拒绝域,),是个小概率事件。,也就是说，,H,0,成立下的小概率事件发生了，那么就认为,H,0,不可信而否定它。,否则，我们就不能否定,H,0,（只好接受它）。,接受域,拒绝域,从小概率的角度看：,2024/9/23,15,其基本思想和步骤均可归纳为：,第一，提出待检验的假设,H,0,和,H,1,；,第二，给出检验的统计量及其服从的分布；,第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域；,第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。,2024/9/23,16,第一节 均值向量的检验,单一变量检验的回顾及,Hotelling,T,2,分布,一个正态总体均值向量的检验,两个正态总体均值向量的检验,多个正态总体均值向量的检验,2024/9/23,17,单一变量假设检验的内容：,提出假设,构造检验统计量,（总体方差已知时）,判断：根据显著水平 确定临界值 ，当 落在拒绝域，接受备择假设，否则接受原假设。,一、单变量假设检验及,Hotelling,T,2,分布,2024/9/23,18,当,未知时，用,（,3.2,）,作为,的估计量，,构造检验,统计量：,（,3.3,）,判断，根据显著水平,，,确定临界值 ，当,，,落入拒绝域，接受备择假设；否则接受原假设。,2024/9/23,19,（,3.3,）式可以表示为,（,3.4,）,定义,3.1,设,，,且,与,相互独立，,，则称统计量,的分布为非中心,Hotelling,T,2,分布，记为,。当,时，称,服从（中心）,Hotelling,T,2,分布。记为,。,威沙特分布,(Wishart),2024/9/23,20,注意：,F,分布和,t,分布有如下关系：,设,X,和,Y,是相互独立的服从卡方分布的随机变量，自由度分别为,f,1,，,f,2,，则称随机变量,设,X,是标准正态变量，,Y,是自由度为,v,的卡方变量，且,X,和,Y,相互独立，则称随机变量,2024/9/23,21,若,，,且,与,相互独立，令,，则,这表明，将,Hotelling,T,2,统计量乘上一个适当的常数后，便成为,F,统计量，从而可利用,F,分布来进行推断。实践中，常用上式给出的,F,统计量来代替,Hotelling,T,2,统计量进行推断。,（,3.5,）,因此：,Hotelling,T,2,与,F,分布的关系：,2024/9/23,22,在一元正态总体的情况下，若,一元统计中样本方差,是 的估计，有,注意：,Wishart,分布,（一元 分布的推广）,2024/9/23,23,定义,2.10,设,且相互独立，则由,组成的随机矩阵：,其中，,若 且相互独立，则样本离差阵,2024/9/23,24,二、一个正态总体均值向量的检验,设,是来自,p,维正态总体,的样本，且,，,。,2024/9/23,25,（一）,协差阵,已知时均值向量的检验,假设,成立，检验统计量为,（,3.6,）,给定检验水平,，查,分布表,找,出临界值,，,判断：,若,，则,接受备择假设；,否则接受,原假设,。,(,),n,c,;,2,p,2,c,4,=,n,10,=,n,20,=,n,0,2024/9/23,26,注意：,其中，,利用的是,p,维随机向量二次型的结论之一：,设 ，则,，其中 。,2024/9/23,27,（二）协差阵,未知时均值向量的检验,假设,成立，检验统计量为,其中，,给定检验水平,，查,F,分布表，可确定出临界值,.,判断：若 ，则接受备择假设，否则接受原假设,。,(3.7),(,),2,1,f,f,x,p,(,),50,10,2,1,=,=,f,f,(,),10,10,2,1,=,=,f,f,(,),4,10,2,1,=,=,f,f,x,0,2024/9/23,28,例题：,2024/9/23,29,样本离差阵,2024/9/23,30,三、两个正态总体均值向量的检验,（一）当,协差阵相等,时，两个正态总体均值向量的检验,设,，,，为来自,p,维正态总体,的容量为,n,的样本；,，,，为来自,p,维正态总体,的容量为,的样本。,两组样本相互独立,，且,。,2024/9/23,31,1.,针对有共同已知协差阵的情形,假设,成立，检验统计量为,（,3.8,）,给定,显著,水平,，查,分布表确定临界值,。,判断：若 ，则接受备择假设 ；否则接受原假设,。,两组样本独立,2024/9/23,32,2,针对有共同的未知协差阵的情形,提出,假设,：,构造检验统计量,（,3.9,）,给定,显著性,水平,，查,F,分布表,确定临界值,。,判断：,若,，,则,接受备择假设；,否则接受,原假设,。,2024/9/23,33,例题：,2024/9/23,34,2024/9/23,35,2024/9/23,36,（二）协差阵不等时，两个正态总体均值向量的检验,（,两总体协差阵未知,）。,设,，,，为来自,p,维正态总体,的容量为,n,的样本；,，,，为来自,p,维正态总体,的容量为,的样本。,两组样本相互独立,且,，,2024/9/23,37,1,针对,n=m,的情形,令,构造检验统计量为,（,3.10,）,2024/9/23,38,令,构造检验统计量为,2,针对,n,m,的情形,(,假设,n,m,且,两总体协差阵相差不大时,),2024/9/23,39,第三节 协差阵的检验,一个正态总体协差阵的检验,多个协差阵相等检验,2024/9/23,40,一、一个正态总体协差阵的检验,设,来自,p,维正态总体,的样本，,未知，且,。,提出,假设,用似然比方法可,构造,出,检验统计量为,：,（,3.16,）,其中,2024/9/23,41,给定检验水平,，因为直接由,分布计算临界值,很困难，所以通常采用,的近似分布。,在,原假设,成立时，,当,n,较大时，其对数,极限分布是,分布。因此当,，由样本值计算出,值，若,即,，则拒绝,原假设,，否则接受,原假设。,2024/9/23,42,注意,，考虑检验假设,因为,，所以存在,，使得,令,则,因此，检验,等价于检验,此时构造检验统计量为,其中,2024/9/23,43,2024/9/23,44,