大学高数第六节无穷小的比较

*,1.6,无穷小的比较,本节我们对一些尚未解决的极限问题做一点,初步的讨论,.,因为无穷大的倒数为无穷小,我们用,“ 0 ”,和“ ”分别表示无穷小和无穷大,则下列形式的极限都不能用极限运算法则求解,:,所以,和,都可以看做 的变形,.,1,由,也是 的变形,.,原因是这些形式的极限值可能是任意的实数,也可能不存在,.,我们称上述四种形式的极限为未定式的极限,例如,不存在,.,2,另外,对幂指函数,(,且不恒等于,1),由,及指数函数与对数函数的连续性,有,如果 为未定式的极限,为 型未定式,即,则 也是未定式,且有以下三种形式：,3,而且这三种形式经过函数的恒等变形都可以化为,的形式,.,综上所述,两个无穷小之商的极限,在极限的,讨论中具有特别的地位,.,实际上,这样的极限是对两个无穷小趋于零的,速度进行比较,简称无穷小的比较,.,4,不可比,.,观察各极限,极限不同,反映了趋向于零的,“,快慢,”,程度不同,.,不存在,5,定义,1.11,(,无穷小量阶的比较,),记作,记作,注：在不太关心无穷小具体表示时,也把无穷小,记作,等价,同阶,高阶,6,例,证明当,特别地,如果当 时,是无穷小,习惯将 同幂函数进行比较,.,例,当,7,常用等价无穷小,:,一个无穷小,性质,:,例,如, 当,8,定理,1.22,(无穷小的等价代换),注意:,无穷小替换定理适用于乘、除情形,无穷小代数和的情形需慎用,.,例,求,9,解,解,错,例,求,10,例,求,练习,解,故,求,11,